1ère S Les 3 formes d’un trinôme et l’interprétation graphique des coefficients

Que signifient graphiquement les coefficients a, b, c, α, β ?

Alors toi, qu’est-ce que tu connais comme autre forme ? Tu peux avoir ton cours sous les yeux, il n’y a aucun souci. On est là pour vraiment rappeler les choses. Là c’est la forme développée. Déjà, factorisée, forcément je mets un « fois » quelque part. Je le mets là, et là on va avoir des parenthèses : premier facteur, et là, deuxième facteur. Dans un produit de facteur il peut y avoir plus de deux facteurs parfois. Il peut y avoir deux, trois, quatre ou cinq, peu importe. Donc là, qu’est-ce que ça va être ? QU’est-ce qu’on va mettre dans les parenthèses, qu’est-ce qu’on va mettre avant ou après. Donc ça c’est toujours notre f(x), c’est la même chose, c’est égal aussi à ça, donc là c’est a facteur de x-x1 et facteur de x-x2 <Calcul mathématique>. Notre inconnue ou notre variable plutôt, c’est toujours x et les autres ne sont pas des inconnues ou des variables. Ce sont des constantes. Normalement, elles sont connues dans les exercices. Là ça peut être par exemple 2, là ça peut être +3, là ça peut être tout simplement 7. Le x1 ça peut être +3 et le x2 ça peut être +7, d’accord ? Donc en fait, il faut bien voir que dans chacune des formes, il y a la variable qui est toujours le x, qui bouge. C’est pour ça qu’on la retrouve ici, c’est f(x). Ca c’est notre variable, et le reste sont des constantes réelles, c’est-à-dire que ce sont des nombres, ça peut être 2, 3, ça peut être -10 000 ou peut importe. D’accord, donc ici, tes constantes au début c’était a, b et c, elles n’ont pas de nom d’ailleurs. Parfois pour les fonctions affines vous avez un nom, vous avez le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, d’accord ? Mais pour un polynome du second degré, elles n’ont pas de nom. Ici tu as a, qu’on retrouve, c’est le même, ici tu as x1, c’est une nouvelle constante et x2. Et là, x1 et x2 ont un nom. Tu sais comment on les appelle ou pas ? Ça commence par un R, c’est un petit mot. Ce sont les racines. Ça te dit quelque chose ? Non, pas trop, ok.

Bon, ce n’est pas forcément très grave on va dire, ce sont les deux racines en fait, de ton polynôme. Alors il faut bien voir que cette forme qui est la forme factorisée, c’est vraiment la deuxième forme qu’on est en train d’écrire, elle n’existe pas toujours. Par contre la forme développée, elle existe toujours. Voilà, donc, maintenant, comment va poursuivre ? Est-ce que tu vois ce qu’on a comme autre forme ?

La forme canonique

La forme canonique, on appelle ça. OK, et donc du coup, la forme canonique, qu’est-ce que c’est pour toi ? Est-ce que tu as retrouvé ton cours, un petit peu ? J’ai l’impression que c’est perdu, des formules dans tes feuilles.

Oui, eh bien il y a beaucoup d’écriture.

Ah OK, il y a beaucoup de choses, oui. D’accord. Bon, alors la forme canonique, pas de souci, je vais te la rappeler. On la note, c’est toujours notre f(x), d’accord, notre f de variable x, le x ça varie, et ensuite, il y a trois nouvelles constantes qui apparaissent. Enfin, on a toujours notre a, qui est là <Calcul mathématique>, si tu arrives à mettre un polynôme sous cette forme là, j’ai oublié le carré… oups. Il y a un carré ici bien sûr. Parce que sinon, on n’aurait pas de x² nulle part. Donc ça c’est bel et bien notre forme canonique, voilà, donc là on a vu les trois formes, 1, 2 et 3. Alors maintenant, il faut connaître les choses suivantes, mais tu vas voir que petit à petit en pratiquant, ça va te paraître assez immédiat, ce qu’on va voir. C’est-à-dire, les correspondances entre les a, que j’ai noté ici en noir, les différents coefficients a, b et c, a, α,β. Il faut voir à quoi ça correspond graphiquement ces choses là. Tu te souviens que pour une fonction affine, tu te souviens, g(x) = ax+b, tu te souviens que le a et le b, ils veulent dire des choses graphiquement. Tu te souviens de ça ?

Oui.

Oui, un petit peu ? D’ailleurs, qu’est-ce que ça veut dire graphiquement le a, est-ce que tu te souviens de ça ?

Il indique pour quel x, non.

Pas tout à fait, tu n’as rien commencé, il indique quelque chose mais il indique quoi ?

L’ordonnée à l’origine

Alors non, et bien tu te trompes, le b c’est l’ordonnée à l’origine, c’est le b ça. Et le a il s’appelle comment ?

Le coefficient directeur

Voilà, et en fait, on peut se rappeler de ce qu’il indique en se souvenant de son nom. Le coefficient directeur, qu’est-ce qu’il va vouloir faire alors du coup ? Graphiquement. Tu te souviens de la courbe en plus, ça correspond à quoi ça ?

En partant d’un point de la courbe, on compte combien de …

Oui mais…

Précisément c’est quoi la courbe d’une fonction affine ?

C’est une droite.

Voilà, donc il faut bien le dire, c’est une droite. Donc Valentin me dit, vu que c’est un coefficient directeur, et bien il montre la direction, et bien oui. Le a, il te donne la direction de ta droite.

Et plus précisément, comment il te donne la direction de ta droite ?

S’il est positif ou négatif.
Voilà, et plus précisément, s’il est positif par exemple, a≥0, qu’est-ce que ça te dit sur ta droite ?

Elle sera montante.

Elle est croissante. On dit croissante. Montante, ça va aussi, il faut ne pas dire ça sur ta copie mais on se comprend.

Donc, elle va être comme ça, plus ton a sera petit, donc faible, moins elle sera croissante, elle sera comme ça, plate <Figure>. Si ton a vaut 10.000, elle est presque vraiment verticale. Tu comprends ?

Donc si a est négatif maintenant.

Elle sera décroissante.

Voilà, tout simplement. Donc elle sera comme ça. Alors quand on dit décroissante, c’est dans le sens de lecture tout simplement de la gauche vers la droite.

Non Valentin, ce n’est pas tout à fait grâce à y qu’on va trouver la direction, c’est juste grâce au a. Grâce à ce nombre ici, si vous avez 5x plus quelque chose, et bien le 5, le coefficient directeur, et bien il t’indique la direction de ta droite. 5, c’est une droite qui monte pas mal. Voilà, c’est tout ce qu’on sait. Ce que je voulais te faire voir comme rappel, c’est qu’on voit tout simplement que les coefficients a et b dans une fonction affine, b on ne l’a pas dit mais on va la rappeler très vite, ils ont une correspondance graphique, ils veulent dire quelque chose. Tu vois, c’est ça que je veux te dire.

Le b, est-ce que tu te souviens de ce que ça veut dire graphiquement ?

Donc tu as une droite. On sait grâce au a qu’elle est montante, qu’elle est décroissante ou qu’elle est croissante, et maintenant, le b qu’est-ce qu’il te dit ? Est-ce que tu te souviens de ça ? Tu vois, on peut faire un petit schéma. Ça s’appelle comment ? En fait, il faut se souvenir de ce qu’il dit, ce qui veut dire grâce à son nom, parce qu’on ne leur a pas donné des noms par hasard. On leur a donné des noms pour bien signifier ce qu’ils veulent dire justement. Donc là, oui ?

Combien vaut y quand x=0

Et bien c’est parfait ! C’est l’ordonnée à l’origine. Donc ici l’origine c’est quand x vaut zéro, et bien si on a une droite, n’importe laquelle, et bien cette droite elle est croissante donc son a sera positif, donc le b, c’est exactement ça là <Figure>, c’est le y quand x vaut zéro. C’est l’ordonnée de ce point ici rouge. Qui est de coordonnées quoi d’ailleurs, comme coordonnées il y a quoi ? Les deux. Droite (∆) <Figure>. Donc les coordonnées de ce point sur l’axe des y. En rouge.

1.

Oui mais plus génériquement, de façon plus générale ? Il a quoi comme abscisse déjà, vu qu’il est sur l’axe des ordonnées ?

Zéro.

Oui, c’est bien Florent. Ensuite son ordonnée comme tu m’as dit c’est p. Plus généralement quoi. Donc voilà les coordonnées de ce point. Est-ce que ça va ? Ça va tout le monde ? Dites-moi si vous comprenez bien ça. Donc si on a une droite qui est comme ça, c’est toujours le b ça. Le b comme me le disait Florent, là ici pourrait valoir 1, et là ici pourrait valoir -2. Voilà, donc on voit bien que le b c’est exactement quelque chose qui correspond à ça graphiquement. Voilà ça a une correspondance, ça a une signification graphique. Voilà, donc ça c’était un petit rappel pour la fonction affine. Donc souvenez-vous bien des noms de ces coefficients : coefficient directeur et ordonnée à l’origine, le p, et quand vous avez les noms, ça vous rappelle ce que ça veut dire graphiquement. Donc directeur ce qui dirige, et ordonnée à l’origine, c’est le y quand x vaut zéro. Tout simplement. Et donc là, et bien c’est pareil. Le petit a, b, c, en noir, le a, x1, x2 etc etc, tout ça c’est variable. Tous ces coefficients en noir plutôt, ils ont clairement des significations graphiques.

Alors ça ne va plus être sur une droite maintenant, parce qu’on sait que notre courbe de fonction elle est une parabole. Donc ça va tout simplement nous dire, les différents coefficients en noir vont nous dire si notre parabole, soit elle est tournée vers le haut, soit elle est vraiment tournée vers le bas. Ensuite ça va nous dire où est-ce que, les différents coefficients, on va voir précisément quoi, lesquels… Où est-ce que ça coupe l’axe des abscisses, ou ça ne coupe pas l’axe des abscisses, parfois on peut avoir une parabole comme ça qui est au-dessus, ou en dessous, et bien là ça ne coupe pas l’axe des abscisses. D’accord ? Est-ce que tu me suis là Florence ? Ça va ? Tu vois, en fait c’est ça. Ce sont ces choses là que vont te dire les coefficients en noir et c’est ce qu’on va rappeler tout de suite. Ils vont te dire aussi où est le sommet. Ça ce sera pour la troisième forme.

Donc je te propose de rentrer dans les détails tout de suite et tu vas voir que ce n’est pas compliqué, on va aller assez vite. Donc qu’est-ce qu’on va obtenir du coup ? Qu’est-ce qu’on va obtenir, et bien il y a quelque chose qu’on sait, c’est le a ici. Il signifie quelque chose, le a il va toujours signifier quelque chose donc je vais rentrer entourer les coefficients qui veulent dire quelque chose. D’accord ? Donc le a il veut dire quelque chose, le x1 aussi, le x2, le α et le β. Le b et le c ici, le c il veut dire quelque chose, le b peut-être un peu moins. D’accord ? Le c il veut dire plein de choses.

C’est parti et bien je fais un repère orthonormé

Donc je vais même en amener un vite fait.

Bon alors imagine, qu’est-ce que ça veut dire ton a. Est-ce que tu sais toi, tu peux me dire Florent. Ça va être toujours sur le signe de a, si le a est positif ça veut dire un truc, si le a est négatif, ça veut dire quelque chose d’autre. Est-ce que tu te souviens ?

Si la courbe est dirigée vers le haut ou le bas.

Oui, et bien c’est bien. En gros, ton a s’il est positif, qu’est-ce que ça peut vouloir dire ? S’il vaut 2 par exemple ? Tu as 2x²+quelque chose. Oui je t’écoute.

La courbe elle sera dirigée vers le haut.

Voilà c’est bien, donc on aura, on va dire plutôt la parabole sera tournée vers le haut, donc ton bol sera tourné vers le haut, sera comme ça, il pourra être là ça dépend, ça va être fixé par les autres coefficients, il pourrait être là <Figure>. Tu vois là j’ai dessiné pas mal de configurations possibles, il peut être n’importe où, d’accord ? D’ailleurs, est-ce que tu peux me dire lesquelles, enfin tu as vu j’ai commencé à tracer plusieurs choses mais, est-ce que tu peux me dire lesquelles des configurations coupent l’axe des abscisses ?

Est-ce qu’elles coupent toutes l’axe des abscisses ?

Non.

Non, il y a celle-ci qui ne coupe pas. Et celle-ci aussi. Voilà. Donc pour ces deux courbes là, ça veut dire qu’il n’y a pas de x1 et de x2, parce que c’est ce que je voulais te dire, le x1 et le x2 maintenant qu’on a vu le a, on sait que a, quand est positif et bien la parabole est tournée vers le haut, quand a est négatif, et bien c’est tourné vers le bas. D’accord, et le x1 et le x2 ; ils veulent dire en fait, ce sont les x pour lesquels ta parabole coupe l’axe des abscisses. Tu vois ? Celle-ci elle coupe l’axe des abscisses par exemple. D’accord ? Et là ce sera le x1 et le x2 <Figure>. Qu’est-ce que c’est que la grande là ? Là tu as x1 et le x2. Tu vois le x2 il pourrait valoir à peu près 5, le x1 il peut valoir à peu près -7. D’accord ? Celui-ci aussi. Là tu as x1 et x2, le x1 il vaut 1 et peut-être 8 ou x2. Et le a égal 3 par exemple, à peu près, quelque chose comme ça, ou, je ne sais pas moi, 5 ou je ne sais pas exactement mais en tout cas il est positif. Ça va ?

Oui ça va.

Donc si tu comprends ça, c’est déjà très bien. C’est-à-dire qu’on a déjà vu ce que signifient ces deux choses-là, les deux formes, donc développées et factorisées. Et donc comme je disais tout à l’heure, tu te souviens bien que la forme factorisée n’existe pas toujours. Pourquoi ? Parce que par exemple pour les deux là, les deux paraboles qui ne coupent pas l’axe des abscisses, que je vais faire figurer en orange, et bien il n’y a pas de forme factorisée. Tu vois, il y a pas de forme factorisée, parce qu’il n’y a pas de x1, x2. Tu comprends ça ? Oui ?

Donc ça ce n’est que la forme développée ?

Oui. Que la forme développée mais aussi la forme canonique. D’accord ? Il y a quand-même une forme canonique pour ça. Bon et bien c’est plutôt pas mal alors là, tu te souviens ce qu’on a dit, on résume un petit peu. Si le a est positif, la parabole est tournée vers le haut. C’est toutes celles que j’ai tracé ici sur mon repère.

Si a est négatif, par exemple s’il vaut -2, et bien la parabole est tournée vers le bas, donc ça sera ça. Ce genre de chose plus ou moins <Figure> large ou évasé. Voilà pour a, et maintenant le x1 ou le x2, tu vois avec un – devant. Il faut bien mettre le – ici. Et bien le x1, x2 ce sont tes x pour lesquels ta parabole coupe l’axe des abscisses. Tout simplement. Voilà et bien alors maintenant la forme canonique.
Alors tu as toujours ton a et le α. En fait, on ne va pas vraiment le démontrer mais je vais te le dire tout simplement. Le α et le β, ce sont tout simplement les deux coordonnées, ce sont deux nombres α et β. α première coordonnée, l’abscisse, et β deuxième coordonnée, c’est l’ordonnée justement. Et bien de quel point ? Et bien du sommet. Tout simplement, voilà. Est-ce que tu vois ce qu’est le sommet d’une parabole ? C’est tout simple.

C’est le creux.

Voilà exactement, c’est le creux. Ici même pour des paraboles tournées vers le haut, on parle quand même de sommet, même si c’est un peu bizarre, c’est un sommet, il y a des sommets vers le bas. Et donc là, ils sont là mes sommets. Et quand on a la forme canonique d’un polynôme, on a directement les coordonnées de ce sommet, c’est le α, c’est son x, et ensuite c’est le β, c’est son y. Donc ici, je ne sais pas par exemple, on aurait α qui vaut, je ne sais pas moi, -3 et le β qui vaut -2, environ. Voilà. Ça va ?

Et bien écoute, là on a déjà fait un très bon rappel du cours. Ensuite, ça c’est vraiment du cours. Donc il faut s’en souvenir ça c’est sûr.

On se souvient donc je répète, quand a est positif, ta parabole est tournée vers le haut. Quand a est négatif, ta parabole est tournée vers le bas. X1 et X2 et bien quand la parabole coupe l’axe des abscisses et bien on a le x1 et le x2. Et le sommet il est donné par le α et le β. Et tu es d’accord il y a toujours un sommet, donc ça existe toujours cette forme canonique. C’est juste la forme factorisée qui n’existe pas toujours. Celle-ci ça dépend. Ça dépend si ta parabole coupe ou non l’axe des abscisses. Bon, vu que c’est du cours comme je disais à l’instant, maintenant il faut savoir l’appliquer. Et là il y a pas mal d’exercices qu’on peut faire à partir de ça.