1ere S Produit scalaire

Produit Scalaire

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Aujourd’hui dans cet exercice, nous avons un repère orthonormé OIJ et on considère les vecteurs

<calcul mathématique>

Nous avons deux questions dans cet exercice et dans la première question on nous demande de calculer le produit scalaire de U et de W et ensuite le produit scalaire de V et de W. vu qu’ici on a les coordonnées de chacun des vecteurs, eh bien on va utiliser la définition analytique du produit scalaire. Alors rappelle-toi, il y a trois définitions du produit scalaire, la première, celle utilisant le projeté orthogonal, on va y revenir tout à l’heure avec la deuxième question, la deuxième utilisant la définition angulaire du produit scalaire, rappelle-toi le produit scalaire de U et V c’est :

<calcul mathématique>

Et enfin la troisième définition c’est la définition analytique et qui utilise les coordonnées des vecteurs U et V. alors, pour répondre à la première question, très simplement nous allons nous allons utiliser les coordonnées de U et de W pour calculer le produit scalaire.

<calcul mathématique>

Et pour le produit scalaire de V et de W c’est exactement la même chose :

<calcul mathématique>

Donc ici la définition que j’ai utilisée d’une façon générale c’est la définition analytique du produit scalaire :

<calcul mathématique>

Voila pour le petit rappel de cours sur la définition analytique du produit scalaire de deux vecteurs.

Nous on l’a appliqué ici à la première question. Et qu’est-ce qu’on remarque ? C’est la question qu’on nous demande, qu’est-ce qu’on remarque après avoir calculé le produit scalaire de ces deux vecteurs ? on remarque tout simplement que ce sont les mêmes. Puisqu’on a :

<calcul mathématique>

Donc on va s’attaquer à la deuxième question et on va faire le lien avec ce qu’on vient de remarquer tu vas voir.

La deuxième question, elle nous demande justement de placer les points dans un repère orthonormé que l’on va tracer tout de suite.

<calcul mathématique>

Voila pour le vecteur U.

Et donc pour le vecteur V que je vais tracer avec une autre couleur, le vecteur V il avance de 3 suivant l’axe des abscisses et il va monter de 1 ensuite suivant l’axe des ordonnées :

<calcul mathématique>

Voila, ensuite on va devoir placer le dernier vecteur W :

<calcul mathématique>

Maintenant qu’on a placé les trois points A B et C, dans la question 2 on nous demande d’interpréter à l’aide de ces points que l’on vient de dessiner, le résultat obtenu en 1. Rappelle-toi que le résultat que l’on avait obtenu c’était que le produit scalaire des vecteurs U et W et le produit scalaire d V et W valaient 15 tous les deux. Eh bien qu’est-ce que ça veut dire ? je te recommande en fait de te rappeler de la définition faisant intervenir le projeté orthogonal. Puisque finalement :

<calcul mathématique>

Ici je ne le démontre pas vraiment, mais ça se voit. En fait, quand tu projettes A ou B sur la droite OC, on obtient le même point, ici :

<calcul mathématique>

Et quand tu te rappelles la définition du produit scalaire avec projeté orthogonal justement :

<calcul mathématique>

Donc l’interprétation que l’on peut faire c’est tout simplement que projeter :

<calcul mathématique>

Voila pour l’exercice.