1ère S Jeu d’argent aléatoire

1ère S Jeu d’Argent Aléatoire 1/3

Comment comprendre ce qu’est l’univers d’une expérience aléatoire ainsi qu’un variable aléatoire à partir d’un jeu d’argent ?

. Bonjour je suis Romain Carpentier, bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui on va faire un exercice sur les probabilités, qui a été demandé par Léa qui souhaitait en savoir plus sur l’univers d’une expérience aléatoire pour comprendre un peu mieux ce que c’est. Qu’est ce que c’est aussi qu’une variable aléatoire et les événements équiprobables. Donc cet exercice est le suivant : on lance un dé cubique non pipé et si on obtient 1 on perd un euro, si on obtient 2 ou 3 on ne gagne rien, si on obtient 4, 5 ou 6 on gagne 2€. On note X la variable aléatoire qui correspond aux gains possibles. Il y a deux questions dans l’exercice :

1. Déterminer la loi de cette variable aléatoire X.
2. Calculer l’espérance de X. As-tu intérêt à jouer à ce jeu ?

Petit rappel sur ce qu’est une expérience aléatoire, un rappel appliqué à cet exercice. Ici nous avons affaire à une expérience aléatoire puisqu’on lance un dé cubique, finalement la face qu’on va obtenir après ce lancé c’est lié au hasard donc on a affaire à une expérience aléatoire. Aléatoire, ça veut dire lié au hasard. Donc maintenant quel est l’univers de cette expérience aléatoire ? L’univers en fait c’est tous les événements possibles dans cette expérience aléatoire. Ici quel est l’univers de notre expérience aléatoire ? Et bien on a un dé cubique non pipé. Qu’est ce que ça veut dire ? Notre dé c’est un cube déjà, c’est une forme très régulière, un cube. Chaque face a la même surface et non pipé ça veut dire qu’on ne l’a pas trafiqué, ce cube. On n’a pas limé une des faces pour qu’elle soit un petit peu plus grande.

Donc on a vraiment un dé qui est cubique, pas pipé, donc ces 2 adjectifs ici ça revient un petit peu à la même chose en fait. Ça veut dire que le dé, chaque face a la même surface donc la chance de tomber sur le nombre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 est exactement la même. Alors imagine si tu lances un dé qui a une forme de domino par exemple – et bien un domino possède 6 faces, géométriquement parlant c’est un pavé droit, et un pavé droit possède 6 faces, mais si tu lançais vraiment un dé qui ait une forme de domino ça représenterait une forme qui n’est pas cubique et pipé donc. La chance de tomber sur une des grandes faces de ce domino :

<Schéma>

La chance de tomber sur la face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 est exactement la même alors que dans le cas d’un dé qui serait pipé ou qui serait sous forme de domino comme celui-ci, et bien la chance ne serait pas la même. La chance de tomber sur 5 ou 6 est beaucoup plus grande que la probabilité de tomber sur 1, 2, 3 ou 4.

<Schéma>

Notre univers est composé de 6 événements. C’est ça notre expérience aléatoire. Après chaque événement, c’est-à-dire obtenir 1, 2, 3 jusqu’à obtenir 6, et bien vu que le dé est cubique non pipé, ces événements sont équiprobables.

<Schéma>

La probabilité de tomber sur chaque numéro est la même. Il y a autant de chance d’obtenir 1 que d’obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6. Finalement il y a autant de chances d’obtenir 1 que d’obtenir 5 par exemple. Autant de chance d’obtenir 2 ou 4.

1ère S Jeu d’argent aléatoire (2/3)

Donc nous allons essayer maintenant quand même de répondre à la première question. J’ai réécrit ici l’univers de notre expérience aléatoire comme je te le disais, c’était d’obtenir 1, 2, 3 etc…Chaque petite chose entre guillemet correspond à un événement. Un événement en probabilité c’est quelque chose d’extrêmement concret, lié à ton exercice ou ton problème donc nous notre événement quand on lance un dé c’est forcement obtenir un nombre. C’est ça l’événement qu’on obtient à l’issue de l’expérience aléatoire qui est le lancé de dé. Maintenant, on va essayer de répondre à la question qui est de déterminer la loi de cette variable aléatoire. On va y aller étape par étape.

<Énoncé> On lance un dé cubique non pipé et si on obtient 1 on perd un euro, si on obtient 2 ou 3 on ne gagne rien, si on obtient 4, 5 ou 6 on gagne 2€. On note X la variable aléatoire qui correspond aux gains possibles.

Il va peut-être falloir redéfinir notre univers : cet univers est bon, mais pour étudier la variable X qui correspond non pas à l’obtention de nombre, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 mais à des gains en euros, c’est-à-dire que quand tu obtiens 1 après le lancé de dé et bien tu gagnes un euro. L’univers ne va pas être composé d’obtenir 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 : il va être composé d’événements où on gagne ou on perd des euros. Donc il va falloir traduire notre univers U en un univers U’ qui s’exprime en fonction d’événements liés à l’exercice, parce que bien sûr l’expérience aléatoire est liée à un dé cubique mais les événements finaux ne sont pas d’obtenir 1, 2, 3, 4,5 ou 6 – c’est obtenir des euros.

<Schéma>

Qu’est ce qu’une variable aléatoire ? C’est une variable déjà, c’est-à-dire que X va pouvoir prendre plusieurs valeurs et on nous dit que cette valeur correspond aux gains possibles – son unité ce sera donc des euros car c’est des gains possibles. Aléatoire parce qu’elle est lié à notre expérience aléatoire de lancé de dés et d’obtention à partir des numéros 1, 2, 3, 4, 5,6 de gains. Finalement je te disais que X c’est une variable aléatoire. C’est une variable qui va pouvoir prendre quelle valeur ? Et bien elle va pouvoir prendre les valeurs qui font partie de U’. C’est-à-dire que X, ça va pouvoir être perdre un euro, donc X va valoir -1, X va pouvoir correspondre à l’événement ne rien gagner donc X sera égal à 0 et enfin X pourra correspondre aussi à l’événement gagner 2€, donc on aura X=2.

<Schéma>

Donc la variable aléatoire X, dis-toi que c’est quelque chose qui prend une valeur selon l’événement qui est dans l’univers. Sachant que l’univers répertorie tous les événements possibles, donc ici ne peut prendre les valeurs -1, 0, 2 qui représentent toutes les valeurs qu’il est possible de prendre dans ce jeu puisqu’on ne peut pas gagner 3€ dans ce jeu, on ne peut pas gagner 4, on ne peut pas non plus perdre 5€ juste après un lancé de dé. En fait il n’y a que ces 3 événements qui sont possibles, donc seulement ces 3 valeurs-là qui sont possibles pour notre variable aléatoire. Mais on n’a pas encore répondu à la première question puisqu’il faut déterminer la loi de cette variable aléatoire X et qu’est ce que c’est la loi de cette variable aléatoire X et bien ça veut dire qu’il faut chercher la probabilité pour que cette variable aléatoire valle respectivement -1€, 0€ ou 2€, donc il faut pour chacune des ces valeurs de X calculer la probabilité qu’on ait cette valeur de X – donc finalement la probabilité qu’on ait l’un des ces 3 événements. Ce qu’il faut étudier c’est la probabilité d’avoir :

<Schéma>

Maintenant, appliquons cette découverte à notre univers U’. Quelle est la probabilité de perdre un euro ?

<Schéma>

Donc c’est de cette relation à connaitre que provient cette égalité. Ici je t’ai fait un rappel très important. Finissons quand même avec cette loi de la variable aléatoire X : il nous reste juste à déterminer P(X)=2 et c’est la probabilité qu’on ait l’événement gagner 2€. Je regarde mon énoncé et on dit que si on obtient 4, 5 ou 6 après le lancé de dé alors on gagne 2€, donc ça veut dire que cette probabilité de gagner 2€ est égale à la probabilité d’obtenir 4 ou d’obtenir 5 ou 6.

<Schéma>

1ère S Jeu d’argent aléatoire (3/3)

Donc ça y est, on vient de répondre à la question 1. Donc j’ai recopié exactement les résultats. Je te le rappelle, déterminer la loi d’une variable X, ça veut dire en fait déjà déterminer quelle valeur peut prendre la variable X et souviens-toi que les valeurs que peut prendre la variable X correspondent exactement aux événements qu’il est possible d’obtenir dans notre univers ou dans notre expérience aléatoire, donc ce sont tous les événements de l’univers. Pour chaque événement, tu regardes combien peut valoir la variable X. Donc ici, souviens-toi, ça correspondait à l’événement perdre un euro, ici ça correspondait à l’événement ne rien gagner et ici l’événement gagner 2€ et qui constituait tous les événements possibles de notre univers et donc c’est tous les événements qu’on pouvait avoir à la suite de notre expérience aléatoire.

Ici la 2ème ligne, c’est la probabilité d’avoir chacun des événements de notre univers. Finalement ici la première ligne ce sont :

<Schéma>

Dans cet exercice, au début on avait un univers très simple puisque quand on lance un dé, forcement on obtient un événement « obtenir 1, 2… » jusqu’à obtenir 6, mais il fallait quand même adapter notre univers à notre variable aléatoire. En fait, il faut écrire les événements, donc écrire l’univers qui correspond à ta variable aléatoire et ici notre variable aléatoire elle correspond au gain possible donc forcement les événements que tu vas avoir doivent être liés à cette variable aléatoire et donc chaque événement doit aussi représenter un gain possible, et c’est effectivement ce que nous dit aussi l’exercice quand on lit en français. On perd un euro ou on ne gagne rien ou on gagne 2€.

<Schéma>

Une fois que tu as déterminé tous les événements possibles il faut déterminer la probabilité pour qu’on tombe sur cet événement puisque il y a des événements qui sont plus probables que d’autres. C’est le cas ici par exemple de gagner 2€. Tu as beaucoup plus de chances de gagner 2€, tu as une chance sur 2 en fait que de perdre 1€, tu as une chance sur 6 de perdre un euro. Donc les probabilités, il faut les déterminer, et c’est ça qui correspond à déterminer la loi de la variable aléatoire X. C’est le calcul de cette probabilité qui est important.

<Schéma>

En effet les probabilités que tu as trouvées correspondent à chacun des événements possibles. Quand tu fais la somme de ces probabilités ça correspond à la probabilité d’avoir ou le premier événement ou le 2ème événement ou le dernier événement. Donc forcement, cette probabilité elle vaut 1. C’est-à-dire que à 100% tu es sur d’obtenir ou l’événement 1, ou l’événement 2 ou N, puisque justement ton univers il décrit tous les événements possibles. Donc nécessairement quand tu ajoutes toutes les probabilités que tu as calculées il faut que ça fasse 1. Ça, c’est une sorte de vérification de tes calculs. Ici, on le fait tout de suite.

<Schéma>

Les probabilités qu’on a calculé à priori elles sont les bonnes, ça ne nous dit pas que ce sont vraiment les bonnes probabilités mais c’est une vérification. Si tu ne trouves pas 1, si tu trouves plus de 2, moins de 1, ce n’est pas bon. Il faut que tu vérifies chacune de tes probabilités.

<Schéma>

À quoi correspond cette expérience de X concrètement ? Et bien c’est la valeur moyenne aléatoire de la variable X. La variable aléatoire X te donnait les gains possibles pour le joueur. L’espérance de X, si le joueur joue pleins de fois, ça te donne la moyenne de ce gain.

<Schéma>

Ça veut dire que si le joueur joue beaucoup de fois, s’il joue 150 fois, et bien en moyenne à chaque partie le joueur est presque sur de gagner 5/6 d’euros. Donc ça ne veut pas dire qu’à coup sur à chaque partie le joueur va gagner 5/6 d’euros exactement. Non, ça veut dire qu’au bout de 100 parties, s’il fait la moyenne de ce qu’il a gagné, et bien il pourra dire que sur 100 parties il gagne en moyenne 5/6 d’euros. Sur 100 parties, il aura probablement gagné proche de 100 fois 5/6 d’euros donc à peut près 500/6, soit environ 80€. Donc finalement ça vaut le coup de jouer si tu ne mises rien à ce jeu. Si tu arrives à 0€ en poche, tu fais 100 parties, ça vaut le coup de jouer car tu as une espérance à chaque fois de 5/6 d’euros. Donc à chaque partie il est possible que tu gagnes 5/6 et selon la loi des grands nombres, si tu joues beaucoup de parties, forcément tu sortiras gagnant, et si tu joues 1000 parties, en moyenne tu vas gagner 1000 fois 5/6 donc tu rentreras chez toi avec un certain nombre d’euros en poche, donc ça vaut le coup de jouer.

Là, on a répondu à la 2ème question, on a calculé l’espérance de X et finalement d’où vient cette formule de prendre chaque X, de le multiplier par la probabilité et d’ajouter chaque fois, chaque événement, pour chaque X possible.

Et bien ça vient du calcul de la moyenne d’une série statistique. Les probabilités et les séries statistiques sont très liées.

<Schéma>

Si tu veux calculer ta moyenne de maths, tu vas ajouter toutes tes notes et tu vas diviser le résultat par le nombre total de notes de maths.

<Schéma>

Donc voilà d’où ça vient le calcul de l’espérance, et je t’ai dit aussi à quoi ça correspondait concrètement, donc ici à ta note moyenne et dans le cas de notre exercice au gain moyen pour un joueur qui se met à jouer à ce jeu-là.