1ère S Raisonnement sur un polynôme de degré 4 à partir d’une racine
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1ère S Raisonnement sur un polynôme de degré 4 à partir d’une racine
Cette question est la première question d’un problème. Ce serait dommage de rester bloqué à cette étape 😉 ! Car cela t’obligerait à abandonner l’exercice, et ses points surtout…
Il s’agit d’un raisonnement un peu abstrait car la racine est notée «x0» («x zéro»), et il faut démontrer que 1/x0 est aussi racine du polynôme P, de degré 4.
Premièrement, il faut bien voir ce que signifie l’hypothèse « x0 est racine de P », c’est-à-dire exprimer cela d’une autre manière. A savoir P(x0) = 0 ; tu peux même aller plus loin en transformant P(x0) en utilisant l’expression de P… Bon, cela ne t’aide pas tout de suite, mais cela VA t’aider par la suite.
Deuxièmement, pour bien comprendre la question posée, c’est-à-dire ce que tu dois démontrer, il te faut exprimer l’assertion « 1/x0 est une racine de P » d’une autre façon : en fait, P(1/x0) = 0. Il faut donc démontrer ceci.
Alors pourquoi ne pas calculer P(1/x0) en utilisant l’expression de P qui t’est donnée, et démontrer que ça fait 0 ?
Voilà, donc dans cet exercice, nous avons un polynôme :
<calcul mathématique>
Et nous savons que X zéro en est une racine. La première question, est de démontrer que 1 sur X zéro est aussi une racine. Alors, ce qu’il faut démontrer, est que :
<calcul mathématique>
Ça, c’est la question qu’il faut réussir à démontrer.
Donc, ce que l’on va faire, c’est de calculer P de 1 sur X zéro.
<calcul mathématique>
Ok, donc calculons ce que l’on peut calculer :
<calcul mathématique>
Donc, si l’on mettait tout au même dénominateur, peut-être que l’on trouverait quelque chose qui pourrait nous avancer. Alors, je vous propose de faire ça – on va tout mettre sur X zéro puissance 4, puisque c’est simple:
<calcul mathématique>
Alors, au-dessus on retrouve – si l’on réordonne d’abord les plus grosses puissances :
<calcul mathématique>
Au-dessus, si vous regardez bien, on retrouve P de X zéro. Donc, on obtient :
<calcul mathématique>
Hors, puisque l’on sait que X zéro est une racine de P, alors P de X zéro égale zéro! Donc on bient :
<calcul mathématique>
Donc, on a bien démontré que :
<calcul mathématique>
Et on a bien démontré que 1 sur X zéro est une deuxième racine de P.
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