Vidéo 19: 1ère S Intersection d’une courbe avec les axes d’un repère orthonormé
Donc dans cet exercice, il te faut trouver les points d’intersection de la courbe de F avec, dans un premier temps, l’axe des ordonnées et dans un second temps, l’axe des abscisses. Alors intéressons-nous d’abord aux intersections de la courbe avec l’axe des ordonnées.
Alors je vais tracer une courbe de F quelconque dans un repère orthonormé. D’accord?
Imaginons que F ait cette forme-là; alors quelle est l’intersection de F avec l’axe des ordonnées? Et bien c’est ce point-là! D’ailleurs il ne peut en avoir plus qu’un seul, parce qu’aucune courbe dans un repère orthonormé ne peut intersecté deux fois l’axe des ordonnées, c’est impossible – une fois au plus.
Alors ici il y a une intersection, et c’est tout simplement pour le point (0, F(0)). Voilà le point d’intersection.
Donc dans notre cas, il faut calculer le point, s’il existe, F de zéro. Et bien ce point, si tout simplement je remplace X par zéro dans cette expression, on obtient :
<calcul mathématique>
Voilà. Donc nous avons le premier résultat recherché, c’est-à-dire qu’on a le point d’intersection de la courbe F avec l’axe des ordonnées. Et ce point, on le note comme cela :
<calcul mathématique>
Donc voilà pour le résultat de la première partie de la question; cela se note comme ça.
La deuxième partie de la question nous demande de chercher les intersections entre la courbe de F et l’axe des abscisses que l’on note :
<calcul mathématique>
Alors, de la même façon que pour la première partie de la question, je vais te faire un schéma, dans un repère orthonormé.
Donc si la fonction F a cette forme-là, et bien le point d’intersection ici avec l’axe des abscisses, et bien c’est ce point-là. Alors comment le rechercher de façon analytique?
Et bien, cela correspond à l’équation :
<calcul mathématique>
C’est-à-dire que l’ordonnée d’un des points appartenant à la courbe de F est égale à zéro.
Donc une fois que tu sais cela, il faut donc chercher les X qui sont solutions de l’équation :
<calcul mathématique>
Après il s’agit de calculer, de tout simplement chercher les solutions de cette équation. Donc on n’en est plus à la résolution géométrique de cette question, on a traduit l’énoncé et maintenant il s’agit de résoudre cette équation. Donc :
<calcul mathématique>
Alors comment résoudre cela? Et bien tu peux tout mettre sur le même dénominateur à gauche. Alors regarde :
<calcul mathématique>
Donc voilà, maintenant il s’agit de développer en haut et, tout ceci on a sur le même dénominateur, qui est –X +5.
<calcul mathématique>
Donc, pour X différent de 5, il s’agit de résoudre l’équation du second degré :
<calcul mathématique>
Et donc là, il te suffit de calculer le discriminant, c’est-à-dire Delta, et de trouver les deux solutions réelles, s’il y en a. Donc ici :
<calcul mathématique>
Donc, Delta est positif et il y a donc deux solutions réelles. Ces deux solutions réelles sont :
<calcul mathématique>
Donc j’ai recopié le calcul ici – et ceci est égale à :
<calcul mathématique>
Voilà – donc c’est bien joli tout cela, on a terminé le calcul. En fait on a trouvé les X, c’est-à-dire :
<calcul mathématique>
tel que :
<calcul mathématique>
C’est-à-dire telle que notre courbe F s’intersectée avec l’axe des abscisses. Donc, en résumé, la solution, c’est-à-dire l’ensemble des points qui sont en intersection avec l’axe des abscisses, qui est :
<calcul mathématique> noté comme ceci,
et bien c’est l’ensemble :
<calcul mathématique>
Voilà comment se note l’ensemble des solutions. Donc la philosophie de l’exercice, c’est que la recherche des points d’intersection de la courbe de F avec l’axe des abscisses, et bien ça revient à résoudre cette équation-là :
<calcul mathématique>
Donc on obtient les points, c’est-à-dire les coordonnées des points d’intersection. Et pour trouver les points d’intersection de la courbe de F avec l’axe des ordonnées, il suffit de voir si le point F(0) existe, et le point d’intersection sera (0; F(0)).
