1ère S Produit scalaire de deux vecteurs, parallélogramme

1ère S Produit scalaire de deux vecteurs, parallélogramme

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Aujourd’hui nous allons résoudre un exercice qui concerne les produits scalaires et nous allons plus particulièrement nous intéresser à un parallélogramme

<calcul mathématique>

Pour bien visualiser ce parallélogramme, je te propose qu’on le dessine. Donc un parallélogramme ses deux côtés sont égaux et parallèles, donc

<calcul mathématique>

Bon je mets tu vois les informations de l’énoncé sur le schémas sur la figure, et on a aussi

<calcul mathématique>

Et nous nous devons calculer le produit scalaire de

<calcul mathématique>

C’est-à-dire

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Alors quand tu regardes

<calcul mathématique>

Tu te rends compte qu’il est difficile de concevoir le produire le produit scalaire de ces deux vecteurs. En fait il faudrait découper

<calcul mathématique>

Suivant des vecteurs qui soient les mêmes. Et dans un parallélogrammes il y a beaucoup de vecteurs qui sont les mêmes puisque les côtés comme je te le disais sont égaux les côtés opposés sont égaux et parallèles. Donc par exemple on a comme vecteurs égaux on a

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Donc ce qu’on va faire c’est découper le vecteur

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On va noter

<calcul mathématique>

Et on va de la même façon découper

<calcul mathématique>

Donc comme ceci on fait apparaître des vecteurs dans chacun des découpage qui sont les mêmes. Là on va pouvoir comparer beaucoup plus facilement

<calcul mathématique>

Donc ces deux vecteurs là ce sont des vecteurs opposés et concernant bc et ad, eh bien il suffit de regarder un petit peu plus près bc et ad eh bien ce sont les mêmes vecteurs puisqu’on est dans un parallélogramme. Donc là on a une égalité de vecteurs ici.

Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va écrire le vecteur ac et le vecteur bd en utilisant les vecteurs ab et ad puisqu’on connaît leurs normes, on nous les donne dans l’énoncé

<calcul mathématique>

En fait ce sont les longueurs des côtés ab et ad. D’accord ?

Donc ce qu’on fait nous c’est qu’on va écrire

<calcul mathématique>

Et donc le vecteur bd on va l’écrire

<calcul mathématique>

Puisque le vecteur ba est tout simplement l’opposé du vecteur ab et ad on va le garder puisqu’on connaît sa norme on nous l’a donné dans l’énoncé.

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Et là tu vois qu’on a exprimé chacun des vecteurs ac et bd dont on doit calculer le produit scalaire en fonction des vecteurs dont on connaît les normes dans l’énoncé.

Tout ce qu’on va faire maintenant c’est qu’on va calculer le produit scalaire de ac et de bd, donc

<calcul mathématique>

Tout simplement.

Et ceci on pourrait développer entre guillemets puisque un produit scalaire comme ceci c’est  presque un fois c’est le fois c’est l’opération fois pour les vecteurs quelque part.

<calcul mathématique>

En fait c’est une identité remarquable.

Donc en développant tu retomberait sur tout simplement.

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C’est quand on note un carré d’un vecteur en fait on appelle ça un carré scalaire. Et en fait le carré d’un vecteur n’est plus un vecteur, c’est un nombre. C’est un réel. Et ici,

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Donc c’est la norme de ad au carré. Et la norme de ad au carré, je vais la noter tout de suite, eh bien

<calcul mathématique>

Donc voila pour le résultat.

Donc finalement ce qu’il fallait faire pour calculer le produit scalaire de ac et de bd, il fallait décomposer ces vecteurs en des vecteurs qui soient communs. Ici on avait décomposé

<calcul mathématique>

Et donc la philosophie derrière le calcul de ce produit scalaire c’est de découper chacun des vecteurs ici ac et bd en deux vecteurs, t ces deux vecteurs à chaque fois tu peux les comparer l’un à l’autre. Puisque quand tu vas « croiser » c’est-à-dire calculer le produit scalaire de ac et bd, tu vas faire se rencontrer des vecteurs qui peuvent se comparer

<calcul mathématique>