1ère S Intersection sphère plan
Comment déterminer l’ensemble des points d’intersection d’une sphère et d’un plan ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Soit S une sphère d’équation
<calcul mathématique>
Il faut déterminer l’ensemble des points d’intersection de cette sphère S et du plan P d’équation z=1.
Alors comment résoudre cet exercice ? Moi je te conseille déjà de faire un dessin en 3D, un dessin rapide, pour te rendre compte d’une chose. Alors on va tracer 3 axes suivant un trièdre direct. Alors qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire que l’axe X va correspondre au pouce, l’axe Y va correspondre à l’index et l’axe Z va correspondre au majeur.
Ça permet de tracer toujours le même repère orthonormé en 3D.
<Schéma>
Tu peux vérifier, en prenant ton pouce c’est X, ton index c’est Y et ton majeur c’est Z et tu verras que l’ordre est respecté. Il suffit de bien orienter ton trièdre formé par tes doigts par rapport à l’écran et tu vas voir que ça correspond. Donc on place l’origine qui est l’intersection des 3 axes.
On a une sphère d’équation x²+y²+z²=15. Alors déjà, quand tu vois une équation de sphère qui ressemble à ça, tout de suite, tu sais que la sphère est de centre O. Normalement c’est une équation que tu connais, qui est dans ton cours. Elle est de type x²+y²+z²= r² sachant que r c’est le rayon de la sphère donc le rayon de notre sphère ici c’est √15, donc un petit peu moins de 4. Donc peu importe nous on va tracer sans unités notre sphère sachant qu’elle est de centre O.
Voilà ! Et maintenant on va quand même introduire les unités puisque nous devons placer le plan d’équation z=1.
Alors le plan d’équation z=1, si tu prends un point M de ce plan il a pour côte, c’est-à-dire la coordonné selon l’axe des z, il a toujours pour côte 1 et sinon il a pour abscisse x et pour ordonnée y, n’importe quelle abscisse, n’importe quelle ordonnée. Donc finalement, c’est le plan suivant :
<Schéma>
Voilà ! Donc là tu visualises un petit peu mieux à quoi pourrait ressembler ce plan.
<Schéma>
Alors comment ce plan ci peut couper notre sphère verte, selon quel ensemble de points ? Et bien en fait quand tu as fait le dessin, peut être que tu vas mieux le voir. Donc tu imagines une boule que tu coupes avec une feuille de papier. Alors qu’est ce que ça donne au niveau de l’intersection de cette feuille de papier de notre boule.
En fait on obtient un cercle.
<Schéma>
Ce qu’il faut déterminer c’est une équation de cercle. Donc ça tu le pressens, on n’a rien démontré ici mais ça nous permet déjà de dire que ce qu’on va chercher ça ressemble très certainement à un cercle, à une équation de cercle. Donc maintenant comment le déterminer analytiquement. Analytiquement, je te le rappelle en mathématique ce que ça veut dire, c’est que ça fait intervenir les coordonnées, donc ici les coordonnées x, y, z.
En fait on va caractériser notre ensemble de points qui est l’intersection du plan et de notre sphère par une équation. Donc comment faire ? Si tu prends un point M de l’intersection de notre sphère et de notre plan on ne sait pas encore que c’est un cercle. On le pressent mais ça c’était juste pour le dessin, pour te le montrer. Comment caractériser le fait que le point M fait partie de l’intersection du plan et de notre sphère ?
En fait si M(x ;y ;z) appartient à la sphère verte ça signifie que ses coordonnées vérifient l’équation de la sphère donc ce qu’on peut faire c’est tout simplement renoter l’équation de la sphère.
<calcul mathématique>
ça signifie que le point de coordonnée x ;y ;z qui est notre point M appartient à la sphère puisque ses coordonnées satisfont l’équation. Maintenant vu que notre point M appartient aussi au plan B alors ses coordonnées vérifient l’équation de ce plan P et l’équation de ce plan P elle est toute simple puisque c’est z=1. Donc là côte de M qu’on a noté z aussi vaut 1, donc z=1. On a cette première équation là, et cette deuxième équation là en même temps.
Nous avons ces 2 équations à satisfaire en même temps puisque le point M il est à la fois sur la sphère et sur le plan. Donc en fait ici tu peux mettre une accolade et un « et » si tu veux ce qui fait qu’on obtient une sorte de système d’équations et ce système d’équations est équivalent à :
<calcul mathématique>
On obtient l’équation d’un cercle ! Un cercle dans le plan mais dans l’espace ça donne l’équation d’un cylindre. En fait puisqu’on a z=1 on est dans le plan, ce plan là que j’ai dessiné, c’est-à-dire le plan P. Puisqu’on est dans ce plan P et qu’on a cette équation x²+y²=14 alors on a l’équation ici d’un cercle dans ce plan et justement ce cercle c’est le cercle que nous avions dessiné ici en vert bleu. Donc ce cercle il est d’équation :
<calcul mathématique>
L’équation cartésienne d’un cercle de centre O c’est :
<calcul mathématique>
Donc on a caractérisé l’ensemble des points d’intersection de S et de P en résolvant le système d’équations formés par l’équation cartésienne de la sphère et l’équation du plan puisque tout point M appartenant à l’intersection de la sphère et du plan, et bien ses coordonnées à ce point M, vérifient les 2 équations en même temps. C’est pour ça que j’ai mis un « et » et une accolade.
À la fin on obtient bien l’équation d’un cercle x²+y²=14 et en plus ça nous permet de dire que le rayon de ce cercle c’est √14.
Pour conclure, la méthode générale pour déterminer un ensemble de points M qui est sur l’intersection de 2 objets en 3D et bien il suffit de prendre un point M de coordonnées x; y ; z qui appartient à l’intersection et de dire qu’en fait ses coordonnées vérifient les 2 équations, les équations des 2 objets 3D en même temps. Ici nos 2 objets 3D c’était la sphère et notre plan.
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