Vidéo 25: 1ère S Monotonie d’une suite, calcul sur les puissances
Voilà donc dans cet exercice, nous devons étudier la suite Un, définie par :
<calcul mathématique>
Et surtout nous devons étudier la monotonie de cette suite. Alors qu’est-ce que cela veut dire « la monotonie » d’une suite? Alors, savoir si une suite est monotone, c’est se demander si elle est croissante, décroissante ou aucun des deux. D’accord? Donc pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, tu peux t’intéresser à la différence :
<calcul mathématique>
et en fait tout simplement calculer cette différence. Et c’est surtout à faire quand tu as, comme ici, la définition de Un. D’accord? Donc on va ici calculer :
<calcul mathématique>
Alors à quoi ça sert de calculer cette différence? Et bien c’est assez simple, puisque dans un autre exercice je te montre aussi – mais là je vais te le remontrer – c’est que si on a
<calcul mathématique>
pour tous les N sur lesquels Un est définie, alors la suite Un est croissante. Pourquoi est-elle croissante? Et bien parce que chaque terme suivant du terme Un est plus grand que le terme Un – donc chaque terme suivant est plus grand que le terme précédent. Cela signifie donc que la suite « augmente », donc elle est croissante.
Le cas opposé, si
<calcul mathématique>
et bien la suite Un est décroissante.
Tu as un autre cas, qui est si
<calcul mathématique>
c’est le cas pour lequel la différence serait nulle, pour tous les N sur lesquels Un est définie. Et bien dans ce cas-là, ça veut dire que chaque terme suivant est égal au précédent, donc la suite Un est constante.
Voilà. Et si tu calcules
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Et que tu tombes sur un signe qui oscille, ou qui change parfois selon les N, alors cela veux dire que c’est le quatrième cas, le cas ou Un n’est pas monotone (ni croissante, ni décroissante, ni constante).
Voilà, donc c’est un simple rappel sur la façon de déterminer si une suite est monotone, ou plus généralement croissante, décroissante, constante ou aucun des trois. Voilà.
Donc ici, comme je te le disais, nous allons calculer cette différence :
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et en étudier son signe. Alors le truc c’est que, parfois, dans certains exercices, on pourra calculer non pas cette différence mais :
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et c’est le cas ou la suite Un est strictement positive pour tous les N sur lesquels elle est définie. Donc ici c’est le cas parce que N est défini pour tous les entiers naturels – pour N supérieur ou égal à zéro entier – et si tu regardes bien on a Un qui est tout le temps strictement supérieur à zéro. Donc on pourrait aussi calculer ce rapport et montrer, en fait – et non pas le comparer à zéro cette fois-ci, mais le comparer à 1 – d’accord?
Ça, c’est vraiment quelque chose à quoi il faut penser quand la suite Un est strictement positive. Donc elle ne doit jamais s’annuler. Pour ne doit-elle jamais s’annuler? Parce que si elle s’annule, et bien ce rapport-là peut ne pas être défini. Donc c’est pour cela que la suite est strictement positive. Donc parfois tu auras à calculer ce rapport-là et à le comparer aussi à 1, dans certains exercices, toujours dans le même but; étudier la monotonie.
Donc ici j’y viens enfin.
Pour tout N sur lesquels Un est définie, c’est-à-dire tous les entiers naturels, cette différence-là c’est Un plus 1, déjà, et il suffit de remplacer dans cette expression-là par N plus 1. D’accord? Donc on obtient :
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Donc tout ce terme-là est Un plus 1. D’accord? Et maintenant, il nous reste qu’à déterminer moins Un. Donc :
<calcul mathématique>
Donc je n’ai fait que renoter Un, qui est défini ici, qui s’exprime comme ça. Voilà, donc j’ai mis des parenthèses pour aller plus lentement dans le calcul et pour que tu comprennes mieux.
Donc une fois qu’on a tout ceci, et bien on peut aller plus loin dans le calcul :
<calcul mathématique>
Alors, ce que j’aimerais te faire remarquer, c’est que un nombre exposant a+b – je vais le noter dans la marge en noir – et bien c’est ce nombre exposant a fois le nombre exposant b. C’est vraiment une règle de calcul qu’il faut connaître.
Donc, si dans notre cas particulier tu as a=n, b=1 et U qui vaut ici 1,5, et bien regarde :
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Donc, on regarde ce qu’il se passe.
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Et puis voilà, on continue le calcul. Donc ce qui était intéressant c’était le rappel de cette règle de calcul puisqu’on obtient 1.5 puissance n ici et ici. Donc, vu qu’on l’a deux fois, on va factoriser.
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Donc, voilà pour ce calcul. En fait, ici tu pouvais le voir tout de suite, puisqu’on avait
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Et donc cette quantité-là tu en a 1.5 fois, et tu en enlève 1 fois – donc forcément il t’en reste 0.5. Donc tu obtiens ce résultat-là pour cette différence-là.
Ok, donc lorsqu’on te demande d’étudier la monotonie d’une suite, il faut calculer cette différence-là pour tous les N et on tombe là-dessus. Mais surtout il faut calculer cette différence-là et la comparer à zéro, c’est-à-dire trouver son signe. Et ici c’est simple, puisque 1 est supérieur à zéro. 0.5 est supérieur à zéro, et puis 1.5 puissance n – il n’y a pas de miracles là non plus car 1.5 comme nombre c’est supérieur à zéro. Si tu le mets à la puissance 1, donc ça reste le même, à la puissance 2 ça donne un nombre positif, etc. Donc, tu te rends compte que ce nombre-là est positif aussi.
Donc, tout ça est supérieur à zéro, et pour tout N naturel.
Donc, en conclusion, pour tout N appartenant à Grand N, et bien on a Un plus 1 moins Un qui est supérieur à zéro. D’accord? Donc, la suite Un (il faut bien la noter entre parenthèse car ce n’est pas la même chose sans les parenthèses : quand on parle de Un sans parenthèse, on parle du terme Un et non de la suite).
Donc, Un est strictement croissante. Voilà!
