1ère S Résoudre une équation avec une racine carrée, un peu dure

par Romain
dans 1ère S, Fonctions, Polynômes
sur 26 juillet 2015

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer comment résoudre une équation avec une racine carrée, en 2 étapes.

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1ère S Résoudre une équation avec une racine carrée, un peu dure Qu’est-ce qu’il faut pour que ce soit calculable tout ça ? En gros c’est ça, dès que tu as le terme « ensemble de définition », ça veut dire qu’il faut que tu puisses calculer ton f(x) si c’est une fonction et il faut que tu puisses calculer les deux membres à gauche et à droite du égal dans une équation. Alors, comment on va faire ? Il faut que <Calcul mathématique>. Pourquoi ? J’ai le droit d’avoir une racine carrée qui est égale à zéro. Tu es d’accord ? Mais par contre, sous la racine carrée ici, tout ce nombre, en gros, racine carrée d’un nombre, c’est positif. C’est vrai que d’une façon générale, le tout est toujours positif. Mais quand est-ce que je peux la calculer cette racine carrée ? Quand est-ce que je peux la calculer selon mon nombre. Il faut que mon nombre il soit quoi ? Qu’il soit réel. Ça c’est vrai, mais est-ce qu’il peut être négatif ? Est-ce que la racine carrée de -2 ça veut dire quelque chose pour toi ? Non. Et bien non, en fait tu ne peux pas calculer. Si tu dis ça à ta calculatrice, elle va donner une erreur. En fait tu ne peux pas calculer de racine carrée d’un nombre à l’intérieur qui est négatif. Tu comprends ? Oui. Donc ça veut dire qu’il faut que ce qu’il y a sous la racine carrée, donc ce que j’ai entouré en rose ici, soit supérieur ou égal à zéro. Exactement, c’est parfait. C’est ça qu’il faut dire. Et comme ceci, c’est calculable mon truc. Ok ? Rappelle-toi, dès que tu as un ensemble de définition à trouver, il faut que tu vérifies : Si tu ne divises pas par zéro, donc là il n’y a pas de division, tu es d’accord. Donc on ne vérifie pas ça vu qu’il n’y a pas de division. Ça c’est quand tu as une fraction. Et la deuxième chose qu’on vérifie en première S, c’est la racine carrée d’un nombre, et bien il faut absolument que le nombre en-dessous de la racine carrée, X ici, soit supérieur ou égal à zéro. Ça peut être égal aussi, mais ça ne peut pas être négatif. Donc voilà. Alors ça maintenant, tu vois en gros, tu pars d’une équation et en première étape, il faut déjà que tu résolves cette inéquation. Comment tu vas faire pour trouver en fait ton ensemble de définition ? Il faut que tu résolves ça. Et bien x vu que c’est un polynôme du second degré, je vais utiliser ∆. Ok, oui mais comment tu vas faire, parce que ∆, ça va te donner quoi finalement ? J’essaie de réfléchir avec toi. Pourquoi tu vas vouloir faire ça ? Je ne sais pas, comme ça, ça donne un nombre. Oui. Alors imaginons qu’on calcule delta. Ça nous donne des x. Oui c’est ça et qu’est-ce que ça nous donne, si ça nous donne des x à la fin ? Tu es d’accord que ça nous donne des x comme tu dis, si ∆>0. Oui. Voilà, parce que si ∆<0, ça nous donne quoi ? Ça ne nous donne rien, alors ? Il n’y a pas de solutions. Il n’y a pas de solutions, mais solutions de quoi ? Tu y es presque. Solution de quoi ? Tu es d’accord qu’on parle d’une solution quand il y a une équation ? Oui. Et pas un polynôme seulement. Du second degré. Voilà oui. Mais en fait ma question, à quoi ça va nous servir de calculer ∆ ? C’est pour les racines. Voilà. Exactement. Ça va nous servir à déterminer les racines de ce polynôme. Tu es d’accord ? Ok donc ça c’est une idée déjà. En gros, comment on va résoudre cette inéquation d’une façon générale ? Est-ce que tu sais à quoi ressemble la courbe d’une fonction polynôme du second degré ? Quelle est la courbe ? C’est une parabole. Très bien. Ça c’est très important. Alors tu es d’accord qu’une parabole c’est une sorte de cloche, donc c’est comme ça, <Figure>, elle est tournée vers le bas là, ou comme ça, vers le haut. Le problème c’est qu’on ne sait pas dans quel cas on est là. Oui. D’accord, donc, ensuite imaginons que mon axe des abscisses, il soit là, dans ce cas-là, là j’ai combien de racines à mon polynôme ? 2. Et elles sont où ? Sur l’axe des abscisses. Oui, au niveau des intersections. Oui. Donc là, tu aurais x1 et x2. Qu’est-ce que ça veut dire sur le delta ? Que ∆>0. Voilà, ici ça veut dire que ∆>0. Ok, est-ce que tu peux me donner dans ce cas théorique là, quelles sont les solutions de l’inéquation, donc si on note le polynôme, d’une façon générale, ax²+bx+c donc le trinôme si tu préfères, est-ce que tu peux me dire la solution de ça, supérieur ou égal à zéro. Dans ce cas là. La solution c’est x1 et x2. Non, parce que là, on cherche un supérieur ou égal à zéro. Alors que x1, x2 sont les solutions de ax²+bx+c, tout ça en gros c’est ton f(x) =0, « égal », tu vois, mais quand c’est supérieur ou égal, c’est quoi mes solutions ? Donc là, ces solutions, effectivement c’est, je mets S = {x1,x2}, mais quand c’est supérieur ou égal à zéro ? Imaginons que je mette mon axe des y ici, peu importe, ici j’ai mon origine. En gros, si je prends un point bleu, ici, peu importe, n’importe où sur la courbe bleue, ici je vais avoir mon f(x), d’accord ? Ici je vais avoir mon x, je l’ai choisi au hasard mon x et mon f(x). Enfin, mon x, je le choisis n’importe où sur l’axe, et mon f(x) il est en conséquence de où je place mon point bleu. Et bien maintenant, où sont les solutions de cette équation ici, cette inéquation. Elles sont au-dessus de zéro. Alors, quand on cherche les solutions d’une inéquation, on cherche x tu es d’accord. Donc on cherche des nombres sur l’axe x, et quels sont les nombres sur l’axe x tel que tout ça soit supérieur ou égal à zéro ? En gros, tout ça c’est mon f(x), on cherche quand il est supérieur ou égal à zéro. Tu es d’accord que là, mon f(x) tel qu’il est placé, il est positif ? Oui. Parce qu’il est au-dessus de quoi sur l’axe des y ? Il est au-dessus de l’axe des abscisses. Oui c’est ça. Il est au-dessus de zéro. Donc ici, tu as, je ne sais pas 0,5, ici tu as 1, ici tu as 2, etc. Tu es d’accord ? Mais si je prends ensuite le point orange, toujours sur la courbe bleue, quel est son f(x) à ce truc ? A peu près, quel est son signe à son f(x) ? Ce sera négatif. Effectivement. Donc est-ce que le x orange que je vais placer ici, ce x là, on va l’appeler x0, est-ce qu’il est dans l’ensemble des solutions de cette inéquation-là en vert ? Non. Et bien non, parce que son f(x), il faut le mettre, il est négatif. Tu es d’accord. Voilà, donc est-ce que tu peux me dire d’une façon générale quelles sont les solutions ? Quand est-ce qu’en gros mon f(x) il est au-dessus de zéro, c’est-à-dire au-dessus de l’axe des abscisses comme tu dis ? Quand est-ce que mon point bleu qui est ici se ballade avec f(x) qui est positif ? Pour quel x ? Si tu comprends ça déjà, ça va être une bonne première étape. Je comprends mais je ne sais pas quoi dire. Tu y es presque. Tu vois, regarde, je reprends un exemple. Un exemple d’une autre couleur. On va reprendre en bleu clair. J’ai compris mais je ne sais pas. Ça va venir, ne t’inquiètes pas. Ce x là, est-ce qu’il est solution de mon inéquation ? Oui. Pourquoi ? Parce qu’il peut être égal à zéro. Non, ce x là, je l’ai fixé là, je l’ai placé là, sur ma barre noire. Quel est le f(x) correspondant, est-ce que tu peux me dire comment j’obtiens mon f(x) ? Sur l’axe des ordonnées. Oui c’est ça. Et en utilisant la courbe bleue là, qui est ma courbe de f. C’est-à-dire que tous ces points là. Tous ces points bleus, celui-ci, celui-ci, tous ça sont des points, tu es d’accord qui ont comme coordonnées, un x, et leur ordonnée, c’est un f(x). Tous ces points bleus. Et les x, ils se baladent, là il vaudrait zéro, là il vaudrait 0,5 ; je ne sais pas, il vaut x1, et f(x1) c’est zéro. Là il vaut un peu plus de x1, etc, etc. Tu es d’accord, il se balade mon x. Et donc mon f(x) il est en conséquence. Alors, ça c’était juste un petit rappel. Et où est-ce qu’il faut que mon x soit pour que f(x) soit positif ? Qu’il soit sur la courbe et qu’il soit au-dessus de l’axe des abscisses. Oui. Alors regarde, c’est pas mal. Imaginons en gros, il faut que ce soit là. Tu es d’accord ? Oui. Donc ça c’est bien. Et quels sont les x qui correspondent à ça <Figure>. Normalement ça ne monte pas autant, ça serait plus comme ça. Par rapport à x1 et à x2 quels sont les intervalles solutions ? Est-ce que ce x là il irait ? Oui c’est bien. ]-∞,x1] ; x1 est-ce que je le mets dedans dans l’ensemble de solutions de cette équation ? Oui. Pourquoi ? Parce que x1 peut être une solution. Oui mais pourquoi ? Est-ce que le f (x1)… Il est égal à zéro. Il est égal à zéro donc est-ce qu’il est supérieur ou égal à zéro ? Oui. Donc je l’inclus. ]-∞,x1] U [x2 ; +∞[ . Voilà la solution, on va dire en général, quand ta parabole est tournée vers le haut. Maintenant on va aller un petit peu plus vite pour ce cas-là. Et tu vas voir, on va voir dans quel cas se trouve notre trinôme. Donc ici <Figure>, il se trouve qu’on a encore deux solutions, ou de racines plutôt à notre polynôme. Est-ce que tu peux me dire où je les place ? Au point d’intersection avec les abscisses. Super. C’est ça. Quelles sont donc les solutions ? Toujours la même inéquation, f(x) ≥0, Où sont mes x ? x doit appartenir à quoi ? A <Calcul mathématique> . Non, tu me dirais la même chose ? Et bien c’est exclu alors ? Supérieur ou égal à zéro. Donc là je veux que mon f(x) ici j’ai un point bleu, où il est ce f(x) ? Il est au-dessous de zéro. Il est négatif. Il est négatif, donc qu’est-ce que ce x là ? Il est à peu près là. Il est bon ? Non. Non, il ne peut pas rentrer dans l’ensemble de solutions de cette inéquation, parce que son f(x) est négatif. Est-ce que ce x là il peut marcher ? Non plus. Non plus, parce que son f(x), à peu près, mais tu vois son f(x) qu’il est négatif. Tu es d’accord ? Donc est-ce que celui-là ça marche ? Oui. Oui, s’il est où ? S’il est au-dessus de l’axe des abscisses, il est positif. Il est là. Oui. En tout cas, il est là. Donc ce point là, est-ce que le x à ce point là marcherait, serait solution de cette inéquation ? Oui ou non ? Est-ce que son f(x) à ce truc est positif ? En fait regarde, f(x) c’est juste les ordonnées, c’est pour ça que je fais tout le temps des pointillés horizontaux comme ça. Et bien oui, ça marche. Celui-là aussi, celui-là aussi, celui-là aussi, parce que son f(x) il vaut zéro. Oui. Celui-là, non, celui-là non plus, celui-là non plus <Figure>. Donc quelles sont les solutions avec f(x) positif. Tous les points là-dessus. Ok, tu comprends ? Oui. Là, tous ces points là sur cette portion en rouge sont des points qui ont un y, c’est-à-dire une ordonnée, autrement dit encore un f(x) qui est positif. Donc quels sont leurs x, quelles sont les solutions, comme on l’avait fait pour ce cas-là, de cette inéquation ? Tu y es presque. Ils sont compris entre x1 et x2. Tout à fait, et je les inclus parce que quand x est égal à x1, le f(x1) il vaut zéro, c’est ce que j’avais dit là. Le f(x2) il vaut zéro aussi donc c’est supérieur ou égal à zéro, le f(x), ça marche. Tu comprends ? Oui. Voilà, ça c’est super important, c’est comme ça que tu résous une inéquation du second degré. Maintenant il faut savoir dans quel cas on se trouve avec notre trinôme. Tu as ta parabole, comme ça, pas de problème. Sachant qu’elle continue. Oui. Ok, et mes axes peuvent être vraiment comme ça par exemple. Est-ce que là, mon polynôme a des racines comme ça ? Non. Et non, ça veut dire que mon ∆ il est quoi ? Négatif. Négatif, pas de racine de ce trinôme. Autrement dit, pas de solution au trinôme égal zéro. Ça veut dire qu’en fait mon f(x), l’équation f(x) égal zéro, ici qui est une équation, elle n’a pas de solution. Tu vois, ce serait une équation du second degré, donc ce serait ax²+bx+c=0, si je trouve un ∆<0, ça veut dire que ça n’a pas de solution. Ça veut dire que sa courbe, elle est comme ça <Figure>. D’accord ? Oui. Voilà. Donc ça, il faudrait qu’on calcule le ∆ ensemble pour voir. On va enfin le faire. On va juste effacer des choses. Donc tu vois, on reprend ton idée de départ, mais tu vois, il fallait comprendre déjà tout ça. Pourquoi calculer ∆ ? Tu vois pourquoi calculer ∆, parce que les solutions c’est peut-être ça, (je vais garder ça). Tu vois bien ce que j’entoure là ? Voilà, ça va peut-être être ça. Mais si je refais le cas que je viens de te décrire, en l’occurrence ce truc, et bien là, quand est-ce que mon f(x), ça c’est la courbe de f. Quand est-ce que mon f(x) est positif ou nul ? Quelles sont les solutions de cette inéquation ? Quand la courbe croise l’axe des abscisses. Oui mais là, est-ce qu’elle la croise dans ce cas-là. Non. Jamais, donc est-ce que si je prends un point, est-ce que son f(x), son y donc est positif ? Oui, il est positif. Oui, il est tout le temps, tu vois ? Tu comprends ? Oui. Il l’est tout le temps, donc ça veut dire que les solutions c’est quoi dans ce cas-là ? Les solutions de x, quels peuvent être mes x possibles tels que f(x) ≥0 ? C’est x≥0. Non. Ce n’est pas x≥0, c’est n’importe quel x. Je prends un x, si je calcule son f(x), je peux tomber là-haut, sur la courbe toujours. Quel est son f(x) à ce truc ? Il serait là, donc positif. J’en prends un autre, n’importe où. Il serait peut-être là. Je n’ai pas la place pour tracer la courbe, un autre x. Et bien quel serait son f(x) à ce x là. Il serait positif. Il serait positif tout là-haut là. Tu vois ? Ensuite, j’en prends un autre. Celui-ci, où est mon f(x) ? Il est positif encore. Tu vois que ça marche pour tous les x. Tu vois, pour n’importe quel x que je prends, quand je calcule ax²+bx+c, c’est-à-dire le f(x), je trouve un f(x) > 0, donc mes solutions sont S = ]-∞ ; +∞[ dans ce cas là. Tu comprends ? Oui. Voilà. Je vais effacer ça, et on va vraiment calculer ∆ parce qu’il faut le faire quand-même. Mais c’est super important de comprendre comment on résout une équation comme ça. Donc on va continuer notre petit cas. Alors ∆, combien il vaut ? ∆ = b²-4ac Ok, ici, dans notre cas, <Calcul mathématique>. Le tout au carré, c’est bien de dire ça. Ça vaut combien ? <Calcul mathématique>. C’est donc positif, strictement. Donc dans quel cas on est là ? Dans le cas où il y a deux solutions. Deux solutions à quoi ? Deux solutions à ∆. Ce n’est pas ∆. On parle de solution quand il y a une équation, donc on parle de solution de l’équation tant, ou des racines d’un polynôme. Donc deux racines, à quel polynôme ? x²-3x-1. Tout à fait, c’est un trinôme, puisque c’est un polynôme du second degré. Et donc, quelles sont-elles ? <Calcul mathématique>. Donc tout ça en gros, regarde notre schéma ici à droite. Et bien mon x1 et mon x2 ; ils sont là. Tu vois ? Oui. Et tu aurais ta courbe qui ressemble à celle-ci. Et elle est tournée vers le haut, on le sait, parce que, ça il faudrait le dire sur ta copie, parce que j’ai a>0. Voilà, c’est ce qui te permet de dire si ta courbe est tournée vers le haut ou non. Et là, elle est tournée vers le haut car a est positif. Si tu avais un « moins » par exemple devant le x², et bien le a, il vaut -1, tu es d’accord ? Et dans ce cas là, la courbe serait une parabole tournée vers le bas, mais ce n’est pas le cas. Donc maintenant, quelles sont les solutions de cette inéquation ? <Calcul mathématique>. Et bien c’est x1 et x2. Ça c’est les solutions de l’équation. C’est-à-dire quand x²-3x-1 = 0, oui. Mais pour l’inéquation, quand est-ce que c’est positif tout ça ? Et bien quand mon x il se ballade dans cet intervalle là. Tu vois, c’est ce qu’on a noté ici parce qu’on trouve dans ce cas même. Tu vois ? Et pourquoi mon x²-3x-1 est supérieur ou égal à zéro ? Et bien parce que quand je prends un x, qui est entre moins l’infini et x1, donc tu es d’accord, que x1 peu importe, c’est un truc compliqué, c’est (3-√13)/2, mais c’est un nombre, tu es d’accord ? Et bien quand je prends un nombre x qui est inférieur à x1, je ne sais pas, on va dire -20, -20 je pense que ça marche, quand tu prends f(-20),ça va être égal à combien f(-20), est-ce que tu peux me dire dans notre cas ? <Calcul mathématique> Ok, je calcule ça sur ma calculatrice très rapidement, donc on va trouver <Calcul mathématique>, on trouve un nombre qui est égal à 459. Est-ce que c’est positif ou pas ? C’est positif oui. C’est positif, pas de soucis. Donc ça veut dire quoi sur l’ensemble des solutions sur cet exemple ? ça veut dire que vu que f(-20) est petit, ça veut dire que -20 fait partie des solutions. Et -20 c’est exactement un nombre qui est dans cet intervalle. Tu vois ? Et je peux prendre un autre nombre comme exemple, mais en gros tu as compris le truc. C’est que si je prends un nombre qui est plus grand que x2, donc dans cet intervalle, et bien ça marcherait aussi. Je peux prendre par exemple 40. Il me semble que 40 c’est plus grand que ça (3+√13)/2. Donc, si je calcule f(40), je trouverais aussi à la fin, un nombre qui est positif. Donc 40 est bien solution. Mais tu es d’accord qu’on ne va pas y aller pas à pas comme ça. Donc en gros, il faut connaître cette configuration là. C’est-à-dire qu’il faut savoir que tes solutions ça correspond à quand ta courbe elle est au-dessus de l’axe des abscisses. Et en gros ce sont les portions rouges que j’ai faites ici. Tu vois ? Parce que n’importe quel point de cette portion, tu es d’accord, n’importe quel point déjà il a deux coordonnées : un x et un y. Et bien son x, peu importe où il est, mais en tout cas ça va être des x solutions, et son f(x) il est positif comme on le souhaite : f(x) est positif pour ces points-là. Tu vois parce qu’ils sont justement sur l’axe des abscisses, donc f(x) est positif. Et ces points-là, il se trouve qu’ils sont dans cet intervalle là. Donc est-ce que tu peux me donner l’ensemble des solutions de notre cas ? Donc si x appartient à moins l’infini à (3-√13)/2. C’est ça. Est-ce que je l’inclus ou pas ? Oui. Ok, pourquoi ? Parce qu’elle est tournée vers le haut. Non, ce n’est pas la raison, là tu es d’accord, que –x il doit appartenir à ça, -x il peut être égal à (3-√13)/2, est-ce que ça satisfait toujours ça. Oui. Pourquoi ? Parce que quand mon x il vaut ça, combien vaut x²-3x-1 ? Voilà, c’est ça. Tu as raison, donc je peux l’inclure. <Calcul mathématique>. Et donc ça ce n’est pas du tout les solutions de notre équation. C’est juste la première étape. Tu vois ce que je veux dire ? C’est juste l’ensemble de définition des solutions. C’est-à-dire que quand mon x appartient à cet intervalle, où on a cette réunion d’intervalle plutôt, et bien ça veut dire que je peux calculer <Calcul mathématique>. Tu vois ce que je veux dire ? Mais quand il n’est pas inclut dans mon intervalle mon x, quand il n’appartient pas à cet intervalle, et bien de toute façon, je ne peux même pas calculer ma racine carrée. Tout simplement parce que <Calcul mathématique>, dans ce cas là, si mon x n’appartient pas à cet intervalle, il est strictement négatif. Tu vois ? Donc je t’avais dit que je ne pouvais pas calculer cette deuxième chose ici, que je ne peux pas calculer la racine carrée d’un nombre qui est strictement négatif. Ce n’est pas possible. Donc c’est pour ça qu’on avait dit au début qu’il faut que notre x²-3x-1 soit positif. C’est cette condition. Ça c’est une condition qu’il faut qu’on respecte, mais ce n’est pas ça qui te donne les solutions. Ça te donne en gros où est-ce que ces solutions peuvent être. Ça te donne une zone. Tu comprends, en gros tu as ton ensemble des réels, on va dire que c’est une patate, et toi avec cette première condition, donc cette première étape, qui te donne l’ensemble de définition des solutions possibles, et bien tu définis une zone dans laquelle tu peux avoir tes solutions. Ça ne veut pas du tout dire que tous les x dedans seront des solutions de ton équation. Tu vois ? Il y en aura peut-être que 1, il peut y en avoir zéro, il peut y en avoir plusieurs. Tu vois ? Et ça, il faut le voir à la deuxième étape, lors de la résolution. Tu comprends ? Donc en gros, un ensemble de définition, c’est juste que ça t’assure que tu peux calculer les trucs qu’il y a dans l’équation. Parce que si tu ne peux pas les calculer de toute façon, ça ne sert à rien d’aller plus loin. Tu ne peux pas du tout la résoudre. Donc il faut absolument déjà faire cette première chose. Et tu as vu, ce n’est déjà pas évident comme truc. On n’a même pas résolu notre équation, on n’est même pas à cette deuxième étape, mais il faut d’abord trouver l’ensemble de définition et la solution, c’est-à-dire, où est-ce qu’elles peuvent être en gros mes solutions. La zone ou elles peuvent être. Et la zone où elles peuvent être, c’est ça. Tu comprends ? Et ça ne veut pas du tout dire que mes solutions sont exactement ça. Elles sont incluses là-dedans, mais elles ne sont pas tout ça. Alors déjà, ça c’est super important, c’est-à-dire qu’on a résolu une inéquation, c’est-à-dire un trinôme en gros supérieur ou égal à zéro ou peu importe. Et bien ça, il faut que tu saches le faire déjà. C’est une étape à savoir faire, et est-ce que tu te souviens un peu comment on fait ? Je répète pour que tu saches, graphiquement comment ça se passe ? En gros, est-ce que ta parabole est tournée vers le haut, ou est-ce qu’elle est tournée vers le bas ? Donc ça, ça dépend du signe de a. Donc ensuite, si elle est tournée vers le haut comme ici, et bien tu regardes s’il y a des solutions ou pas à l’équation f(x) = 0. En gros tu regardes, c’est la même chose, si ton trinôme a des racines, en gros tu regardes s’il y a des x pour lesquels ton trinôme s’annule, parce qu’ici tu vois pour ces x là, ton trinôme il s’annule, que le f(x) il vaut zéro. Voilà. Et une fois que tu sais dans quelle configuration tu es, il peut y en avoir plusieurs, je ne les ai pas toutes faites, mais en gros il peut y en avoir plusieurs, donc je vais répéter ça en effaçant deux ou trois choses. Tu pars d’un trinôme et toi tu aimerais savoir dans quelle situation tu es, donc je te dis : signe de a. Donc là ça va être a<0 <Figure>, ici ça va être a>0 <Figure>. D’accord ? Ça c’est juste pour te donner la forme de la cloche. Ensuite, il faut que tu saches où sont tes axes en gros, ton axe des abscisses et ton axe y. ça tu sais le dire en cherchant les racines. Racines, est-ce qu’il y en a ou pas ? C’est le calcul du Delta. En gros dans chacun des cas, il y a des racines si l’axe des abscisses il passe dans la cloche. Tu vois, en gros, c’est une intersection. Et les deux racines seront à chaque fois ces deux points-là. Les x correspondants à ces deux points. Tu comprends ? Tu me dis si je te dis des choses que tu sais déjà. Non, c’est bon. Ok. Et sinon, s’il n’y a pas de racines, tu peux te retrouver dans d’autres cas, c’est-à-dire que s’il n’y a pas de racines ça veut dire que l’axe des abscisses dans ce cas là, il est là <Figure>, et dans ce cas là il est là <Figure>. Ça veut dire que ta parabole elle ne touche pas l’axe des abscisses en fait. Donc tu vois ? Peu importe où il est ton y, ton axe y il est là. Ça c’est vraiment le cas où ∆ ici est négatif, dans les deux cas. Voilà. Et tu vois, là tu sais résoudre ce genre d’inéquations parce que, par exemple ici, là c’est la courbe de f à chaque fois, qui est un trinôme. Est-ce que tu peux me dire si on trouve dans ce cas-là, les solutions de l’équation f(x) positif. Est-ce qu’il y a des x, en gros, je vais te le dire en français, pour lesquels, et bien le f(x) est positif ? Tu vois je me ballade, je prends un x. Non. Non, parce que je pense que ce x là, son f(x), je n’ai pas fait la courbe jusque-là, mais son f(x), il serait en bas, en disant que la courbe elle continue comme ça. Et là, le f(x) il est clairement négatif, tu es d’accord ? Voilà. Si je prends cet x là, c’est pareil. Si je prends celui-là c’est pareil, leur f(x) à tous ces nombres, ils sont négatifs, donc, quelle est la solution à cette équation. Est-ce qu’il y a des x qui satisfont ça ? Dis-toi toujours que les solutions sont sur des x. C’est les x. <Calcul mathématique> Et bien non. Est-ce qu’il en existe tout simplement ? Non, c’est zéro. Solution vide, ensemble vide. Ok ? Et dans ce cas, deuxième cas, là c’est si ton a est positif, et delta négatif. Toujours en résolvant la même inéquation. Oui il en existe. Oui, c’est quoi exactement ? C’est sur moins l’infini et plus l’infini. Oui. En gros, ce sont tous les x, donc c’est R. Il faut savoir que ]-∞ ;+∞[ c’est égal à R, c’est la même chose. C’est tous les nombres en fait. Voilà, tu comprends ? C’est tout. Et quand il y a des racines, et bien il faut distinguer un peu les cas. En gros, il faut que tes solutions à la fin, elles soient dans cette réunion d’intervalle, dans cet ensemble. Si ce n’est pas le cas, ça ne peut pas être des solutions. En gros c’est vraiment une condition si tu veux. C’est une condition à respecter pour tes solutions, c’est la zone où elles doivent être. Et ça c’est toujours quelque chose qu’il faut faire quand tu as une racine carrée ou un dénominateur. Deuxième chose, pour résoudre tu vas vouloir mettre au carré, comme on a dit tout à l’heure, pour enlever cette racine carrée. Donc, tu vas obtenir, <Calcul mathématique>, tu es d’accord ? J’ai juste mis des carrés à gauche et à droite. Mais il ne faut pas oublier une condition là-dessus. En fait, quand tu sais que tu transformes une équation, ça je vais revenir sur une explication super importante, en gros tu as une équation 1, ton équation qu’on te donne dans l’énoncé de l’exercice. Et bien tu sais que tu vas essayer de le transformer petit à petit. Tu la transformes à la fin pour obtenir une équation 2, donc tu en transformes encore une, tu vois tu as des signes « équivalent » à chaque fois entre les équations. Et à la fin tu veux obtenir x égal à quelque chose, ou x égal truc. Ok, mais il faut absolument que tu aies des équivalences entre chaque équation. Alors qu’est-ce que ça veut dire cette équivalence ? Ça veut dire qu’en gros, tu as le droit de transformer ton équation, mais tu n’as pas le droit de le faire si ça modifie les solutions. Ça veut dire que tu n’as pas le droit de dire, là je modifie mon équation 2 ; ok ; mais ses solutions ne sont pas les mêmes que les solutions de l’équation 1. Donc ici, en fait ça, tout ça là, en gros, ça va être comme ça, ça implique, donc ça va de la gauche vers la droite, si j’ai ça, et bien j’ai le droit oui, de mettre au carré, c’est ce qu’on fait. Par contre, si je pars de là, et bien je ne peux pas aller dans l’autre sens. Est-ce que tu sais pourquoi ? On ne peut pas le faire en fait. En fait, on n’a pas d’équivalence tout simplement parce que ce n’est pas évident à ce point là, mais en gros, tout simplement parce que, imaginons, tu as x²=4, et au début tu as x=2, est-ce que tu peux me dire lequel implique l’autre ? Est-ce que tu peux me dire si j’ai x = 2 => x² = 4. Oui, parce que j’ai le droit de mettre au carré, et ça me donne ça. Par contre, est-ce que x² égal 4 implique, x=2 seulement ? Non. Non, pas seulement, effectivement, parce que x²=4 ça implique oui x=2 mais aussi x= -2. C’est bien. La dernière fois, je me souviens, tu as eu un peu de mal là-dessus. Donc c’est tout ça qu’il faut qu’on ait x supérieur ou égal à zéro. Tu vois, quand j’ai ça là. Quand j’ai x au carré égal à 4 et x supérieur ou égal à zéro, et bien je peux dire que mon x égal 2. Ça implique ça. Là dans ce sens là, excuse-moi, c’était une petite erreur. Là effectivement, je peux dire mon « implique x=2 ». Ça c’était pour le cas simple. Donc on revient à notre équation. Donc, tu vois, quand j’ai mon carré, égal à l’autre carré, donc la racine carrée de tout ça, le tout au carré égal à (2-x)², et que 2-x≥ 0, alors, je peux dire effectivement que ça implique. Tu vois ? Donc il faut absolument que tu ais cette condition là. Et une fois que tu es là, comment ça marche ? Et bien là, tu peux raisonner toujours par équivalence. Parce qu’une fois que tu as enlevé la racine carrée, il n’y a plus de problèmes. Donc là, je remets un signer « équivalent ». Est-ce que tu peux me dire comment on va résoudre cette équation ? Vu qu’on a fait disparaître la racine carrée, c’était notre but. Bon, on met tout d’un côté ? Oui, alors dis-moi ce que ça donne. <Calcul mathématique>. Tu ne veux pas développer plutôt ici d’abord ? Oui, il vaut mieux. Oui, ça fait combien ? <Calcul mathématique>. Alors c’est l’identité (a-b)², ça vaut combien ? C’est a²-2ab+b² Voilà, quel est mon a, quel est mon b ? Le a c’est 2 et b c’est x. Tu vois, le moins il est déjà dans l’identité remarquable. Donc ton b, c’est juste x. Donc une fois que tu as écrit ça, ça va t’aider. Ça fait 4x alors ? Exactement. +x². Voilà, maintenant je peux tout mettre de l’autre côté, alors je mets le « et » 2-x supérieur ou égal à zéro. Est-ce que tu peux me dire ce que c’est comme condition 2-x supérieur ou égal à zéro. Est-ce que tu ne peux pas isoler le x tout seul d’un côté ? Oui. Comment on fait ? On ajoute x partout ? Et bien non. Pourquoi ? On peut ? Si on peut mais… +x+x, ça ne change pas le sens de l’inéquation ou le sens de l’inégalité plutôt et j’ai le droit de le faire, par contre si tu multipliais, il faudrait faire attention. Tu sais, quand on multiplie par un nombre négatif, une inégalité des deux côtés, il faut peut-être changer le signe, le sens. Donc là, tu retrouves ton x. Donc finalement tu obtiens quoi comme conditions ? Que 2 soit supérieur à x. Ou égal à x. Donc en gros, c’est x, inférieur ou égal à 2, c’est la même chose. Oui. Tu es d’accord, j’ai juste changé l’ordre. Oui. Voilà. Donc j’ai ça. Donc ça, cette condition il faut la traîner jusqu’au bout. Voilà, ça c’est très important. Et en gros, il va s’agir en fait de résoudre ça. Et ça, est-ce que ce n’est pas tout simplement une équation très simple à résoudre. Oui. Comment on fait alors du coup. Je t’écoute, ce n’est pas compliqué, tu vas voir. Et bien là, on envoie le tout de l’autre côté. Le x² ils se rayent. Ok, est-ce qu’il n’y a pas déjà des choses qui se simplifient ? En passant tout de l’autre côté, là je ne mets plus de signe « équivalent » donc c’est parti, qu’est-ce qu’on va obtenir ? x-5=0 Donc –x, il est inférieur ou égal… Oui mais là… Ah oui, il est égal à 5. Voilà. Bon alors maintenant, est-ce qu’avec cette condition ça marche ? Non. Et bien non. Tu vois ? Donc en gros, tu trouves quelque chose. Tu trouves x=5, mais tu trouves la condition x≤2. Et en plus, il ne faut pas oublier que tu avais une autre condition qui était celle-ci. Donc de toute façon ici tu as déjà une impossibilité en bas. Donc ça ne sert à rien même de vérifier x=5 compris dans cet ensemble parce que ça ne satisfait déjà pas, ça. Tu vois ? Donc S= ensemble vide, pas de solution. Tout ça pour aucune solution, c’est dommage. Mais voilà. Tu vois ça a été assez rapide. Il faut que tu t’assures que ce qu’il y a sous la racine carrée, c’est positif. Ok. Et en gros, c’était ça le coup dur. Il faut que tu t’assures que x²-3x-1 est positif ou nul. Et ça c’est une étude du signe du trinôme, x²-3x-1. Tu es d’accord ? En gros, il faut que tu cherches les x pour lesquels x²-3x-1 soient positifs ou nuls, en gros, je redis toujours la même chose, il faut résoudre l’inéquation x²-3x-1≥0. C’est-à-dire trouver les x qui satisfont ça. Ça, ça va te donner ta première étape. En gros, l’ensemble des définitions des solutions, c’est-à-dire en gros la condition à respecter, ce que j’ai noté ici. Ou autrement dit, la zone dans laquelle peuvent être tes solutions. Deuxième chose, tu vas résoudre vraiment. Et comment tu résous vraiment, et bien, toi ce qui t’embête c’est la racine carrée. Tu mets au carré, tu mets tout au carré. Tu vois ? De façon à l’enlever cette racine carrée. Mais en mettant au carré, il faut bien s’assurer qu’en gros la chose ici soit positive ou nulle. Tu vois ce que j’ai mis ici. Oui. Et en gros, c’est normal, parce que tu mets quelque chose au carré, il faut bien que tu aies ET ici, ceci soit supérieur ou égal à zéro. Pourquoi ? Parce qu’ici tu as une racine carrée. Et c’est toi-même qui m’a dit tout à l’heure qu’une racine carrée d’un nombre c’est toujours positif. Tu te souviens ? La racine carrée d’un nombre c’est toujours positif donc, il faut absolument que tu aies 2-x de toute façon qui soit supérieur ou égal à zéro. Donc ça c’est équivalent à x inférieur ou égal à 2. Voilà. Donc ça c’est une nouvelle condition. C’est ta condition numéro deux si tu veux. Sachant que là, c’était la condition à respecter numéro 1. Et ensuite, et bien tu n’as que ça à résoudre, vu que tu as tout mis au carré, ça fait disparaître la racine carrée, et quand tu as fait disparaître la racine carrée, et bien c’est simple ; il te reste soit une équation du second degré, soit comme ici, une équation du premier degré, donc quelque chose de plus simple que tu vois au collège. Tu vois, il te reste ça, x-5, d’accord ? Et à la fin et bien tu vérifies bien que ton x que tu trouves, il satisfait les conditions. Et ici et bien il en satisfait, il ne satisfait déjà pas ça, donc c’est fini, il n’y a plus de solutions. Tu vois. Voilà, je sais que ce sont des équations compliquées.

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1ère S Résoudre une équation avec une racine carrée, un peu dure

Qu’est-ce qu’il faut pour que ce soit calculable tout ça ?

En gros c’est ça, dès que tu as le terme « ensemble de définition », ça veut dire qu’il faut que tu puisses calculer ton f(x) si c’est une fonction et il faut que tu puisses calculer les deux membres à gauche et à droite du égal dans une équation.

Alors, comment on va faire ?

Il faut que <Calcul mathématique>.

Pourquoi ? J’ai le droit d’avoir une racine carrée qui est égale à zéro. Tu es d’accord ? Mais par contre, sous la racine carrée ici, tout ce nombre, en gros, racine carrée d’un nombre, c’est positif. C’est vrai que d’une façon générale, le tout est toujours positif. Mais quand est-ce que je peux la calculer cette racine carrée ? Quand est-ce que je peux la calculer selon mon nombre. Il faut que mon nombre il soit quoi ?

Qu’il soit réel.

Ça c’est vrai, mais est-ce qu’il peut être négatif ? Est-ce que la racine carrée de -2 ça veut dire quelque chose pour toi ?

Non.

Et bien non, en fait tu ne peux pas calculer. Si tu dis ça à ta calculatrice, elle va donner une erreur.

En fait tu ne peux pas calculer de racine carrée d’un nombre à l’intérieur qui est négatif.

Tu comprends ?

Oui.

Donc ça veut dire qu’il faut que ce qu’il y a sous la racine carrée, donc ce que j’ai entouré en rose ici, soit supérieur ou égal à zéro. Exactement, c’est parfait. C’est ça qu’il faut dire. Et comme ceci, c’est calculable mon truc. Ok ?

Rappelle-toi, dès que tu as un ensemble de définition à trouver, il faut que tu vérifies :

Si tu ne divises pas par zéro, donc là il n’y a pas de division, tu es d’accord. Donc on ne vérifie pas ça vu qu’il n’y a pas de division. Ça c’est quand tu as une fraction.
Et la deuxième chose qu’on vérifie en première S, c’est la racine carrée d’un nombre, et bien il faut absolument que le nombre en-dessous de la racine carrée, X ici, soit supérieur ou égal à zéro. Ça peut être égal aussi, mais ça ne peut pas être négatif.

Donc voilà. Alors ça maintenant, tu vois en gros, tu pars d’une équation et en première étape, il faut déjà que tu résolves cette inéquation.

Comment tu vas faire pour trouver en fait ton ensemble de définition ?

Il faut que tu résolves ça.

Et bien x vu que c’est un polynôme du second degré, je vais utiliser ∆.

Ok, oui mais comment tu vas faire, parce que ∆, ça va te donner quoi finalement ? J’essaie de réfléchir avec toi. Pourquoi tu vas vouloir faire ça ?

Je ne sais pas, comme ça, ça donne un nombre.

Oui. Alors imaginons qu’on calcule delta.

Ça nous donne des x.

Oui c’est ça et qu’est-ce que ça nous donne, si ça nous donne des x à la fin ? Tu es d’accord que ça nous donne des x comme tu dis, si ∆>0.

Oui.

Voilà, parce que si ∆<0, ça nous donne quoi ?

Ça ne nous donne rien, alors ?

Il n’y a pas de solutions.

Il n’y a pas de solutions, mais solutions de quoi ? Tu y es presque. Solution de quoi ? Tu es d’accord qu’on parle d’une solution quand il y a une équation ?

Oui.

Et pas un polynôme seulement.

Du second degré.

Voilà oui. Mais en fait ma question, à quoi ça va nous servir de calculer ∆ ?

C’est pour les racines.

Voilà. Exactement.

Ça va nous servir à déterminer les racines de ce polynôme.

Tu es d’accord ? Ok donc ça c’est une idée déjà. En gros, comment on va résoudre cette inéquation d’une façon générale ? Est-ce que tu sais à quoi ressemble la courbe d’une fonction polynôme du second degré ? Quelle est la courbe ?

C’est une parabole.

Très bien. Ça c’est très important. Alors tu es d’accord qu’une parabole c’est une sorte de cloche, donc c’est comme ça, <Figure>, elle est tournée vers le bas là, ou comme ça, vers le haut. Le problème c’est qu’on ne sait pas dans quel cas on est là.

Oui.

D’accord, donc, ensuite imaginons que mon axe des abscisses, il soit là, dans ce cas-là, là j’ai combien de racines à mon polynôme ?

Et elles sont où ?

Sur l’axe des abscisses.

Oui, au niveau des intersections.

Oui.

Donc là, tu aurais x1 et x2. Qu’est-ce que ça veut dire sur le delta ?

Que ∆>0.

Voilà, ici ça veut dire que ∆>0. Ok, est-ce que tu peux me donner dans ce cas théorique là, quelles sont les solutions de l’inéquation, donc si on note le polynôme, d’une façon générale, ax²+bx+c donc le trinôme si tu préfères, est-ce que tu peux me dire la solution de ça, supérieur ou égal à zéro. Dans ce cas là.

La solution c’est x1 et x2.

Non, parce que là, on cherche un supérieur ou égal à zéro. Alors que x1, x2 sont les solutions de ax²+bx+c, tout ça en gros c’est ton f(x) =0, « égal », tu vois, mais quand c’est supérieur ou égal, c’est quoi mes solutions ? Donc là, ces solutions, effectivement c’est, je mets S = {x1,x2}, mais quand c’est supérieur ou égal à zéro ? Imaginons que je mette mon axe des y ici, peu importe, ici j’ai mon origine. En gros, si je prends un point bleu, ici, peu importe, n’importe où sur la courbe bleue, ici je vais avoir mon f(x), d’accord ? Ici je vais avoir mon x, je l’ai choisi au hasard mon x et mon f(x). Enfin, mon x, je le choisis n’importe où sur l’axe, et mon f(x) il est en conséquence de où je place mon point bleu. Et bien maintenant, où sont les solutions de cette équation ici, cette inéquation.

Elles sont au-dessus de zéro.

Alors, quand on cherche les solutions d’une inéquation, on cherche x tu es d’accord. Donc on cherche des nombres sur l’axe x, et quels sont les nombres sur l’axe x tel que tout ça soit supérieur ou égal à zéro ?

En gros, tout ça c’est mon f(x), on cherche quand il est supérieur ou égal à zéro. Tu es d’accord que là, mon f(x) tel qu’il est placé, il est positif ?

Oui.

Parce qu’il est au-dessus de quoi sur l’axe des y ?

Il est au-dessus de l’axe des abscisses.

Oui c’est ça. Il est au-dessus de zéro. Donc ici, tu as, je ne sais pas 0,5, ici tu as 1, ici tu as 2, etc. Tu es d’accord ? Mais si je prends ensuite le point orange, toujours sur la courbe bleue, quel est son f(x) à ce truc ? A peu près, quel est son signe à son f(x) ?

Ce sera négatif.

Effectivement. Donc est-ce que le x orange que je vais placer ici, ce x là, on va l’appeler x0, est-ce qu’il est dans l’ensemble des solutions de cette inéquation-là en vert ?

Non.

Et bien non, parce que son f(x), il faut le mettre, il est négatif. Tu es d’accord. Voilà, donc est-ce que tu peux me dire d’une façon générale quelles sont les solutions ? Quand est-ce qu’en gros mon f(x) il est au-dessus de zéro, c’est-à-dire au-dessus de l’axe des abscisses comme tu dis ? Quand est-ce que mon point bleu qui est ici se ballade avec f(x) qui est positif ? Pour quel x ? Si tu comprends ça déjà, ça va être une bonne première étape.

Je comprends mais je ne sais pas quoi dire.

Tu y es presque. Tu vois, regarde, je reprends un exemple. Un exemple d’une autre couleur. On va reprendre en bleu clair.

J’ai compris mais je ne sais pas.

Ça va venir, ne t’inquiètes pas. Ce x là, est-ce qu’il est solution de mon inéquation ?

Oui.

Pourquoi ?

Parce qu’il peut être égal à zéro.

Non, ce x là, je l’ai fixé là, je l’ai placé là, sur ma barre noire. Quel est le f(x) correspondant, est-ce que tu peux me dire comment j’obtiens mon f(x) ?

Sur l’axe des ordonnées.

Oui c’est ça. Et en utilisant la courbe bleue là, qui est ma courbe de f. C’est-à-dire que tous ces points là. Tous ces points bleus, celui-ci, celui-ci, tous ça sont des points, tu es d’accord qui ont comme coordonnées, un x, et leur ordonnée, c’est un f(x). Tous ces points bleus. Et les x, ils se baladent, là il vaudrait zéro, là il vaudrait 0,5 ; je ne sais pas, il vaut x1, et f(x1) c’est zéro. Là il vaut un peu plus de x1, etc, etc. Tu es d’accord, il se balade mon x. Et donc mon f(x) il est en conséquence. Alors, ça c’était juste un petit rappel.

Et où est-ce qu’il faut que mon x soit pour que f(x) soit positif ?

Qu’il soit sur la courbe et qu’il soit au-dessus de l’axe des abscisses.

Oui. Alors regarde, c’est pas mal. Imaginons en gros, il faut que ce soit là. Tu es d’accord ?

Oui. Donc ça c’est bien. Et quels sont les x qui correspondent à ça <Figure>. Normalement ça ne monte pas autant, ça serait plus comme ça. Par rapport à x1 et à x2 quels sont les intervalles solutions ? Est-ce que ce x là il irait ? Oui c’est bien.

]-∞,x1] ; x1 est-ce que je le mets dedans dans l’ensemble de solutions de cette équation ?

Oui.

Pourquoi ?

Parce que x1 peut être une solution.

Oui mais pourquoi ? Est-ce que le f (x1)…

Il est égal à zéro.

Il est égal à zéro donc est-ce qu’il est supérieur ou égal à zéro ?

Oui. Donc je l’inclus.

]-∞,x1] U [x2 ; +∞[ . Voilà la solution, on va dire en général, quand ta parabole est tournée vers le haut. Maintenant on va aller un petit peu plus vite pour ce cas-là. Et tu vas voir, on va voir dans quel cas se trouve notre trinôme.

Donc ici <Figure>, il se trouve qu’on a encore deux solutions, ou de racines plutôt à notre polynôme. Est-ce que tu peux me dire où je les place ?

Au point d’intersection avec les abscisses.

Super. C’est ça.

Quelles sont donc les solutions ? Toujours la même inéquation, f(x) ≥0, Où sont mes x ? x doit appartenir à quoi ?

A <Calcul mathématique> .

Non, tu me dirais la même chose ?

Et bien c’est exclu alors ?

Supérieur ou égal à zéro. Donc là je veux que mon f(x) ici j’ai un point bleu, où il est ce f(x) ?

Il est au-dessous de zéro. Il est négatif.

Il est négatif, donc qu’est-ce que ce x là ? Il est à peu près là. Il est bon ?

Non.

Non, il ne peut pas rentrer dans l’ensemble de solutions de cette inéquation, parce que son f(x) est négatif. Est-ce que ce x là il peut marcher ?

Non plus.

Non plus, parce que son f(x), à peu près, mais tu vois son f(x) qu’il est négatif. Tu es d’accord ? Donc est-ce que celui-là ça marche ?

Oui.

Oui, s’il est où ?

S’il est au-dessus de l’axe des abscisses, il est positif.

Il est là.

Oui.

En tout cas, il est là. Donc ce point là, est-ce que le x à ce point là marcherait, serait solution de cette inéquation ? Oui ou non ?

Est-ce que son f(x) à ce truc est positif ? En fait regarde, f(x) c’est juste les ordonnées, c’est pour ça que je fais tout le temps des pointillés horizontaux comme ça. Et bien oui, ça marche. Celui-là aussi, celui-là aussi, celui-là aussi, parce que son f(x) il vaut zéro.

Oui.

Celui-là, non, celui-là non plus, celui-là non plus <Figure>. Donc quelles sont les solutions avec f(x) positif. Tous les points là-dessus. Ok, tu comprends ?

Oui.

Là, tous ces points là sur cette portion en rouge sont des points qui ont un y, c’est-à-dire une ordonnée, autrement dit encore un f(x) qui est positif. Donc quels sont leurs x, quelles sont les solutions, comme on l’avait fait pour ce cas-là, de cette inéquation ?

Tu y es presque.

Ils sont compris entre x1 et x2.

Tout à fait, et je les inclus parce que quand x est égal à x1, le f(x1) il vaut zéro, c’est ce que j’avais dit là. Le f(x2) il vaut zéro aussi donc c’est supérieur ou égal à zéro, le f(x), ça marche.

Tu comprends ?

Oui.

Voilà, ça c’est super important, c’est comme ça que tu résous une inéquation du second degré. Maintenant il faut savoir dans quel cas on se trouve avec notre trinôme. Tu as ta parabole, comme ça, pas de problème. Sachant qu’elle continue.

Oui.

Ok, et mes axes peuvent être vraiment comme ça par exemple. Est-ce que là, mon polynôme a des racines comme ça ?

Non.

Et non, ça veut dire que mon ∆ il est quoi ?

Négatif.

Négatif, pas de racine de ce trinôme. Autrement dit, pas de solution au trinôme égal zéro. Ça veut dire qu’en fait mon f(x), l’équation f(x) égal zéro, ici qui est une équation, elle n’a pas de solution. Tu vois, ce serait une équation du second degré, donc ce serait ax²+bx+c=0, si je trouve un ∆<0, ça veut dire que ça n’a pas de solution. Ça veut dire que sa courbe, elle est comme ça <Figure>. D’accord ?

Oui.

Voilà. Donc ça, il faudrait qu’on calcule le ∆ ensemble pour voir. On va enfin le faire. On va juste effacer des choses. Donc tu vois, on reprend ton idée de départ, mais tu vois, il fallait comprendre déjà tout ça. Pourquoi calculer ∆ ?

Tu vois pourquoi calculer ∆, parce que les solutions c’est peut-être ça, (je vais garder ça). Tu vois bien ce que j’entoure là ? Voilà, ça va peut-être être ça. Mais si je refais le cas que je viens de te décrire, en l’occurrence ce truc, et bien là, quand est-ce que mon f(x), ça c’est la courbe de f. Quand est-ce que mon f(x) est positif ou nul ? Quelles sont les solutions de cette inéquation ?

Quand la courbe croise l’axe des abscisses.

Oui mais là, est-ce qu’elle la croise dans ce cas-là.

Non.

Jamais, donc est-ce que si je prends un point, est-ce que son f(x), son y donc est positif ?

Oui, il est positif.

Oui, il est tout le temps, tu vois ? Tu comprends ?

Oui.

Il l’est tout le temps, donc ça veut dire que les solutions c’est quoi dans ce cas-là ? Les solutions de x, quels peuvent être mes x possibles tels que f(x) ≥0 ?

C’est x≥0.

Non. Ce n’est pas x≥0, c’est n’importe quel x.

Je prends un x, si je calcule son f(x), je peux tomber là-haut, sur la courbe toujours. Quel est son f(x) à ce truc ? Il serait là, donc positif. J’en prends un autre, n’importe où. Il serait peut-être là. Je n’ai pas la place pour tracer la courbe, un autre x. Et bien quel serait son f(x) à ce x là.

Il serait positif.

Il serait positif tout là-haut là. Tu vois ? Ensuite, j’en prends un autre. Celui-ci, où est mon f(x) ?

Il est positif encore. Tu vois que ça marche pour tous les x.

Tu vois, pour n’importe quel x que je prends, quand je calcule ax²+bx+c, c’est-à-dire le f(x), je trouve un f(x) > 0, donc mes solutions sont S = ]-∞ ; +∞[ dans ce cas là.

Tu comprends ?

Oui.

Voilà. Je vais effacer ça, et on va vraiment calculer ∆ parce qu’il faut le faire quand-même. Mais c’est super important de comprendre comment on résout une équation comme ça. Donc on va continuer notre petit cas. Alors ∆, combien il vaut ?

∆ = b²-4ac

Ok, ici, dans notre cas, <Calcul mathématique>. Le tout au carré, c’est bien de dire ça. Ça vaut combien ?

<Calcul mathématique>. C’est donc positif, strictement. Donc dans quel cas on est là ?

Dans le cas où il y a deux solutions.

Deux solutions à quoi ?

Deux solutions à ∆.

Ce n’est pas ∆. On parle de solution quand il y a une équation, donc on parle de solution de l’équation tant, ou des racines d’un polynôme. Donc deux racines, à quel polynôme ?

x²-3x-1.

Tout à fait, c’est un trinôme, puisque c’est un polynôme du second degré. Et donc, quelles sont-elles ?

<Calcul mathématique>. Donc tout ça en gros, regarde notre schéma ici à droite. Et bien mon x1 et mon x2 ; ils sont là. Tu vois ?

Oui.

Et tu aurais ta courbe qui ressemble à celle-ci.

Et elle est tournée vers le haut, on le sait, parce que, ça il faudrait le dire sur ta copie, parce que j’ai a>0.

Voilà, c’est ce qui te permet de dire si ta courbe est tournée vers le haut ou non. Et là, elle est tournée vers le haut car a est positif. Si tu avais un « moins » par exemple devant le x², et bien le a, il vaut -1, tu es d’accord ? Et dans ce cas là, la courbe serait une parabole tournée vers le bas, mais ce n’est pas le cas. Donc maintenant, quelles sont les solutions de cette inéquation ?

<Calcul mathématique>. Et bien c’est x1 et x2.

Ça c’est les solutions de l’équation. C’est-à-dire quand x²-3x-1 = 0, oui. Mais pour l’inéquation, quand est-ce que c’est positif tout ça ? Et bien quand mon x il se ballade dans cet intervalle là. Tu vois, c’est ce qu’on a noté ici parce qu’on trouve dans ce cas même. Tu vois ? Et pourquoi mon x²-3x-1 est supérieur ou égal à zéro ? Et bien parce que quand je prends un x, qui est entre moins l’infini et x1, donc tu es d’accord, que x1 peu importe, c’est un truc compliqué, c’est (3-√13)/2, mais c’est un nombre, tu es d’accord ?

Et bien quand je prends un nombre x qui est inférieur à x1, je ne sais pas, on va dire -20, -20 je pense que ça marche, quand tu prends f(-20),ça va être égal à combien f(-20), est-ce que tu peux me dire dans notre cas ?

Ok, je calcule ça sur ma calculatrice très rapidement, donc on va trouver <Calcul mathématique>, on trouve un nombre qui est égal à 459. Est-ce que c’est positif ou pas ?

C’est positif oui.

C’est positif, pas de soucis. Donc ça veut dire quoi sur l’ensemble des solutions sur cet exemple ? ça veut dire que vu que f(-20) est petit, ça veut dire que -20 fait partie des solutions. Et -20 c’est exactement un nombre qui est dans cet intervalle. Tu vois ? Et je peux prendre un autre nombre comme exemple, mais en gros tu as compris le truc. C’est que si je prends un nombre qui est plus grand que x2, donc dans cet intervalle, et bien ça marcherait aussi. Je peux prendre par exemple 40. Il me semble que 40 c’est plus grand que ça (3+√13)/2. Donc, si je calcule f(40), je trouverais aussi à la fin, un nombre qui est positif. Donc 40 est bien solution. Mais tu es d’accord qu’on ne va pas y aller pas à pas comme ça. Donc en gros, il faut connaître cette configuration là. C’est-à-dire qu’il faut savoir que tes solutions ça correspond à quand ta courbe elle est au-dessus de l’axe des abscisses. Et en gros ce sont les portions rouges que j’ai faites ici. Tu vois ? Parce que n’importe quel point de cette portion, tu es d’accord, n’importe quel point déjà il a deux coordonnées : un x et un y. Et bien son x, peu importe où il est, mais en tout cas ça va être des x solutions, et son f(x) il est positif comme on le souhaite : f(x) est positif pour ces points-là. Tu vois parce qu’ils sont justement sur l’axe des abscisses, donc f(x) est positif. Et ces points-là, il se trouve qu’ils sont dans cet intervalle là.

Donc est-ce que tu peux me donner l’ensemble des solutions de notre cas ?

Donc si x appartient à moins l’infini à (3-√13)/2. C’est ça. Est-ce que je l’inclus ou pas ?

Oui.

Ok, pourquoi ?

Parce qu’elle est tournée vers le haut.

Non, ce n’est pas la raison, là tu es d’accord, que –x il doit appartenir à ça, -x il peut être égal à (3-√13)/2, est-ce que ça satisfait toujours ça.

Oui.

Pourquoi ? Parce que quand mon x il vaut ça, combien vaut x²-3x-1 ?

Voilà, c’est ça. Tu as raison, donc je peux l’inclure. <Calcul mathématique>. Et donc ça ce n’est pas du tout les solutions de notre équation. C’est juste la première étape. Tu vois ce que je veux dire ? C’est juste l’ensemble de définition des solutions. C’est-à-dire que quand mon x appartient à cet intervalle, où on a cette réunion d’intervalle plutôt, et bien ça veut dire que je peux calculer <Calcul mathématique>. Tu vois ce que je veux dire ? Mais quand il n’est pas inclut dans mon intervalle mon x, quand il n’appartient pas à cet intervalle, et bien de toute façon, je ne peux même pas calculer ma racine carrée. Tout simplement parce que <Calcul mathématique>, dans ce cas là, si mon x n’appartient pas à cet intervalle, il est strictement négatif. Tu vois ? Donc je t’avais dit que je ne pouvais pas calculer cette deuxième chose ici, que je ne peux pas calculer la racine carrée d’un nombre qui est strictement négatif. Ce n’est pas possible.

Donc c’est pour ça qu’on avait dit au début qu’il faut que notre x²-3x-1 soit positif. C’est cette condition.

Ça c’est une condition qu’il faut qu’on respecte, mais ce n’est pas ça qui te donne les solutions. Ça te donne en gros où est-ce que ces solutions peuvent être. Ça te donne une zone. Tu comprends, en gros tu as ton ensemble des réels, on va dire que c’est une patate, et toi avec cette première condition, donc cette première étape, qui te donne l’ensemble de définition des solutions possibles, et bien tu définis une zone dans laquelle tu peux avoir tes solutions. Ça ne veut pas du tout dire que tous les x dedans seront des solutions de ton équation. Tu vois ? Il y en aura peut-être que 1, il peut y en avoir zéro, il peut y en avoir plusieurs. Tu vois ? Et ça, il faut le voir à la deuxième étape, lors de la résolution. Tu comprends ?

Donc en gros, un ensemble de définition, c’est juste que ça t’assure que tu peux calculer les trucs qu’il y a dans l’équation.

Parce que si tu ne peux pas les calculer de toute façon, ça ne sert à rien d’aller plus loin. Tu ne peux pas du tout la résoudre. Donc il faut absolument déjà faire cette première chose. Et tu as vu, ce n’est déjà pas évident comme truc. On n’a même pas résolu notre équation, on n’est même pas à cette deuxième étape, mais il faut d’abord trouver l’ensemble de définition et la solution, c’est-à-dire, où est-ce qu’elles peuvent être en gros mes solutions. La zone ou elles peuvent être. Et la zone où elles peuvent être, c’est ça. Tu comprends ? Et ça ne veut pas du tout dire que mes solutions sont exactement ça. Elles sont incluses là-dedans, mais elles ne sont pas tout ça.

Alors déjà, ça c’est super important, c’est-à-dire qu’on a résolu une inéquation, c’est-à-dire un trinôme en gros supérieur ou égal à zéro ou peu importe. Et bien ça, il faut que tu saches le faire déjà. C’est une étape à savoir faire, et est-ce que tu te souviens un peu comment on fait ? Je répète pour que tu saches, graphiquement comment ça se passe ? En gros, est-ce que ta parabole est tournée vers le haut, ou est-ce qu’elle est tournée vers le bas ? Donc ça, ça dépend du signe de a. Donc ensuite, si elle est tournée vers le haut comme ici, et bien tu regardes s’il y a des solutions ou pas à l’équation f(x) = 0. En gros tu regardes, c’est la même chose, si ton trinôme a des racines, en gros tu regardes s’il y a des x pour lesquels ton trinôme s’annule, parce qu’ici tu vois pour ces x là, ton trinôme il s’annule, que le f(x) il vaut zéro. Voilà. Et une fois que tu sais dans quelle configuration tu es, il peut y en avoir plusieurs, je ne les ai pas toutes faites, mais en gros il peut y en avoir plusieurs, donc je vais répéter ça en effaçant deux ou trois choses.

Tu pars d’un trinôme et toi tu aimerais savoir dans quelle situation tu es, donc je te dis : signe de a. Donc là ça va être a<0 <Figure>, ici ça va être a>0 <Figure>. D’accord ? Ça c’est juste pour te donner la forme de la cloche.

Ensuite, il faut que tu saches où sont tes axes en gros, ton axe des abscisses et ton axe y. ça tu sais le dire en cherchant les racines. Racines, est-ce qu’il y en a ou pas ? C’est le calcul du Delta. En gros dans chacun des cas, il y a des racines si l’axe des abscisses il passe dans la cloche. Tu vois, en gros, c’est une intersection. Et les deux racines seront à chaque fois ces deux points-là. Les x correspondants à ces deux points. Tu comprends ? Tu me dis si je te dis des choses que tu sais déjà.

Non, c’est bon.

Ok. Et sinon, s’il n’y a pas de racines, tu peux te retrouver dans d’autres cas, c’est-à-dire que s’il n’y a pas de racines ça veut dire que l’axe des abscisses dans ce cas là, il est là <Figure>, et dans ce cas là il est là <Figure>. Ça veut dire que ta parabole elle ne touche pas l’axe des abscisses en fait. Donc tu vois ? Peu importe où il est ton y, ton axe y il est là. Ça c’est vraiment le cas où ∆ ici est négatif, dans les deux cas. Voilà. Et tu vois, là tu sais résoudre ce genre d’inéquations parce que, par exemple ici, là c’est la courbe de f à chaque fois, qui est un trinôme.

Est-ce que tu peux me dire si on trouve dans ce cas-là, les solutions de l’équation f(x) positif. Est-ce qu’il y a des x, en gros, je vais te le dire en français, pour lesquels, et bien le f(x) est positif ?

Tu vois je me ballade, je prends un x.

Non.

Non, parce que je pense que ce x là, son f(x), je n’ai pas fait la courbe jusque-là, mais son f(x), il serait en bas, en disant que la courbe elle continue comme ça. Et là, le f(x) il est clairement négatif, tu es d’accord ? Voilà. Si je prends cet x là, c’est pareil. Si je prends celui-là c’est pareil, leur f(x) à tous ces nombres, ils sont négatifs, donc, quelle est la solution à cette équation. Est-ce qu’il y a des x qui satisfont ça ?

Dis-toi toujours que les solutions sont sur des x. C’est les x.

Et bien non. Est-ce qu’il en existe tout simplement ?

Non, c’est zéro.

Solution vide, ensemble vide. Ok ? Et dans ce cas, deuxième cas, là c’est si ton a est positif, et delta négatif. Toujours en résolvant la même inéquation.

Oui il en existe.

Oui, c’est quoi exactement ?

C’est sur moins l’infini et plus l’infini.

Oui. En gros, ce sont tous les x, donc c’est R. Il faut savoir que ]-∞ ;+∞[ c’est égal à R, c’est la même chose. C’est tous les nombres en fait. Voilà, tu comprends ? C’est tout. Et quand il y a des racines, et bien il faut distinguer un peu les cas. En gros, il faut que tes solutions à la fin, elles soient dans cette réunion d’intervalle, dans cet ensemble. Si ce n’est pas le cas, ça ne peut pas être des solutions. En gros c’est vraiment une condition si tu veux. C’est une condition à respecter pour tes solutions, c’est la zone où elles doivent être.

Et ça c’est toujours quelque chose qu’il faut faire quand tu as une racine carrée ou un dénominateur.

Deuxième chose, pour résoudre tu vas vouloir mettre au carré, comme on a dit tout à l’heure, pour enlever cette racine carrée. Donc, tu vas obtenir, <Calcul mathématique>, tu es d’accord ? J’ai juste mis des carrés à gauche et à droite. Mais il ne faut pas oublier une condition là-dessus. En fait, quand tu sais que tu transformes une équation, ça je vais revenir sur une explication super importante, en gros tu as une équation 1, ton équation qu’on te donne dans l’énoncé de l’exercice. Et bien tu sais que tu vas essayer de le transformer petit à petit. Tu la transformes à la fin pour obtenir une équation 2, donc tu en transformes encore une, tu vois tu as des signes « équivalent » à chaque fois entre les équations. Et à la fin tu veux obtenir x égal à quelque chose, ou x égal truc. Ok, mais il faut absolument que tu aies des équivalences entre chaque équation.

Alors qu’est-ce que ça veut dire cette équivalence ? Ça veut dire qu’en gros, tu as le droit de transformer ton équation, mais tu n’as pas le droit de le faire si ça modifie les solutions.

Ça veut dire que tu n’as pas le droit de dire, là je modifie mon équation 2 ; ok ; mais ses solutions ne sont pas les mêmes que les solutions de l’équation 1. Donc ici, en fait ça, tout ça là, en gros, ça va être comme ça, ça implique, donc ça va de la gauche vers la droite, si j’ai ça, et bien j’ai le droit oui, de mettre au carré, c’est ce qu’on fait. Par contre, si je pars de là, et bien je ne peux pas aller dans l’autre sens. Est-ce que tu sais pourquoi ? On ne peut pas le faire en fait. En fait, on n’a pas d’équivalence tout simplement parce que ce n’est pas évident à ce point là, mais en gros, tout simplement parce que, imaginons, tu as x²=4, et au début tu as x=2, est-ce que tu peux me dire lequel implique l’autre ? Est-ce que tu peux me dire si j’ai x = 2 => x² = 4. Oui, parce que j’ai le droit de mettre au carré, et ça me donne ça. Par contre, est-ce que x² égal 4 implique, x=2 seulement ?

Non.

Non, pas seulement, effectivement, parce que x²=4 ça implique oui x=2 mais aussi x= -2. C’est bien.

La dernière fois, je me souviens, tu as eu un peu de mal là-dessus. Donc c’est tout ça qu’il faut qu’on ait x supérieur ou égal à zéro. Tu vois, quand j’ai ça là. Quand j’ai x au carré égal à 4 et x supérieur ou égal à zéro, et bien je peux dire que mon x égal 2. Ça implique ça. Là dans ce sens là, excuse-moi, c’était une petite erreur. Là effectivement, je peux dire mon « implique x=2 ». Ça c’était pour le cas simple. Donc on revient à notre équation. Donc, tu vois, quand j’ai mon carré, égal à l’autre carré, donc la racine carrée de tout ça, le tout au carré égal à (2-x)², et que 2-x≥ 0, alors, je peux dire effectivement que ça implique. Tu vois ? Donc il faut absolument que tu ais cette condition là. Et une fois que tu es là, comment ça marche ?

Et bien là, tu peux raisonner toujours par équivalence. Parce qu’une fois que tu as enlevé la racine carrée, il n’y a plus de problèmes. Donc là, je remets un signer « équivalent ». Est-ce que tu peux me dire comment on va résoudre cette équation ? Vu qu’on a fait disparaître la racine carrée, c’était notre but.

Bon, on met tout d’un côté ?

Oui, alors dis-moi ce que ça donne.

<Calcul mathématique>. Tu ne veux pas développer plutôt ici d’abord ? Oui, il vaut mieux. Oui, ça fait combien ? <Calcul mathématique>.

Alors c’est l’identité (a-b)², ça vaut combien ?

C’est a²-2ab+b²

Voilà, quel est mon a, quel est mon b ?

Le a c’est 2 et b c’est x. Tu vois, le moins il est déjà dans l’identité remarquable. Donc ton b, c’est juste x. Donc une fois que tu as écrit ça, ça va t’aider.

Ça fait 4x alors ? Exactement. +x².

Voilà, maintenant je peux tout mettre de l’autre côté, alors je mets le « et » 2-x supérieur ou égal à zéro. Est-ce que tu peux me dire ce que c’est comme condition 2-x supérieur ou égal à zéro. Est-ce que tu ne peux pas isoler le x tout seul d’un côté ?

Oui.

Comment on fait ? On ajoute x partout ?

Et bien non.

Pourquoi ? On peut ? Si on peut mais…

+x+x, ça ne change pas le sens de l’inéquation ou le sens de l’inégalité plutôt et j’ai le droit de le faire, par contre si tu multipliais, il faudrait faire attention. Tu sais, quand on multiplie par un nombre négatif, une inégalité des deux côtés, il faut peut-être changer le signe, le sens. Donc là, tu retrouves ton x. Donc finalement tu obtiens quoi comme conditions ? Que 2 soit supérieur à x. Ou égal à x. Donc en gros, c’est x, inférieur ou égal à 2, c’est la même chose.

Oui.

Tu es d’accord, j’ai juste changé l’ordre.

Oui.

Voilà. Donc j’ai ça. Donc ça, cette condition il faut la traîner jusqu’au bout. Voilà, ça c’est très important. Et en gros, il va s’agir en fait de résoudre ça. Et ça, est-ce que ce n’est pas tout simplement une équation très simple à résoudre. Oui.

Comment on fait alors du coup. Je t’écoute, ce n’est pas compliqué, tu vas voir.

Et bien là, on envoie le tout de l’autre côté.

Le x² ils se rayent.

Ok, est-ce qu’il n’y a pas déjà des choses qui se simplifient ? En passant tout de l’autre côté, là je ne mets plus de signe « équivalent » donc c’est parti, qu’est-ce qu’on va obtenir ?

x-5=0

Donc –x, il est inférieur ou égal… Oui mais là… Ah oui, il est égal à 5.

Voilà. Bon alors maintenant, est-ce qu’avec cette condition ça marche ?

Non.

Et bien non. Tu vois ? Donc en gros, tu trouves quelque chose. Tu trouves x=5, mais tu trouves la condition x≤2. Et en plus, il ne faut pas oublier que tu avais une autre condition qui était celle-ci.

Donc de toute façon ici tu as déjà une impossibilité en bas. Donc ça ne sert à rien même de vérifier x=5 compris dans cet ensemble parce que ça ne satisfait déjà pas, ça. Tu vois ? Donc S= ensemble vide, pas de solution.

Tout ça pour aucune solution, c’est dommage. Mais voilà. Tu vois ça a été assez rapide. Il faut que tu t’assures que ce qu’il y a sous la racine carrée, c’est positif. Ok. Et en gros, c’était ça le coup dur. Il faut que tu t’assures que x²-3x-1 est positif ou nul. Et ça c’est une étude du signe du trinôme, x²-3x-1. Tu es d’accord ? En gros, il faut que tu cherches les x pour lesquels x²-3x-1 soient positifs ou nuls, en gros, je redis toujours la même chose, il faut résoudre l’inéquation x²-3x-1≥0.

C’est-à-dire trouver les x qui satisfont ça. Ça, ça va te donner ta première étape. En gros, l’ensemble des définitions des solutions, c’est-à-dire en gros la condition à respecter, ce que j’ai noté ici.

Ou autrement dit, la zone dans laquelle peuvent être tes solutions. Deuxième chose, tu vas résoudre vraiment. Et comment tu résous vraiment, et bien, toi ce qui t’embête c’est la racine carrée.

Tu mets au carré, tu mets tout au carré. Tu vois ? De façon à l’enlever cette racine carrée. Mais en mettant au carré, il faut bien s’assurer qu’en gros la chose ici soit positive ou nulle. Tu vois ce que j’ai mis ici.

Oui.

Et en gros, c’est normal, parce que tu mets quelque chose au carré, il faut bien que tu aies ET ici, ceci soit supérieur ou égal à zéro. Pourquoi ? Parce qu’ici tu as une racine carrée. Et c’est toi-même qui m’a dit tout à l’heure qu’une racine carrée d’un nombre c’est toujours positif. Tu te souviens ?

La racine carrée d’un nombre c’est toujours positif donc, il faut absolument que tu aies 2-x de toute façon qui soit supérieur ou égal à zéro. Donc ça c’est équivalent à x inférieur ou égal à 2. Voilà. Donc ça c’est une nouvelle condition. C’est ta condition numéro deux si tu veux.

Sachant que là, c’était la condition à respecter numéro 1. Et ensuite, et bien tu n’as que ça à résoudre, vu que tu as tout mis au carré, ça fait disparaître la racine carrée, et quand tu as fait disparaître la racine carrée, et bien c’est simple ; il te reste soit une équation du second degré, soit comme ici, une équation du premier degré, donc quelque chose de plus simple que tu vois au collège. Tu vois, il te reste ça, x-5, d’accord ?

Et à la fin et bien tu vérifies bien que ton x que tu trouves, il satisfait les conditions. Et ici et bien il en satisfait, il ne satisfait déjà pas ça, donc c’est fini, il n’y a plus de solutions. Tu vois. Voilà, je sais que ce sont des équations compliquées.

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1ère S Résoudre une équation avec une racine carrée, un peu dure