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Pour étudier la limite de cette suite, il te suffit de l' »encadrer » entre deux termes qui eux-mêmes ont une limite.
D’une façon générale, quand tu vois la fonction sinus quelque part, pense qu’elle est toujours comprise entre -1 et 1, pour n’importe quel nombre à l’intérieur !
Ensuite, une fois que tu as encadré le terme Un, il te suffit de conclure en disant que les termes de droite et de gauche convergent vers la même limite quand n tend vers + l’infini (ici 3).
Et par le théorème des gendarmes (ou théorème d’encadrement), tu peux dire que la suite (Un) (on note la « suite » entre parenthèses et le « terme » sans parenthèse, ne confond pas les deux) converge ET tu obtiens aussi sa limite, ici 3.
Dans cet exercice on nous demande de savoir si la suite (Un) définie par
<calcul mathématique>
converge? Alors pour le savoir, ce que je te propose de faire, c’est d’essayer d’encadrer (Un).
En effet pour tout N, et bien on a
<calcul mathématique>
Cela est une caractéristique des deux fonctions cosinus ou sinus – elles sont toujours comprises, quel que soit ce qu’il y a à l’intérieur, entre 1 et -1.
Donc, en multipliant par 1 sur N toute l’inégalité…1 sur N est positif, puisque N est supérieur ou égal à 1 – ceci est important, c’est ce qui permet de ne pas changer le signe de l’inégalité – et bien on a :
<calcul mathématique>
D’accord? Donc on a à gauche :
<calcul mathématique>
Voilà, et on ajoute 3 partout. En ajoutant un terme à une inégalité on ne change en rien son sens, donc on peut le faire :
<calcul mathématique>
Voilà, donc ceci –
<calcul mathématique>
Donc, par le théorème d’encadrement pour les suites, on obtient :
<calcul mathématique>
Voilà. Donc il suffisait d’encadrer le terme (Un) pour tout N ou pour N suffisamment grand, mais là pour tout N a fonctionné. Et en encadrant le terme (Un) par deux termes qui convergeaient vers la même limite, on a déduit par le théorème d’encadrement pour les suites que la limite d’(Un) valait 3.
Donc, non seulement (Un) converge, mais en plus on a trouvé sa limite, et sa limite est 3.
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