1ère S Intervalle et Valeur Absolue

Alors, là on te donne un indice en plus, c’est-à-dire qu’on te dit de penser au milieu de cet intervalle, c’est-à-dire quel nombre en fait ?

6

Voilà, exactement. C’est-à-dire, pour tout le monde, ici on a a qui se ballade, disons sur un axe horizontal, ici on va avoir, disons zéro, on va le mettre, l’origine, on va avoir 5, par exemple là, et 7 là. Donc a, il se ballade là-dedans. En fait l’idée, c’est de traduire, je relis l’énoncé pour tout le monde, c’est de traduire ceci : le fait que a se ballade dans cet intervalle, à l’aide d’une valeur absolue. Vous allez me dire que ça ne sert pas à grand-chose, je suis assez d’accord, c’est juste pour étudier les valeurs absolues. Mais en tout cas ça va nous aider à comprendre comment ça marche.

Donc là, on nous donne un indice, c’est qu’il faut considérer le milieu de cet intervalle, c’est-à-dire 6. Est-ce que tu as une idée déjà Alexandra ?

Non.

Pas vraiment ?

On peut utiliser 6 dans la valeur absolue.

Exactement. Alors ce qu’on va faire, c’est prendre un petit exemple. Regarde, si je mets ici le nombre a, si je le mets au-dessus de 6, entre 6 et 7, <Figure>.

Ce que je peux rappeler, c’est qu’une valeur absolue c’est très utile. Je disais que ce n’est pas forcément très utile comme exercice mais j’ai eu tort peut-être parce que ça peut être utile une valeur absolue pour étudier les distances entre deux nombres. Je vais faire un petit rappel, c’est-à-dire que là tu as par exemple x, |x-y|, qu’est-ce que ça te donne en fait cette quantité là ? On peut l’appeler Q comme quantité. A quoi ça correspond si je place par exemple sur un axe toujours horizontal, x n’importe où et y là. Ou après, je peux le mettre avant x, peu importe.

C’est la distance.

Exactement oui. C’est ça, c’est ce que je viens de dire donc pas de soucis. C’est ça <Figure>. Et pareil, peu importe, ça marche aussi cette formule quand vous avez votre y, donc là si je place y, avant le x. Peu importe où il est par rapport au x.

La valeur absolue de x-y, c’est toujours la distance entre y et x ou entre x et y, peu importe l’ordre.

Donc ça, tu le comprends ? Ici, vu qu’on te dit d’utiliser le nombre 6 et que tu as ton nombre a dans cet intervalle entre 5 et 7, et bien comment on peut utiliser une distance et essayer de trouver une condition sur ce nombre a en vert. Quelle distance ça pourrait être intéressant de considérer dans ce cas ? La distance entre quels nombres par exemple, entre deux nombres toujours, une distance.

Entre 5 et 6, et 6 et 7.

Alors admettons qu’on considère la distance comme tu dis entre 5 et 6. Tu vois ce serait la valeur absolue par exemple de 5-6, qui je le rappelle est égale à la valeur absolue de 6-5, ça ne change pas, parce qu’ici on a aussi la valeur absolue de y-x. OK, mais une fois que tu as écrit ça, il n’y a pas le nombre a dedans.

Non.

Non. Et du coup, comment le faire intervenir ce nombre a. Il faudrait que tu le calcules, il faudrait plutôt que tu considères la distance entre le nombre a et l’un des trois autres nombres, c’est-à-dire 5, 6 ou 7.

D’accord, alors on peut dire que la valeur absolue de a-6, elle est strictement inférieure à 1.

Alors c’est très bien. Est-ce que c’est strictement inférieur à 1 ?

Inférieur ou égal.

Et bien tu vois, tu as réussi. Ça y est c’est fini. Alors pourquoi ? Parce que là, ici, tu as vraiment une distance, donc je vais noter d, comme ça, entre les nombres (je vais noter d comme ça), ça peut être 6, le nombre avec lequel je commence, ça peut être 6, et deuxième nombre a, d(6,a). Et donc la distance entre 6 et a, et bien, comme elle varie dans cet intervalle [5 ;7], et bien tout simplement cette distance, elle ne peut pas aller au-delà de 1. Et c’est bien ce que tu m’as dit. Donc c’est ça les conditions. C’est une inéquation sur la valeur absolue de |a-6| et je te rappelle que c’est aussi exactement la même chose que ça, |6-a|. C’est exactement la même chose.

D’accord.

Voilà, donc ton exercice est terminé. Une fois que tu as bien compris ça en fait, que la différence de deux nombres, et tu en prends la valeur absolue à cette différence, et bien ça te donne la distance entre ces deux nombres. Tu vois ? Voilà, c’est tout.