1ère S Intersections avec son asymptote, fonction sinus

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Alors dans cet exercice, un petit peu déstabilisant, il s’agit de chercher à savoir si cette courbe d’équation :

<calcul mathématique>

coupe son asymptote parallèle à l’axe des abscisses. Alors déjà, première question que tu peux te poser : Comment se fait-il que cette courbe d’équation ait une asymptote? Et bien si tu regardes bien l’expression de cette fonction, et bien tu te rends compte que sinus x sur x tend vers zéro.

Donc si on note cette fonction-là, F, et bien :

<calcul mathématique>

Donc tout ceci pour dire que la droite d’équation y=1, d’après la définition d’une asymptote, qui est ceci, et bien la droit d’équation y=1 est asymptote de notre courbe. D’accord? Et ça tombe bien puisque la droite d’équation y=1 est justement parallèle à l’axe des abscisses.

Donc, on a bien déjà déterminé une partie de la question, c’est-à-dire trouver l’asymptote parallèle à l’axe des abscisses dont la question parle. Donc ça, c’est déjà important d’avoir décrypté cela dans la question posée.

Ensuite, on nous demande si la courbe d’équation coupe son asymptote. Alors qu’est-ce que ça veut dire, coupe son asymptote? Ça veut dire qu’on nous demande de déterminer le point d’intersection entre la courbe F et cette asymptote-là.

Donc on nous demande de déterminer les points qui vérifient l’équation :

<calcul mathématique>

D’accord? Et ceci est équivalent à :

<calcul mathématique>

Puisque notre fonction n’est pas définie, de toute façon, pour X=0.

Donc là, on étudie tout ça pour X différent de zéro, et on obtient sinus x = 0.

Et quand est-ce que la fonction sinus égale zéro? Et bien, si tu la traces très rapidement dans un repère orthonormé…*trace graphique*

Donc sinus de zéro, c’est zéro. Sinus de pi sur 2, c’est 1. Sinus de pi, et bien c’est zéro. Sinus de 3 pi sur 2, on bascule dans le négatif avec moins un. Sinus de 2 pi, cela vaut zéro. Donc, c’est une fonction qui fait ceci.

Et donc cette fonction est impaire, puisque sinus de moins x égale moins sinus x – c’est à connaître. Donc, on obtient ceci, approximativement.

Ce qui fait que, là tu vois bien sur ce repère-là que la fonction sinus a ce comportement-là en bleu, et donc elle s’annule pour x égale zéro, x égale pi, x égale 2 pi, x égale moins pi, x égale moins 2 pi.

Donc, elle s’annule pour :

<calcul mathématique>

Ce qui fait que on a trouvé que :

<calcul mathématique>

Donc, il y a beaucoup de points pour lesquels on a F(x) = 1, c’est-à-dire pour lesquels cette fonction-là coupe son asymptote où la droite y=1.