1ère S Mini-cours sur les coordonnées polaires

1ère S Mini-cours sur les coordonnées polaires

Bonjour à toi! Alors pour une fois, je ne fais pas un exercice; ce que j’aimerais faire c’est aborder un mini-cours sur les coordonnées polaires. Donc c’est un petit peu pour démystifier les coordonées polaires car souvent les élèves ont peur de celles-ci, alors que c’est quelque chose de tout simple et qu’ils peuvent connaitre depuis le collège en fait.

Donc, qu’est-ce que les coordonnées polaires? Et bien, tu as un repère OIJ direct – je vais le tracer tout de suite – voilà avec deux axes. Donc O c’est l’origine, I – ce vecteur-là, qui en fait le vecteur unitaire sur l’axe des abscisses, et le vecteur J – le vecteur unitaire sur l’axe des ordonées.

Si tu as un point M, n’importe lequel, disons ici, de cordonnées cartésiennes; disons (x,y). Les coordonnées cartésiennes tout simplement, c’est que ici tu as x (donc x fois le vecteur I), et ici tu as y, l’ordonnée de m, qui est y fois le vecteur J. En fait ce que l’on a comme relation c’est que :

<calcul mathématique>

Voilà, donc ce sont les coordonnées cartésiennes du point M, et on a le vecteur OM qui s’exprime de cette façon-là. Ah oui, je voulais dire aussi que le repère OIJ est direct; c’est-à-dire que la mesure de l’angle formé par les deux vecteurs I et J est pi sur deux. Voilà, donc plus pi sur deux.

Maintenant, que sont les coordonnées polaires de M?

Les coordonnées polaires de M – je change de couleur – et bien je vais faire apparaître ce segment-là, le segment OM. Et ici l’angle, que l’on nomme souvent Teta.

Alors ici, si tu remarques bien,  on a un triangle qui est rectangle, puisqu’on a le triangle ici, jusqu’à O et M. Et puis on a ce point, que je note A. Donc ce triangle-là est rectangle en A, et donc tu peux appliquer dans ce triangle toutes les relations trigonométriques que tu connais. Et de cette façon, tu vas retrouver les coordonnées que l’on appelle polaires de M.

Donc, les coordonnées polaires de M, c’est tout simplement par définition M et Teta. En fait, les coordonnées polaires ne sont rien d’autre que de pouvoir repérer un point dans un espace en deux dimensions avec un angle et une distance par rapport à l’origine de ce repère. Donc c’est une autre façon de repérer un point.

Maintenant, pourquoi faire apparaître ce triangle rectangle? Et bien tout simplement pour mettre en relation ces coordonnées polaires-là – qui peuvent être un peu effrayante – avec ce que tu connais bien, les coordonnées cartésiennes (x,y). Et ce n’est pas compliqué.

Pour ce faire, par exemple, tu peux appliquer une relation trigonométrique très simple, qui est le cosinus de Teta :

<calcul mathématique>

Parce que c’est défini comme ça! OM, ce segment-là, correspond à la longueur R. Et donc, tout de suite, tu obtiens une relation entre X et R, puisque tu as le Cos Teta. Donc, finalement :

<calcul mathématique>

Voilà! Première relation qui va être importante de connaître.

En fait, tu n’as pas nécessairement besoin de les apprendre; tu as juste besoin de savoir à quoi correspondent R et Teta, lorsqu’on parle de coordonnées polaires. Et il suffit de retenir ce schéma – quand tu retiens ce schéma, tu peux retrouver toutes les relations, et tu peux aussi retrouver la relation qui lie Y, R et Teta. Et bien c’est tout simple, tu calcules Sinus Teta.

Sinus Teta, si tu regardes bien, c’est l’opposé de l’angle Teta :

<calcul mathématique>

Et AM, ce n’est rien d’autre que cette distance-là, qu’on retrouve ici, Y. Et c’est ça qui est intéressant : tu vas pouvoir mettre en relation très facilement R et Teta, et X et Y.

<calcul mathématique>

Et donc tu obtiens une deuxième relation très importante, qui est :

<calcul mathématique>

C’est pour ça que je ne te recommande pas nécessairement de les apprendre…en fait, elles vont te revenir rapidement une fois que tu auras bien compris que tout ça est lié à la trigonométrie; c’est-à-dire à l’expression de sinus et cosinus de cet angle-là, et puis aussi à ce triangle rectangle-là dans lequel on va appliquer tout de suite une autre relation que tu connais très bien, le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore te dit, dans ce triangle-là, que l’hypoténuse au carré :

<calcul mathématique>

Donc je ne te recommande pas nécessairement de retenir ces trois relations-là par cœur, mais en fait je te recommande de comprendre d’où elles viennent et de pouvoir les retrouver en 30 secondes sur un brouillon si jamais tu en as besoin.