1ère S Rapport d’une homothétie

par Romain
dans 1ère S, Transformations
sur 3 avril 2011

Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, nous allons chercher le rapport d’une homothétie connaissant une relation vectorielle qui caractérise 3 points.

Dans le plan (c’est un exercice de géométrie dans le plan), nous avons trois points A, B et C placés de telle façon qu’ils respectent la relation vectorielle donnée dans l’énoncé de l’exercice. Ils ne sont donc pas disposés au hasard.

La relation vectorielle traduit immédiatement une colinéarité : les vecteurs CA et AB sont colinéaires. Puis, comme chacun de ces deux vecteurs possèdent un point commun qui est A, on déduit très vite que les points A, B et C sont alignés dans le plan !

Il n’est donc pas surprenant de chercher une homothétie de centre A qui transforme B en C car un homothétie donne toujours 3 points alignés : le centre, le point original à transformer et le point transformé !

Bon, très bien. Ceci ne nous dit pas comment déterminer le rapport de l’homothétie, je suis d’accord avec toi.

Pour ce faire, nous devons nous rapporter à la définition vectorielle de l’homothétie de centre A et de rapport le nombre réel noté k (et que l’on cherche ! ).

Une fois que tu as écrit la définition de ton cours, il te suffit de l’adapter à l’exercice, au cas particulier de B transformé en C par cette homothétie. En effet, la définition fait intervenir un point M quelconque du plan…

Et là, c’est la révélation ! Enfin normalement 😉 . Car, à partir de ce moment, tu vas voir que la relation vectorielle donnée dans l’énoncé de l’exercice « colle » tout à fait à cette définition de l’homothétie de centre A appliquée au point B transformé en le point C, tu saisis ?

Il ne te reste donc plus qu’à identifier le rapport de l’homothétie…

Autre façon de faire

Une figure ! Bien sûr ! En dessinant les points A et B n’importe où dans le plan de ta feuille de papier (on fait avec les moyens du bord hein 😉 ? ), donc ton brouillon d’abord et ta copie en devoir surveillé ou examen après, tu construis le point C d’après la relation avec les vecteurs donnée dans la question.

Et tu vas voir qu’il est très facile de déterminer le rapport d’une homothétie de centre A, si tu as bien compris comment ça marche, une homothétie 😉 .

Je te laisse, à la prochaine,

Romain

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1ère S Rapport d’une homothétie Comment déterminer le rapport K d’une homothétie à partir d’une relation vectorielle qui lie un point original et le point transformé de ce point original par cette homothétie? Bonjour et bienvenue dans cet exercice sur les homothéties et les translations dans le plan de niveau première S. Nous avons 3 points A, B, et C qui sont 3 points alignés du plan et nous considérons l’homothétie H de centre A qui transforme B en C. Il faut trouver en fait, le rapport de cette homothétie H sachant qu’on a la relation vectorielle suivante – CA =3AB. Alors déjà l’homothétie que l’ont considère et qui est notée H on sait qu’elle est de centre A donc ce qu’il nous reste à caractériser, c’est la question, c’est son rapport qu’on note souvent K. Et ce que tu sais c’est qu’une homothétie, elle transforme un point M du plan de la façon suivante : < calcul mathématique> . Ici, ce qu’on a de particulier c’est que l’on connaît M et M’ dans un cas particulier c’est que notre homothétie on sait qu’elle transforme B en C. Donc finalement notre homothétie on sait que : < calcul mathématique> . Donc si on trouve une relation vectorielle de ce type là, à partir bien sûr de la relation vectorielle qui est donnée dans l’énoncé de l’exercice et bien alors on pourra identifier notre relation vectorielle trouvée avec celle ci et donc en fait trouver K. . Donc ce qu’on va essayer de faire c’est qu’on va essayer de transformer cette relation vectorielle là en cette relation vectorielle ci de façon à identifier le K, à le trouver numériquement. Si on y arrive et bien on aura trouvé le rapport de notre homothétie. < calcul mathématique> Donc quand on te demande de chercher le rapport d’une homothétie, il faut vraiment chercher une relation vectorielle de ce type là et quand tu auras une relation vectorielle de ce type là tu auras ce nombre là qui est devant AB et bien c’est le rapport de ton homothétie. Ce qu’on aurait pu faire aussi c’est une figure puisque ici tu sais que les 3 points A, B et C sont alignés mais surtout tu connais une relation vectorielle entre eux. Alors comment faire une figure à partir de cette relation vectorielle, et bien ce n’est pas très compliqué : <Schéma mathématique>

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1ère S Rapport d’une homothétie

Comment déterminer le rapport K d’une homothétie à partir d’une relation vectorielle qui lie un point original et le point transformé de ce point original par cette homothétie?

Bonjour et bienvenue dans cet exercice sur les homothéties et les translations dans le plan de niveau première S. Nous avons 3 points A, B, et C qui sont 3 points alignés du plan et nous considérons l’homothétie H de centre A qui transforme B en C.

Il faut trouver en fait, le rapport de cette homothétie H sachant qu’on a la relation vectorielle suivante – CA =3AB.

Alors déjà l’homothétie que l’ont considère et qui est notée H on sait qu’elle est de centre A donc ce qu’il nous reste à caractériser, c’est la question, c’est son rapport qu’on note souvent K. Et ce que tu sais c’est qu’une homothétie, elle transforme un point M du plan de la façon suivante :

< calcul mathématique>

. Ici, ce qu’on a de particulier c’est que l’on connaît M et M’ dans un cas particulier c’est que notre homothétie on sait qu’elle transforme B en C. Donc finalement notre homothétie on sait que :

< calcul mathématique>

. Donc si on trouve une relation vectorielle de ce type là, à partir bien sûr de la relation vectorielle qui est donnée dans l’énoncé de l’exercice et bien alors on pourra identifier notre relation vectorielle trouvée avec celle ci et donc en fait trouver K.

. Donc ce qu’on va essayer de faire c’est qu’on va essayer de transformer cette relation vectorielle là en cette relation vectorielle ci de façon à identifier le K, à le trouver numériquement. Si on y arrive et bien on aura trouvé le rapport de notre homothétie.

< calcul mathématique>

Donc quand on te demande de chercher le rapport d’une homothétie, il faut vraiment chercher une relation vectorielle de ce type là et quand tu auras une relation vectorielle de ce type là tu auras ce nombre là qui est devant AB et bien c’est le rapport de ton homothétie.

Ce qu’on aurait pu faire aussi c’est une figure puisque ici tu sais que les 3 points A, B et C sont alignés mais surtout tu connais une relation vectorielle entre eux.

Alors comment faire une figure à partir de cette relation vectorielle, et bien ce n’est pas très compliqué :

<Schéma mathématique>

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