Dans cette vidéo de Maths, je te donne la méthode pour trouver la mesure principale d’un angle orienté dont tu as une mesure.
Mesure principale
Si on te donne un angle mesuré en radians, sa mesure principale est la mesure de cette angle comprise entre moins PI et PI. En fait, le concept est tout simple. En revanche, la traduction en termes mathématiques de ce problème peut faire peur.
Il n’y a pas de raison !
Il te suffit de rechercher la mesure principale que l’on note alpha = x + 2 pi k , où x est la mesure de l’angle donnée dans l’énoncé de l’exercice, 2 pi est un tour complet autour du cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens horaire inversé) et k le nombre entier relatif de tours complets qu’il va falloir ajouter ou retrancher à x pour que notre mesure finale alpha soit comprise entre -PI et PI.
Résoudre une inégalité
Tout est dit : nous exprimons cette phrase en français à l’aide d’une double inégalité. Plus précisément, nous exprimons par une double inégalité le fait que alpha, la mesure principale de notre angle orienté, cette mesure principale que nous cherchons, soit compris entre -Pi et Pi.
Tour complet…
Puis, nous allons résoudre cette inégalité, non pas en voulant chercher alpha lui-même, mais en voulant chercher k ! A savoir le nombre de tour complets à ajouter ou à enlever à x. Si k est positif, alors cela revient à lui ajouter des tours complets. Si k est négatif, cela revient à enlever des 2 pi 😉 .
Tu as bien compris ? A chaque fois que tu cherches la mesure principale d’un angle, applique cette méthode et tu trouveras.
Romain
| Transcription texte de la vidéo |
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1ère S Mesure principale
Comment déterminer la mesure principale d’un angle orienté?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui, nous devons déterminer la mesure principale alpha de l’angle orienté dont une mesure en radians est :
<calcul mathématique>
Premier rappel, qu’est-ce qu’une mesure principale d’un angle orienté ? Et bien la mesure principale d’un angle orienté est tout simplement une mesure alpha qui est entre –pi et pi. En fait, si tu traces le cercle trigonométrique – rappelles-toi que le cercle trigonométrique est très commode pour étudier les angles orientés et notamment exprimés en radians, puisque la mesure principale de l’angle x, tu peux ajouter ou retrancher un tour, mais en fait il faut absolument que cette mesure se trouve entre pi et –pi.
Le truc donc, c’est que la mesure ici de l’angle x n’est pas nécessairement comprise entre –pi et pi. La preuve ici, alors on doit étudier un ange dont la mesure en radians est -17pi sur 3. Le problème c’est que -17pi sur 3 n’est pas entre –pi et pi, puisque ce nombre est clairement bien inférieur à –pi. Du coup, ce qu’il faut faire, c’est d’essayer d’ajouter ou de retrancher – en fait on va ajouter ici puisque l’angle -17pi sur 3 est très loin devant –pi. Donc en fait il faut lui ajouter des tours afin qu’il soit compris entre –pi et pi.
Donc ce que l’on va faire, c’est traduire ceci mathématiquement de la façon suivante. Donc on va dire qu’on cherche cette mesure principale alpha de la façon suivante :
<calcul mathématique>
Donc comment chercher cet angle-là ? On a traduit ceci comme ceci, alors on va chercher l’entier K, maintenant. C’est-à-dire combien de tour il faut ajouter à notre -17 pi sur 3 pour que ceci soit compris entre –pi et pi.
Donc nous allons rechercher – maintenant que nous avons traduit cette inégalité-là en cette inégalité ici – l’entier K tel que
<calcul mathématique>
Donc quel est l’entier qui est supérieur ou égal à 2.333 et qui est inférieur ou égal à 3.333 ? Et bien, c’est 3 ! D’accord ? Donc on a trouvé que k = 3. Mais ce n’est pas fini, puisque nous cherchons notre mesure principale, qui est alpha. Et alpha c’est x, -17pi sur 3, plus le nombre de tours que l’on rajoute à -17pi sur 3 pour que ce soit compris entre –pi et pi. Donc nous rajoutons 3 tours complets à x, pour qu’il soit compris entre –pi et pi.
<calcul mathématique>
Voilà donc la réponse de cet exercice est pi sur 3.
Donc la méthode générale pour trouver la mesure principale alpha d’un angle orienté dont tu as une mesure, et bien c’est d’écrire cette inégalité. Toi, tu cherches ce nombre alpha qui est compris entre –pi et pi. Donc alpha c’est ton angle dont tu as une mesure en radians, et tu va essayer d’ajouter ou de retrancher autant de tours complets que nécessaire pour que l’ensemble soit un angle compris entre –pi et pi. Donc tu transformes alpha en x plus 2piK. Et toi, tu essaies de résoudre cette inégalité en cherchant K, c’est-à-dire le nombre de tours complets qu’il faut ajouter ou retrancher afin d’obtenir une mesure d’angle entre –pi et pi. Une fois que tu as trouvé K, tu dois revenir ici et ajouter K à la valeur de x.
Donc c’est ce que nous avons fait ici. Et nous avons obtenu pi sur 3, ce qui tombe bien car pi sur 3 est définitivement compris entre –pi et pi.
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8 Comments
Kévin
29 août 2011merci beaucoup Romain !!! j’ai enfin compris les angles orientés grâce à toi!!
Sonia
11 décembre 2011Bonsoir Romain, je viens de voir ta vidéo sur la trigonométrie et vraiment, je te remercie pour toutes les vidéos que tu réalises. Je n’avais rien compris aux mesures principales mais là en seulement 11 minutes, j’ai réussi à comprendre quelque chose que ma professeur a mis 1h à m’expliquer et au final, sans aucun résultat .. Donc encore une fois, merci merci pour ces vidéos.
Romain
11 décembre 2011Merci Sonia 😉 ! C’est super ça !
Dans ce cas, je suis sûr que d’autres vidéos t’aideront très vite, comme celle-là.
Romain
Anaïs
21 avril 2013Bonjour Romain merci beaucoup pour ta vidéo moi même je ne comprenais pas du tout comment trouver une mesure principal. Je suis en seconde et mon prof de maths m’a donné un devoir avec un exercice ou justement il faut trouver des mesures principales. J’ai une question sur ta vidéo, à la fin lorsque tu fait -17pi/3 + 18pi/3 = pi/3 j’aimerais savoir comment tu trouve se résultat car moi lorsque je tape sur ma calculatrice cette opération je trouve 1,04….. et je ne sais pas comment remettre se résultat en pi/3. Si tu prend le temps de me répondre je te remerci d’avance !
Romain
21 avril 2013Merci de ton message Anaïs.
Il ne faut pas mettre ça dans la calculatrice !
On a juste pris la mesure de départ : -17pi/3 et on lui a ajouté 3 tours complets = 3* 2pi = 6pi = 18pi/3
et on arrive à pi/3 car -17 + 18 = 1
Tu comprends ?
Romain
Anaïs
21 avril 2013Merci de m’avoir répondu, je ne comprends pas vraiment, par exemple j’ai un exercice ou je dois trouver la mesure principale de -97/5 j’ai suivis ta méthode, et à la fin je trouve qu’on doit rajouter 10 tours complets donc 10*2pi = 20pi = 100pi
Ensuite -97 + 100 = 3 et après ?
ismael
8 janvier 2015merci ROMAIN j’ai enfin tout compris grâce a toi et encorde merci
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