1ère S Initiation au calcul de fonctions dérivées

Ce qu’il faut faire pour dériver une fonction, c’est appliquer un algorithme en deux étapes.
La première étape, ça va être d’examiner la structure de ta fonction. Ce que j’appelle la structure principal, c’est : est-ce que c’est un + ta fonction, ton f(x) ? est-ce que c’est un « fois » ? « Plus », « fois », « moins », « divisé » ?
Ou est-ce que c’est une fonction composée ? Alors les fonctions composées, on n’en voit pas trop encore, on va dire que c’est une fonction associée. Les fonctions associées ce sont des fonctions composées. C’est-à-dire est-ce que c’est de la forme racine de U, 1/U, ce genre de choses.
Et deuxième étape, on calcule la dérivée. On utilise la bonne étape plutôt. Deuxième étape : « The » bonne formule.

Donc là, c’est un « plus ». Vu que c’est un « plus » on utilise la formule pour dériver une somme. La formule pour dériver une somme, c’est très très simple, c’est la formule la plus simple du monde, c’est-à-dire qu’on dérive chaque terme.
C’est-à-dire que la dérivée de U+V, je vais le mettre en noir, (U+V)’, c’est-à-dire la dérivée d’U+V en français, c’est égal à U’+V’.
Donc là, on fait ça, c’est ce que tu as faire. Donc là, je m’apprêtais à mettre une formule pour x puissance n, je vais la remettre ailleurs.
Donc là, on va devoir dériver x au carré. C’est ça que tu m’as dit en fait. Tu as utilisé comme notation U c’est x au carré. Pourquoi pas. Là on a vraiment U+V. U(x) c’est x au carré et V c’est 5x.

Et là on est devant un nouveau problème de dérivation. Parce que là, on en est à vouloir dériver U, c’est-à-dire à vouloir calculer U’. D’accord ?
Donc là, tu refais ce petit algorithme. Tu le refais pour ce sous-problème de dérivation. Donc tu te reposes la question, première étape, mon U(x), qu’est-ce que c’est sa structure principale ?
Quand je dis structure principale, je veux dire est-ce que c’est un « fois », « divisé », « plus », « moins », est-ce que c’est racine de U, 1/U ou est-ce que c’est quelque chose d’encore plus simple ? Est-ce que c’est de la forme x puissance n ? Tu vois, dérivée que tu connais.
Là, il se trouve que c’est tout simple puisque c’est de la forme x puissance n. Donc le x puissance n, la dérivée de ça, c’est tout simplement n fois x puissance n-1. C’est-à-dire que tu passes en gros la puissance devant et tu enlèves 1 à la puissance.
Donc on est d’accord que la dérivée de x carré, c’est une dérivée qui va devenir très simple. La dérivée de x carré, ou les kx, 5x, -2x, tout ça, on les rencontre tout le temps, donc en fait tu vas vite les connaitre, donc en fait, c’est 2x tout simplement.
Donc là, on va trouver 2x, ça c’est u'(x). Voilà.

Et maintenant pareil pour V. tu dois dériver V, pour trouver V’, ça fait partie de la formule noire qu’on se propose d’appliquer depuis le début. Et pour dériver V, ça te donne V'(x), ça va donner 5.
Donc tu vois, c’est quelque chose de tout simple. Là je te l’explique de façon complète mais ce qui est intéressant avec cet algorithme rouge, c’est que ça va te permettre des dériver des fonctions beaucoup plus difficiles.
Là c’est une fonction simple, donc tu te dis que c’est un trop gros outil pour la dérivée qu’on est en train de calculer ici. Elle est toute simple.
En fait, ça va donner f'(x)=2x+5. Bon quand tu as l’habitude, je te garantis que ça va beaucoup plus vite que ça. Tu écris directement. Quand tu vois cette fonction, c’est évident que c’est 2x+5.
Mais bon, derrière, ce qui se cache, c’est cet algorithme en deux étapes qu’il faut toujours appliquer. Je t’encourage vraiment, je vous encourage tous d’ailleurs, à l’appliquer.

Concrètement, ça sert à quoi ? C’est une très bonne question. À quoi ça sert f'(x) ? f'(x), ça va te permettre, je ne te dis pas tout de suite comment, c’est un outil qui va te permettre de trouver les variations de f. Les variations c’est quand ça monte ou ça descend, c’est les flèches, ce n’est pas « plus » ou « moins ». « Plus » ou « moins » c’est le signe de la fonction f.
En fait, f'(x), quand tu vas étudier le signe de f'(x), faire un tableau de signe de f’, ça va te donner les variations de f. Voilà, c’est à ça que ça sert. Donc là, je n’explique pas en détail comment mais voilà, c’est à ça que ça sert.
Le pourquoi après, c’est un petit peu plus difficile à comprendre mais ça se comprend quand même. C’est assez concret quand même. Parce qu’ici, d’ailleurs on pourrait le faire jusqu’au bout : est-ce que tu pourrais me donner le signe de f'(x) ? Est-ce que tu pourrais me dire comment tu l’étudies ?
Tu es d’accord que c’est une fonction affine le f'(x). Ça, c’est affine. Le coefficient directeur est positif. Mais ça ne veut pas dire que la fonction affine est positive. Ça veut juste dire qu’elle est croissante. Donc, la fonction monte, et c’est une droite, donc elle monte, regarde, je fais un axe des abscisses. Forcément elle va couper l’axe des abscisses à un moment donné.
Et avant c’est moins et après c’est plus. Ça, c’est dû au fait qu’elle est croissante. Et ça s’annule quand ? Et bien tu résous, il faut trouver le x pour lequel ça s’annule, tu résous 2x+5=0. Ce n’est pas demandé dans l’exercice mais c’est pour poursuivre, pour te montrer à quoi ça sert. Donc on obtient, tu passes le 5 de l’autre coté, on obtient -5/2, c’est aussi -2,5.

Du coup, je fais le tableau de signe de f’ là-haut. Tu as x, -l’infini, -5/2, +l’infini. Tu as f'(x) et ce n’est pas seulement un tableau de signe. C’est un tableau de signe de f’ et de variation de f. C’est un tableau qui montre tout ça.
Donc le signe de f'(x) c’est, on vient de le dire, – et +. Et donc tu vas obtenir la variation de ta fonction f, parce quand la dérivée f'(x) est négative, ça décroit. Donc f est décroissante sur ]-l’infini;-5/2[. Et elle est croissante sur l’intervalle qui reste : ]-5/2; +l’infini[.
Ça sert à ça les fonctions dérivées. Une fois que tu as les variations de f, et bien voilà, on est contents parce que ça sert à étudier la fonction, voir qu’elle a un minimum. Tu vois ici, c’est le cas, pour f(-5/2), c’est un minimum.
Et donc on ne fait plus comme avant pour étudier les variations d’une fonction, comme on faisait en seconde avec a, f(a), f(b) etc. Cette chose un petit peu compliquée. Maintenant, ce qu’on fait, c’est qu’on calcule la dérivée.
Donc après, une fois que tu as calculé la dérivée et que tu as trouvé le signe, les variations de la fonction, c’est bon, on oublie la dérivée. On s’en fiche maintenant. C’était juste un outil qu’on a utilisé temporairement. Voilà. ET maintenant, on est contents, on a nos variations parce que c’était le but.
Donc après, plus la fonction est compliquée, plus il y a des « fois », etc. des quotients, plus la dérivée est difficile à calculer. Mais bon, au début ils vous donnent des dérivées de fonctions assez faciles.

Alors là, pareil, tu réappliques l’algorithme en deux étapes. 1ère étape : la structure. Tu dirais que c’est quoi ? Est-ce que c’est un « plus », un « fois », un « moins » ? La structure principale. C’est une somme de deux termes : 1er terme, 2ème terme.
Ensuite, une somme, c’est la deuxième étape, on sait que la formule pour la dériver, c’est la formule la plus simple. IL n’y a pas de formule en fait, on dérive chaque terme, tout simplement.
On doit dériver 2x. On pourrait appliquer la formule mais bon, la dérivée de 2x, qu’est-ce que ça donne ? C’est tout simple, c’est la dérivée d’une fonction de la forme kx. Dérivée de kx, c’est k. Dérivée de 2x, c’est 2.
Donc f'(x) ça va être égal à 2 plus la dérivée de 1/x. tu peux appliquer l’algorithme. Quelle est la structure ? On pourrait appliquer ça mais la dérivée de 1/x on la connait. C’est une dérivée usuelle en fait. C’est -1 sur x carré. Donc c’est plus -1 sur x carré.
Donc on pourrait s’arrêter là. Le +-, ça donne – : 2-1/x carré.

Ça dépend jusqu’où on te demande d’aller dans l’exercice mais si on veut faire comme on a fait précédemment, c’est-à-dire trouver le signe de f'(x) et bien, pour trouver le signe de ça ce n’est pas évident. Tu vois, c’est 2 moins un truc.
Ce n’est pas facile mais ce que tu peux faire, c’est mettre au même dénominateur. Parce que quand tu mets au même dénominateur tu vas devoir trouver le signe du haut, du numérateur, puis le signe du bas. Comme ça tu pourras utiliser la règle des plus et des moins sur des quotients. Plus sur plus ça donne plus. Un nombre négatif sur un nombre positif, ça donne moins. Tu vois, ce genre de truc.
Donc là généralement ce qu’on fait sur f'(x), on ne la laisse pas comme ça. Il faut multiplier par x carré en haut et en bas. Et donc on obtient comme dénominateur commun x carré. Mais le -1 il est toujours là. Donc on obtient 2 x carrés-1.
Et là il y a deux façons de procéder mais bon… Déjà le signe du x carré, qu’est-ce que tu dirais ? Est-ce que c’est plus, est-ce que c’est moins ? C’est un carré donc c’est plus. C’est strictement positif puisqu’il ne faut pas que ce soit égal à 0. Là on ne l’a pas dit mais l’ensemble de définition de f, c’est R*. En fait il ne faut pas que le x soit égal à 0. 0 c’est une valeur interdite dans notre fonction f initiale. 0, c’est la VI
Donc de toute façon x carré ne pourrait pas être égal à 0 puisque le x ne peut pas être égal à 0. Voilà, là on est bon pour le signe du bas.

ET maintenant le signe du haut. Comment tu ferais ? Essayez de réfléchir au signe du haut avec vos connaissances. On peut l’avoir. C’est quel type de fonction ? Est-ce que tu peux reconnaitre son signe ? Moi je pense que oui. Pas directement mais assez facilement avec un petit calcul.
C’est un polynôme de degré 2. C’est de la forme ax carré+bx+c. Sauf qu’on n’a pas de b. Le b vaut 0, le c vaut -1 et le a vaut 2. Il faut calculer delta tu te souviens, après le signe du trinôme c’est signe de a, signe de -a, signe de a, s’il y a des racines.
Donc delta : b carré-4ac. Ça, c ‘est la formule, on peut la remettre toujours, et maintenant on remplace. C’est toujours intéressant de la remettre la formule parce que ça permet d’avoir les coefficients sous les yeux. Après quand on a l’habitude on n’est pas obligé.
Alors le b, c’est 0 donc ça fait 0 au carré moins 4 fois a, le a c’est 2, et fois c, donc fois -1. Ça fait 8. Donc on trouve 8. C’est positif donc il y a deux racines.

On calcule les deux racines x1 et x2. On se souvient des formules. Ça fait :
« Calculs mathématiques »
Là on va faire le tableau de signe ensuite de f’. -l’infini, +l’infini, tu peux mettre le moins racine de 2 sur 2, racine de 2 sur 2, et là on va obtenir notre signe de f’.
Ça s’annule pour nos deux racines, justement c’est ça une racine, c’est un x qui annule la fonction. Et là on a le signe de f'(x). Donc on avait dit signe de a, c’est-à-dire plus, signe de -a : moins, et plus.
En gros on voit la courbe, c’est ça que ça donne, une parabole tournée vers le haut, avec l’axe des abscisses comme ça. C’est ça qu’il faut voir derrière : plus, moins, plus. Voilà.
Ensuite, tu obtiens les variations de f : quand c’est plus, c’est croissant, quand c’est moins, c’est décroissant et voilà.

Donc on a vu comment dériver des fonctions relativement simples, mais c’est les premières qu’on voit donc c’est bien. Si tu as un autre exemple, tu me le donnes et on le fait.
Donc la dérivée de x au cube plus 3x plus 1. Première étape : tu me dis c’est un « plus », un « fois », un « moins » ? On est d’accord, c’est un plus. Ça veut dire, deuxième étape, qu’on applique la formule de la dérivée d’une somme. C’est la somme des dérivées en fait. On dérive donc chaque terme.
Comment dérive-t-on x puissance 3 ? Tu te reposes la question : quelle est la structure de cette fonction x au cube ? C’est une fonction du type x puissance n et ça, ça se dérive en n*x puissance n-1. Donc on met la puissance devant : 3 et on enlève 1 à la puissance donc ça fait 2.
On fait pareil avec le 3x. Le 3 on le garde devant, c’est un coefficient multiplicateur, et on applique la même technique parce que x c’est aussi x puissance 1. Donc c’est du x puissance n avec n=1. Donc tu fais pareil : 3*1*x puissance 0. Et x puissance 0, c’est 1. Une puissance 0 c’est égal à 1. Et la dérivée de 1, c’est 0.
Après, oui, si tu veux aller plus vite, effectivement, la dérivée de ax+b c’est tout simplement a. Et donc c’est tout simple, tu obtiens comme f'(x), on regarde ensemble : 3x carré plus 3.

Qu’est-ce que tu peux faire pour étudier le signe de ça ? Est-ce que tu ne peux pas déduire le signe de ça directement ? Qu’est-ce que c’est que le signe de 3 x au carré ? Qu’est-ce que c’est que le signe de 3 ? Bon 3, c’est un nombre positif. Et là, on n’a pas besoin de faire autre chose pour avoir le signe parce qu’on l’a directement.
C’est positif, oui, c’est ça. Pourquoi c’est positif en fait ? Tout simplement parce que x au carré, c’est positif. C’est supérieur ou égal à 0. Ce n’est pas forcément strictement positif mais c’est supérieur ou égal à 0. Donc 3x au carré également.
Et donc on obtient un truc supérieur ou égal à 0 plus 3. Donc un nombre positif auquel vous ajoutez 3 et bien vous serez certain d’obtenir un nombre strictement positif. Et donc du coup on peut dire directement que f est croissante sur R. Elle est même strictement croissante parce que la dérivée est strictement positive.
Strictement croissante, ça veut dire que c’est une fonction où il n’y a pas de plat en fait. Une fonction qui a des plats, même si elle monte tout le temps, on dit qu’elle est croissante, pas strictement croissante parce qu’il y a des plats. Une fonction strictement croissante, c’est une fonction qui monte tout le temps. Il n’y a pas de plat. C’est ça la différence.

Tu me donnes (3x+1)/2. Voilà la fonction. Comment dériver cette fonction ? Tu pourrais te dire, première étape, c’est un quotient, c’est-à-dire un « divisé ». C’est vrai. Il vaut mieux essayer d’écrire autrement f. C’est beaucoup plus simple. Là on a une fraction : c’est 3/2 de x plus 1/2. C’est beaucoup plus simple de le voir comme ça. Donc, là c’est une somme : première étape.
Deuxième étape, on applique la formule et on obtient 3/2. C’est fini. Voilà la dérivée de notre fonction.