1ère S Résoudre une équation trigonométrique avec cosinus

Résoudre dans R : 2cos (3x)-1=0

Ok, donc alors pour résoudre cette équation, souvent en maths, ce qu’on peut faire, c’est de se ramener à des cas qu’on connait. Et les cas qu’on connaît, et bien ce sont lesquels ? Qu’est-ce qu’on connaît comme type d’équation. Et bien on avait une équation que vous connaissiez bien avec Guillaume tout à l’heure, c’était celle-ci : cos X = cos a, avec a connu. Donc c’est le X notre inconnue. Donc le a, ça peut être comme on l’a vu avec Guillaume tout à l’heure, ça peut être π/2, ça peut être π, ça peut être π/3, π/, peu importe, donc c’est vraiment quelque chose de connu. Et ça, tu sais résoudre ça. Ensuite, ce qu’il faut faire, c’est tout simplement transformer ton équation. On fait souvent ça en maths. On transforme les équations pour les simplifier.

Comment on va transformer cette équation ici en bleu : 2cos (3x) -1 = 0

Et bien en fait, on va juste glisser le -1 de l’autre côté, c’est ce qu’on fait ici, donc je garde le 2 cos (3x) =1. Et ensuite, la seule chose qu’il s’agit de faire, c’est tout simplement de passer le 2 de l’autre côté, en fait tu isoles ton cos de ‘machin’, cos (3x). D’accord Asma ? On veut vraiment qu’il soit tout seul d’un côté.

Cos (3x) =1/2, donc là on a ½, et ½ à votre avis c’est le cos de quoi ? Là on veut vraiment identifier notre ½ à ça là : cos a. D’accord ? Donc comment on va faire ?

Comment on va faire pour identifier notre ½ à cos de « quelque chose » ?

Donc là il faut connaître le tableau des valeurs remarquables. Quand vous avez un petit peu l’habitude, le ½, vous savez directement que c’est cos (π/3). Tu peux faire un cercle trigonométrique. Mois ce que je vous encourage à faire quand vous ne savez plus trop ce que vous avez comme valeur de cosinus, à quel angle ça correspond ce ½, et bien, vous faites un petit cercle, donc très très vite fait, donc regarde, là tu prends ton ½ Asma, mon ½ il est là au milieu. D’accord ? Et bien à quel angle ça correspond ? Et bien je monte tranquillement. Tu vois, tu vas le voir assez vite si tu ne te souviens plus exactement. Et bien ça correspond à cet angle-là <Figure>. Ici tu as vraiment le cosinus qui vaut ½, cet angle ici là. Et ensuite cet angle-là ou cet angle-là correspond à – π/3, parce que ça se voit que c’est π/3 ici. Tu vois ? Ça ne peut pas être π/6. C’est pour ça que je vous encourage à faire un cercle trigonométrique, c’est que même si ce n’est pas exact, vous allez quand même pouvoir retrouver les valeurs parce qu’on n’a pas 47 valeurs qu’on connaît. On ne connaît pas π/5, connait surtout π/6, π/3, π/4 te π/2. En gros c’est tout, ce sont les seules valeurs. Je dis même en gros, mais non, ce sont même les seules valeurs qu’on connaît. Donc là c’est π/3, voilà.

Donc là, tu peux remplacer ton ½ par cos (π/3) parce que c’est vraiment une égalité qu’on a entre les deux.

Ok, donc là, qu’est-ce qu’on va obtenir ? Et bien on obtient ça, notre équation de départ elle est vraiment équivalente à cos (3x)= cos (π/3), qui comme je le répétais à Guillaume tout à l’heure, c’est vraiment une équation de cours. Tu vois ? Tu sais vraiment résoudre ça, c’est facile. C’est ça. Et les solutions de cette chose, c’est quoi ? Donc, au fait, regarde, qu’est-ce qui peut te venir à l’esprit tout naturellement ?

Tu as cos de ‘machin’ égal à π/3. Et bien ça veut dire que ‘machin’ égal à π/3.

Ça c’est une première possibilité, en gros tu as 3x (je vais le marquer en bleu) qui vaut π/3, ça c’est vrai, donc modulo 2 π. Ça c’est vrai, mais il ne faut pas oublier une autre solution, c’est ce que la plupart des élèves oublient, mais vous, vous n’allez pas l’oublier, parce que je vous l’aurais dit, la deuxième solution possible, c’est le même genre de chose que vous avez par exemple, x² qui vaut (je ne sais pas ) 5. Quand vous avez ça, vous vous dites, ok, et bien mon x il vaut racine carrée de 5. Oui oui oui ! Mais il y a aussi une autre solution qu’il ne faut jamais, jamais oublier, c’est x est égal à -√5, ça marche aussi. D’accord ? Et bien là, c’est le même genre de choses. Ce n’est pas la même chose bien sûr, mais c’est le même principe. Ici vous avez 3x, il est égal aussi à – π/3 (2 π).

Donc là tu es proche vraiment de trouver ton inconnue, égale à quelque chose de précis. Donc voilà. Donc à partir de ce moment-là, tu peux tout simplement passer de 3x égal quelque chose à x égal quelque chose. Il suffit (donc je vais effacer deux ou trois petites choses), voilà, tu as 3x= π/3, donc ton x il vaut (π/3)/3 donc π/9, et attention, ce ne sera plus modulo 2 π, ce sera modulo π/3. C’est important de diviser aussi le modulo quelque chose par le nombre par lequel on divise. Donc ou x = – π/9 (2 π/3). Et voilà tes solutions. D’accord Asma, ça va ?

Tu vois, donc on s’est ramené de ça : 2 cos (3x) -1 = 0, ton équation de départ, à quelque chose qu’on connait, c’est-à-dire ceci : cos X = cos a. Et ça tu sais résoudre, c’est facile. Donc voilà. Tu essaies d’isoler ton cos.

Attention, toutes les équations trigonométriques, je tiens quand même à vous le préciser, ne se ramènent pas à ce genre de choses.

Là c’est pour les équations trigonométriques assez simples. Vous avez vu tout à l’heure la première équation qu’on a faite, qu’on a résolu avec Guillaume, c’était on va dire différend. C’était un peu plus difficile, tout simplement parce qu’il y avait du carré dedans, cos 2x² etc, donc là il a fallu faire un changement de variable. Donc attention, je ne dis pas que tout se ramène à cette équation de cours. Mais par contre, essayez quand vous avez une équation sous les yeux de vous ramener à cette équation-là. C’est quand même une équation simple, et puis ça peut marcher tout simplement. En plus là ça se voit assez bien, quand tu as 2 cos de quelque chose -1 =0, bon et bien tu isoles le cos, le cos de quelque chose, cos de 3x ici, et tu trouves cos (3x) = ½. D’accord ? Tu vois ? Donc c’est assez immédiat je trouve. Après le ½, ça saute aux yeux petit à petit quand tu pratiques un petit peu. Ton ½ tu sais que c’est cos (π/3), cosinus de π/3. D’accord ?

Tu aurais pu avoir du sinus ici, et bien tu aurais transformé tout ça en sinus de 3x est égal à ½.

D’accord ? Et ensuite, l’autre équation que tu sais résoudre c’est celle-ci, plus avec du cosinus, mais avec du sinus. Donc sinus de X égal à sinus de a. Et ça tu sais résoudre, soit ton X il vaut a, comme pour cette équation-là, soit ton X il vaut, c’est là qu’il y a une autre solution, donc ton X peut valoir a X=a ou X = π-a. Donc là je sais, je vais un peu vite là-dessus, mais imagine que tu aies un sinus ici. 2 sin (3x) -1 =0, et bien tu obtiens sin (3x) = ½, et ½ c’est le sinus de quoi ? Et bien pas de π/3 parce que le sinus de π/3, tu te souviens c’est √3/2. C’est ce nombre un peu compliqué là. En fait, ½ comme sinus, et bien c’est sinus de π6. Donc tu transformerais ton ½, tu obtiendrais, je répète, tout ceci c’est dans le cas où tu aurais un sinus de 3x, donc ton ½ tu le transformerais en sinus de π/6. Donc tu aurais sinus de 3x= sin (π/6), donc tu t’es ramené à ceci : sin X = sin a. Et après c’est bon. Tu vois ? Tu connais le chemin par cœur. Voilà c’est ça. Ok ?

Voilà Asma ce que je peux te dire sur ton équation.