1ère S Limite à l’infini, racine carrée et expression conjuguée

Vidéo 16: 1ère S Limite à l’infini, racine carrée et expression conjuguée

Dans cet exercice, nous devons trouver la limite de :

<calcul mathématique>

quand X tend vers plus l’infini. Alors ce que je te proposes de faire, c’est d’étudier cette expression :

<calcul mathématique>

En fait, une première façon de faire – qui est la suivante – et bien on prend pour X positif, strictement, puisqu’on étudie la limite quand X tend vers plus l’infini. Donc prenons tous simplement X strictement supérieur à zéro – il doit être différent de zéro parce que X ici est une valeur « interdite ». On a :

<calcul mathématique>

Donc on a simplement éclaté la fraction en deux.

<calcul mathématique>

Et ceci, et bien il nous reste qu’à en étudier la limite, puisque la limite de 1 lorsque X tend vers plus l’infini, ça reste 1, évidemment. Donc, étudions la limite du deuxième terme.

Alors ce que je te proposes de faire, c’est de mettre en facteur au dénominateur – en dessous de la racine carrée – et bien de mettre en facteur X². Et bien on obtient :

<calcul mathématique>

Donc, on obtient :

<calcul mathématique>

Et bien racine carrée de X au carré, c’est X lorsque X est positif. Donc ici c’est le cas, alors c’est X.

<calcul mathématique>

Et quand X tend vers plus l’infini, et bien 1 sur x au carré tend vers zéro et donc :

<calcul mathématique> ça tend vers 1 donc tout ceci tend vers 1.

Ainsi, on peut dire que la limite, lorsque X tend vers l’infini, de ce terme-là, est égale à 1 -1, donc zéro.

Ça, c’est la première façon de trouver la limite. La deuxième façon d’étudier la limite d’une expression comme celle-ci quand X tend vers plus l’infini, c’est de penser à l’expression conjuguée. En effet, on a une racine carrée en haut et elle peut t’embêter. Une façon de l’ « enlever » est de multiplier par l’expression conjuguée. Et regarde ce que l’on obtient.

Donc, toujours pour X positif, ça ne change pas puisqu’on étudie au voisinage de plus l’infini, on va multiplier ceci par l’expression conjuguée. Donc pour l’expression conjuguée, il suffit d’inverser le signe ici, moins, donc on obtient plus. Donc c’est égal à :

<calcul mathématique>

Donc c’est bien beau, mais à quoi ça sert? Et bien ce que l’on reconnait ici, c’est

<calcul mathématique>

Et ceci est une identité remarquable qui est égale à

<calcul mathématique>

Et les carrés sont intéressants ici car ils permettent de faire disparaitre la racine carrée au numérateur. Donc, regarde ce que cela donne.

<calcul mathématique>

Donc, la limite de cette expression quand X tend vers plus l’infini – et bien c’est très simple : au-dessus c’est -1, et en bas et bien c’est plus l’infini facteur de plus l’infini, plus plus l’infini. Donc, le dénominateur tend vers plus l’infini. Et donc, on obtient -1 sur plus l’infini, c’est-à-dire zéro. Donc, de tout ça –

<calcul mathématique>

D’accord, donc ceci est la solution. C’était la deuxième façon de faire et ici, c’était la première façon de faire. Donc la première façon de faire c’était de transformer notre expression, qui est une fraction, en deux fractions plus simples à étudier et la deuxième façon de faire, il s’agissait de multiplier le numérateur par son expression conjuguée, afin de faire disparaitre la racine carrée au numérateur. De toute façon, elle allait réapparaitre au dénominateur, mais c’est plus simple à étudier. Donc, c’est une transformation à laquelle il faut toujours penser – c’est toujours intéressant de faire disparaitre la racine carrée. Et en fait, ce n’est rien d’autre que d’utiliser cette identité remarquable :

<calcul mathématique>

Donc, quand tu vois une racine carrée, pense toujours à l’expression conjuguée. C’est-à-dire inverse le signe ici, d’accord? Et comme ceci tu obtiens :

<calcul mathématique>

ce qui te permet de faire disparaitre la racine carrée. Et donc tu retrouve l’expression a+b au dénominateur, ici, mais ce n’est pas très grave puisque ceci nous permet d’avancer dans le calcul de la limite.