1ère S Probabilité et géométrie
Bonjour à toi! Alors, dans cet exercice, on a une cible qui est un disque de rayon R, et dans lequel s’inscrit un hexagone convexe régulier. Un hexagone c’est simplement une figure à six côtés. Alors, si je lance une flèche sur cette cible, on me dit dans l’énoncé qu’elle atteint le disque – c’est tout ce que l’on sait. Et la question est, quelle est la probabilité qu’elle touche l’hexagone? Donc c’est-à-dire la probabilité qu’elle rentre dans cet hexagone-là, et donc la probabilité qu’elle ne soit pas dans ces petites aires ici. D’accord?
Donc la question va être de calculer la probabilité pour qu’elle touche l’hexagone. Et bien la probabilité est proportionnelle à l’aire de l’hexagone. Donc comment allons-nous calculer l’aire de cet hexagone? Et bien nous allons calculer l’aire de chaque triangle qui le compose. Puisque notre hexagone est régulier, et bien les six triangles qui le composent sont les mêmes triangles. Alors il va s’agir de savoir comment calculer l’aire de chaque triangle.
Si tu regardes bien, notre disque est de rayon R, donc on peut mettre R sur la figure, ici. Tous ses côtés-là ce sont des rayons du disque, donc ils sont égaux et ils valent R. Et ce triangle-là, il est isocèle, tu es d’accord, en O, qui est le centre du disque. Donc, si tu sais qu’il est isocèle, ces deux angles-là sont égaux. Et tu sais aussi que cet angle-là, tu sais comment il vaut car tu sais que l’hexagone est régulier, donc il divise l’angle de 360 degrés en six. Donc, l’angle de deux pi radiant en 6.
Donc cet angle Alpha, il vaut :
<calcul mathématique>
Et comme tu sais que la somme des angles d’un triangle, de ce triangle-là, vaut 180 degrés, c’est-à-dire 2 pi sur 2, donc pi, et bien tu sais que :
<calcul mathématique>
Donc tout ceci pour te montrer que les triangles qui composent notre hexagone régulier sont équilatéraux. Ce qui fait que l’on retrouve ici aussi R.
Donc pour calculer notre probabilité, il faut calculer l’aire de chaque triangle, la multiplier par 6 pour avoir l’aire de l’hexagone. Et notre probabilité, que l’on va noter petit P, sera égale à :
<calcul mathématique>
Et tu peux déjà voir ici que vu que l’air de l’hexagone est plus petite que l’aire du disque, puisque l’hexagone est inscrit dans le disque, alors le rapport vu ci-haut est inférieur à 1. Donc c’est cohérent puisqu’une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Le plus compliqué là-dedans, c’es de calculer l’aire de l’hexagone.
<calcul mathématique>
Alors c’est peut-être ce calcul qui est le plus difficile dans l’exercice. Mais, on va voir que ce n’est pas si compliqué que ça, puisqu’il s’agit de prendre un des triangles à part. On va le travailler de façon isolée. Alors je fais un schéma ici, d’un triangle qui est équilatéral et de côté R. D’accord? Puis je vais le noter FGH.
Et donc nous cherchons l’aire, grand A, de ce triangle-là.
On a aussi sa hauteur. Pourquoi est-ce que je m’intéresse à sa hauteur? Et bien parce que tu sais que l’aire que l’on recherche c’est :
<calcul mathématique>
Comment va-t-on calculer le petit H? Et bien si tu regardes dans ce triangle-là, FG qui est rectangle ici, tu peux appliquer le théorème de Pythagore, que tu connais déjà depuis bien longtemps maintenant. Et le théorème de Pythagore s’applique de la façon suivante :
<calcul mathématique>
Et donc maintenant il s’agit de remonter, vu que nous avons tous les éléments!
<calcul mathématique>
Enfin donc pour répondre à la question finale, c’est-à-dire de calculer la probabilité lorsque je lance une flèche vers la cible, et bien :
<calcul mathématique>
Et donc la probabilité ne dépend pas de la taille de la cible, c’est-à-dire qu’on peut avoir une cible avec un tout petit R ou un plus grand R, et la probabilité que la flèche touche l’hexagone reste la même, cela ne dépend pas de R. Et cette probabilité est égale à :
<calcul mathématique>
Voilà pour le résultat final!
