1ère S Résoudre l’équation trigonométrique simple « sinus de x égal zéro »

Comment résoudre une équation trigonométrique simple ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. J’espère que tu vas bien. Dans cet exercice nous devons résoudre sur R, l’équation suivante, en mauve : sin x=0.
Alors dans un première vidéo je vais te faire des rappels de cours sur comment résoudre ce type d’équation trigonométrique. On dit trigonométrique parce que ce sont des équations qui comportent les fonctions cosinus ou sinus ou tangente.
Donc je vais te montrer, dans un premier temps, te faire un rappel de cours sur la façon de résoudre certaines de ces équations trigonométriques, les plus simples, les premières qu’on voit.
Et dans un deuxième temps, on passera à la résolution effective de notre équation dans une deuxième vidéo.

Alors, dans cette première vidéo, on va faire un rappel de cours sur ces premières équations trigonométriques, que l’on voit dès la première S. Ce sont les équations du type suivant : en fait ça va être :
1er type d’équation que tu pourras voir avec la fonction cosinus : cos x = cos a. Et le deuxième type, c’est celui-ci : sin x = sin a.
Alors il ne faut pas être effrayé par le a. Le a, selon les exercices, sera un nombre constant, un nombre fixe, et ce sera souvent un angle en radian. Par exemple le a pourrait être égal à Pi/3 ou -Pi/4 etc.

Alors là, je t’ai donné les formes d’équations mais quelles sont leurs solutions ? Parce que tu sais qu’une équation c’est bien joli mais nous, on cherche à la résoudre et quand on cherche à résoudre une équation, qu’est-ce que ça veut dire ? Et bien ça veut dire qu’on cherche les x qui satisfont l’équation. On cherche les inconnues x qui marchent.
Donc là, quelles sont les solutions de ce premier type d’équation ? Donc là je vais donner les solutions sur R. Les solutions tu peux les connaitre directement. C’est vraiment un résulta de cours que je t’encourage à connaitre. Le x il vaut a+2kPi, avec k appartenant à Z, c’est un nombre entier, qu’il soit positif, nul ou inférieur ou égal à 0.
Ou deuxième solution, qu’il ne faut jamais oublier : x=-a+2kPi.
Là je te rappelle vraiment le cours et on va expliquer comment ça marche ces solutions. Mais c’est vrai que ce n’est pas évident à comprendre dans un premier temps. D’où ça vient ces solutions ? Voilà pour le premier type d’équation, cos x = cos a.

Et pour le deuxième type d’équation que tu pourrais rencontrer, c’est-à-dire sin x = sin a, je pense que tu vois que notre équation mauve ressemble plutôt à ce deuxième type, les solutions sont les suivantes : x=a +2kPi. C’est la même première ligne en fait que pour cos x = cos a. Avec k appartenant à Z. Il faut toujours répéter normalement.
Ou, deuxième solution qu’il ne faut pas oublier, c’est x=Pi-a modulo 2 Pi, ça se dit aussi comme ça, donc plus 2kPi (tu peux le dire modulo 2Pi, c’est vraiment la même chose).
Et ce modulo 2 Pi tu peux aussi l’écrire comme ça : (2Pi) ou [2Pi]. Ça veut dire +2kPi, tu pourras rencontrer ces notations dans les livres ou dans les exercices. Ça dépend mais ça veut dire la même chose.

Donc voilà pour les solutions, mais d’où ça vient ? On va essayer de rappeler d’où ça vient, on ne va pas faire une démonstration complète et rigoureuse ici, on va juste essayer de regarder sur le cercle trigonométrique, d’où viennent ces solutions.
On va s’intéresser à la première équation : cos x = cos a et donc je vais dessiner un cercle, par exemple en vert. Donc un magnifique cercle trigonométrique. C’est juste pour regarder comment ça marche. Alors comme je te disais, il faut bien se dire que le a, c’est un nombre constant, qui est fixé. Il n’y a pas de x à droite du égal ici. Il y a un nombre constant.
Donc là, on va fixer le a. Imaginons que ce soit un angle comme je te disais, et donc on va le fixer par exemple là. C’est un petit angle. Donc forcément, c’est un angle parce qu’il est à l’intérieur d’un cosinus. Je te rappelle que tout ce qui est à l’intérieur d’un cosinus ou d’un sinus, tout ce que « mange » les fonctions cosinus, sinus et tangente, ce sont des angles.
Donc là, le a on peut tout à fait le représenter sur un cercle trigonométrique. Je l’ai placé là mais tu pourrais le mettre n’importe où, ça dépend de ton exercice. ET là, où est le cosinus de a ? Et bien le cosinus de a on va le placer. Tu te souviens, il faut descendre verticalement sur « l’axe des x » et là, je vais le faire en rouge, tu as le cosinus de a. Cette longueur, c’est le cosinus de a.
Tu vois que le cosinus il peut être positif, comme c’est le cas ici ou négatif, par exemple si a avait été plus grand que Pi/2. Tu vois par exemple un angle dans la partie gauche du cercle, et bien en allant verticalement sur l’axe des abscisses, on serait tombé par là. Donc le cosinus aurait été à gauche de 0. Le 0 est bien sûr ici, à l’intersection des axes.

Et nous, on revient à notre équation, on cherche les cosinus de x tels que cos x = cos a. Je pense que tu seras d’accord que la solution la plus naturelle à cette équation, c’est a lui-même. Je pense que tu seras d’accord avec moi que quand x vaut a, cos x = cos a.
Donc la solution la plus naturelle c’est la solution bleue. Mais tu peux très bien rajouter 2Pi à ce a. Et rajouter 2Pi ça ne change rien ici à l’angle. La mesure change mais l’angle reste le même. Tu vois je peux rajouter deux Pi en partant de cet angle a, et 2 Pi en fait c’est un tour complet. 2Pi radians ça correspond à 360° donc on retombe ici. Donc le cosinus de a+2Pi c’est égal au cosinus de a parce que tu retombes exactement sur ce même angle bleu quand tu prends a et que tu lui rajoutes 2 Pi.
De la même façon si tu rajoutes 4 Pi, 6 Pi, tous les multiples de 2 Pi… Si tu enlèves 2 Pi, si tu enlèves 8 Pi… à a toujours, et bien le cosinus de l’angle obtenu sera toujours égal au cosinus de a. C’est donc pour ça qu’on a cette première ligne en fait. Le a+2kPi. Quand tu prends le cosinus de cet angle, avec k qui est n’importe quel entier, et bien le cosinus de a+2kPi sera égal au cosinus de a.
Voilà donc l’explication, un peu rapide, pour cette première ligne.

Et maintenant, d’où vient le -a ? Et bien x=-a, c’est une solution aussi de cos x = cos a parce que si tu remplaces x par -a, pourquoi le cosinus de -a serait égal au cosinus de a ? Et bien regarde, je vais placer le -a, donc on va effacer cette flèche et on va placer le -a.
L’angle -a, en fait c’est juste le symétrique de a par rapport à l’axe des abscisses, donc en fait, tu le places ici. Donc en fait, cet angle-là, c’est tout simplement -a. Et je pense que tu seras d’accord que si tu prends ce point bleu et que tu le reportes verticalement sur l’axe des abscisses, tu retombes exactement au même endroit. Donc en fait le cosinus de -a est égal au cosinus de a.
Donc forcément, -a est solution de cette équation. Tu vois, quand tu remplaces x par -a, tu as bien cosinus de -a qui vaut cosinus de a. Et pour les mêmes raisons que tout à l’heure, tu peux ajouter ou enlever à -a autant de 2Pi que tu veux. Et le cosinus à l’angle obtenu, par exemple le cosinus de (-a+2Pi) ou cosinus de (-a+4Pi), il faut bien mettre le +4Pi ou +2Pi dans les parenthèses, et bien le cosinus de ça sera toujours égal au cosinus de -a, c’est-à-dire au cosinus de a.
Ça marche ? Donc voilà pourquoi tu as cette deuxième ligne : cos (-a)=cos a. Et tu vois ça se voit bien sur le cercle trigo parce qu’en fait quand tu reportes verticalement sur l’axe des abscisses (toute l’explication est là en fait), soit en partant du a, soit en partant du -a, tu obtiens le même cosinus, tu retombes sur cette même longueur rouge ici. Ça prouve bien que cosinus de -a égal cosinus de a.

Et après, le fait que tu puisses rajouter des 2 Pi, ça se comprend aussi verticalement. Tu te souviens c’est la petite flèche que j’avais faite tout à l’heure, quand tu prends a et que tu ajoutes 2 Pi, tu retombes sur cette même barre bleue. Donc le cosinus de (a+2Pi) c’est le même que le cosinus de a.
ça peut se dire autrement en mathématiques, le fait que quand tu rajoutes 2 Pi ça ne change pas le cosinus, quand tu rajoutes 2 Pi à l’angle, le cosinus de l’angle obtenu ne change pas, et bien ça, ça se dit aussi cosinus et 2 Pi périodique et 2 Pi et aussi périodique de période 2 Pi. Ça se dit comme ça en mathématiques.
Et le fait que cosinus de a soit égal à cosinus de -a, tu peux le dire aussi autrement, tu peux dire que cosinus est une fonction paire. C’est-à-dire que si tu prends par exemple cosinus de 3Pi, et bien c’est égal au cosinus de -3Pi. Et le cosinus de 2, je peux prendre n’importe quel nombre, et bien c’est le cosinus de -2.
Et autrement dit, vu que cette fonction cosinus est paire, et bien quand tu traces la courbe de cette fonction dans un repère orthonormé, et bien la courbe sera symétrique par rapport à l’axe des y.
Donc voilà un petit peu pour les explications rapides, ce ne sont pas des démonstrations rigoureuses, de ces solutions ici présentes de cette première équation.

Expliquons maintenant d’où proviennent ces solutions un petit peu étranges pour cette deuxième équation que tu peux rencontrer : sinus de x = sinus de a.
La première solution un petit peu naturel, comme pour cos x = cos a, et bien c’est a parce que quand tu remplaces x par a dans cette équation, et bien tu seras d’accord que sinus de x sera égal à sinus de a. C’est tout à fait naturel. Donc il n’y a pas de problème pour a.
Maintenant, pourquoi +2kPi ? Et bien c’est exactement la même raison que pour cosinus. En fait sinus c’est une fonction que l’on appelle 2Pi périodique, qui est périodique de période 2 Pi et donc… On va placer le sinus de a sur ce cercle. On va le placer ici en vers foncé et on va prendre (a+2Pi), tu vas voir ce que ça va donner.
Donc le sinus, il faut reporter horizontalement sur l’axe des y, à partir de ce point bleu et tu vas obtenir le sinus de a qui est donc cette longueur ici. Tu remarques que cette longueur est positive ici puisqu’elle est en haut de 0. Cette longueur, c’est sinus de a.
Maintenant, si tu prends (a+2Pi), qu’est-ce que ça change au sinus de a ? Et bien rien du tout puisque (a+2Pi), tu fais un tour complet à partir de a : c’est +2Pi radians, un angle de 2Pi et tu retombes exactement sur ce même point bleu. Et quand tu reportes horizontalement, et bien évidemment tu retombes sur le même sinus : sinus de a. donc sin (a+2Pi) = sin a. C’est vraiment pour la même raison que pour cosinus, c’est-à-dire que sinus est une fonction 2Pi périodique
Donc en fait c’est pour ça qu’on a cette première ligne. Toujours la même première ligne en fait que pour cos x = cos a, on a les solutions a+2kPi à cette équation. Tous les a+2kPi, donc a+2Pi, a+4Pi, a+8Pi, a-8Pi, a-16Pi etc. Tout ça, ce sont des solutions de sin x = sin a.

Et pourquoi on a maintenant ce Pi-a qui traine ? Bon et bien là il faut regarder notre schéma. Je vais enlever cette boucle pour que le schéma soit moins chargé. Et maintenant on va placer Pi-a. Où est l’angle Pi-a sur notre cercle trigonométrique ?
Bon et bien déjà le -a tu peux le placer juste en-dessous. Ça, c’est l’angle -a. Et maintenant où est Pi-a ? Et bien en fait il suffit de prendre -a et de rajouter Pi. Tu vois tu rajoutes Pi à cet angle, donc tu fais un angle plat en allant dans le sens positif. Donc ça donne ceci. Là j’ai rajouté +Pi. Donc ça va donner ceci. Tu vois c’est le symétrique de -a par rapport à O.
Donc en fait, tout cet angle que je vais faire apparaitre en bleu clair, en partant de la barre verte ici, et bien c’est Pi-a.
Et quel est son sinus à cet angle Pi-a ? Et bien je pense que tu vois que quand tu reportes horizontalement sur l’axe des y en partant de Pi-a, et bien on retombe sur sinus de a. Tu vois donc que le sinus de l’angle bleu clair Pi-a, c’est le même que le sinus de a. donc en fait on obtient sin (Pi-a) = sin a tout simplement parce que l’angle Pi-a c’est le symétrique de l’angle a par rapport à l’axe des y. Tu vois géométriquement ça se comprend bien. Cette barre bleue, elle est symétrique à celle-ci par rapport à l’axe des y.
Donc voilà pourquoi on a ceci. Et si tu prends Pi-a, je pense que tu seras d’accord avec moi que si tu lui rajoutes 2Pi, ou 4Pi, ou 6Pi, bref des multiples de 2Pi et bien le sinus de l’angle obtenu sera toujours égal au sinus de (Pi-a), c’est-à-dire au sinus de a. Donc voilà pourquoi on a ces solutions aussi. Quand tu remplaces x par Pi-a et bien tu as sin (Pi-a) = sin a, c’est ce qu’on vient de montrer ici et tu peux rajouter autant de 2Pi que tu veux à Pi-a, le sinus obtenu sera toujours égal à celui de a.

Voilà donc pour l’explication rapide de ces solutions qui peuvent paraitre au début un peu étranges, on ne sait pas trop d’où elles viennent. Mais en fait quand tu traces un cercle trigonométrique et bien tu peux te rendre compte assez facilement d’où elles viennent.
Il faut bien comprendre comment marche un cercle trigonométrique avant, comment placer tes angles, où lire le cosinus et le sinus. Mais j’ai supposé que tu savais placer un angle et lire son cosinus et son sinus sur un cercle trigonométrique.
Donc là maintenant, ce qu’on va faire, c’est tout simplement utiliser ces rappels de cours en noir sur notre équation mauve. On va faire ça dans la deuxième vidéo.

Résoudre l’équation trigonométrique simple sinus x = 0
vidéo 2/2
Application du rappel de cours à notre équation

Dans cette vidéo nous allons appliquer les rappels de cours que j’ai faits dans la vidéo précédente pour résoudre notre équation, l’équation mauve ici, sur R : sin x = 0.
Donc je rappelle rapidement ce que ça veut dire résoudre sur R une équation. Et bien en fait ça revient à chercher toutes les solutions qui appartiennent à R.
Parce que parfois on peut te demander dans un exercice de résoudre une équation, qu’elle soit trigonométrique ou non, sur un intervalle particulier. C’est-à-dire qu’on te demande les solutions uniquement sur l’intervalle donné. Donc s’il y a d’autres solutions qui n’appartiennent pas à l’intervalle donné, et bien tu ne les donnes pas.
Mais ici, c’est sur R. Bref on te demande de chercher toutes les solutions réelles de cette équation.

Donc là, comment va-t-on faire ? En fait, on va utiliser tout simplement, je pense que tu es d’accord avec moi, cette partie là du cours. En mathématiques c’est très important, quand tu as des résultats de cours, de bien les utiliser, et surtout, c’est ce qu’on va faire dès maintenant, les utiliser de façon rigoureuse.
C’est-à-dire qu’on va essayer de coller au maximum à ce qui est donné dans le cours. C’est très important ça. Il ne faut pas juste utiliser les résultats du cours comme ça en t’en souvenant de façon un petit floue, un peu « à l’arrache ». Il faut vraiment faire ça de façon rigoureuse.
Donc là, sin x = 0, en quoi c’est une équation du type sin x = sin a ? Pourquoi on aurait sinus de a ici à droite ? En fait, 0, il faudrait quand même qu’on le transforme en sinus de a, en sinus de quelque chose. Il faudrait qu’on trouve le a pour vraiment coller au maximum à cette équation.
Comment va-t-on faire ? O en fait pour toi, c’est le sinus de quel angle ? Il y a plein de possibilités mais il y en une quand même qui est plus naturelles. En fait 0 c’est tout simplement le sinus de l’angle 0. Et l’angle 0 c’est tout simplement l’angle correspondant à cette barre. Tu te souviens que les angles sur un cercle trigonométrique on les fait toujours partir de cette barre à droite. Donc l’angle 0 c’est tout simplement représenté par cette barre noire.
Donc son sinus, quand tu reportes horizontalement sur l’axe des y, tu retombes ici donc en fait le sinus il vaut 0. Bref c’est tout simplement un résultat important à connaitre, le sinus de 0 vaut 0.

Donc en fait notre équation, il n’y a aucun mal à la transformer en l’équation suivante : sin x = sin 0. Puisque 0 c’est sinus de 0. ON a juste remplacé 0 par sinus de 0. ET là, on colle bien à cette équation. C’est-à-dire que le a et bien c’est 0.
Et donc les solutions tu les as directement d’après ce résultat de cours. Ce sont les suivantes : x=a+2kPi le a c’est 0 donc x=2kPi, k appartenant à Z. Z tu te souviens que c’est l’ensemble des entiers relatifs. En fait ce sont tous les entiers : -8, -7, 0,1, 2, 3 etc. Bref quand on dit 2kPi, ce sont tous les multiples de 2Pi. Donc 0 en fait partie, 2Pi, 4Pi, mais aussi -2Pi, -4Pi -6Pi etc.
Donc tous ces angles ce sont des solutions de notre équation. Et enfin il ne faut pas oublier le deuxième type de solutions possibles : x=Pi-a. Donc Pi-a, ça donne Pi dans notre cas puisque a vaut 0. Là je vais indiquer que c’est le a. donc en fait on obtient x=Pi+2kPi et tu répètes toujours k appartenant à Z.
Voilà donc les solutions de notre équation sur R. Je vais mettre une petite accolade. Je peux t’en donner quelques exemples. Cette première ligne, comme je te le disais à l’instant elle peut nous fournir les solutions x : 0, -4Pi, -2Pi, 2Pi, 4Pi etc. Bref tous les multiples de 2Pi.
Et la deuxième ligne, qu’est-ce qu’elle te fournit ? Et bien déjà quand tu prends k=0, ça annule cette partie, le 2kPi vaut 0… Tu peux vraiment choisir le k, il se balade dans Z donc tu peux prendre ce que tu veux comme nombre entier k. Donc si on prend k=0 ça te donne Pi comme solution. Si tu prends k=1, ça fait Pi+2Pi, ça fait 3Pi etc. Je pense que tu comprends qu’on aura 5Pi, 7Pi. Et dans les nombres négatifs, si je prends k=-1, et bien tu auras Pi-2Pi donc -Pi. Et tu auras -3Pi etc.

Voilà toutes les solutions de cette équation. Et en fait, tu peux raccourcir un petit peu la notation de ces solutions. En fait, si tu regardes bien, c’est pour ça que je les ai notées en mauve, pour te montrer un petit peu comment se comportent ces solutions. Donc tu vois déjà qu’il y en a une infinité puisque tu peux choisir le k comme étant n’importe quel nombre entier. Et en plus tu vois que c’est -4Pi, -2Pi, 0, 2Pi etc. Mais aussi tous les Pi entre : Pi, 3Pi, 5Pi, 7Pi, -3Pi etc.
Donc en fait, ça veut dire que ce sont tous les multiples de Pi qui sont solutions de cette équation. Le x il peut être égal à tous les multiples de Pi. Donc en gros les solutions elles se résument avec la notation suivante : ce sont les solutions du type kPi, avec k un nombre appartenant à Z. ça se note S= et tu mets ça entre accolades.
Donc là tu as toutes les solutions et tu vois que c’est quand même plus court de noter ça comme ça en rouge que comme ce que j’avais mis en bleu. Ça marche ?

Pour revenir un petit peu aussi sur comment on a choisi le a au début, on avait dit que, en effet en partant du 0 on a voulu le transformer en sinus de quelque chose. Mais 0 c’est aussi le sinus de Pi. Tu vois on avait choisi le sinus de 0. Mais Pi, je pense que tu seras d’accord avec moi, c’est cet angle que je peux faire apparaitre en rose. Et bien son sinus, quand tu reportes horizontalement à partir de ce point rose, tu retombes sur 0. Le sinus de Pi, c’est 0.
Donc ici, à la place de a=0, tu aurais pu mettre un Pi ici. Donc en remplaçant a par Pi ici tu aurais eu les solutions suivantes : Pi+2kPi (1ère ligne) et la deuxième ligne tu aurais eu Pi-Pi+2kPi. Donc en fait tu aurais trouvé exactement la même chose. Tu aurais trouvé 2kPi à la deuxième ligne. C’est ce qu’on trouvait ici. Et la première ligne t’aurait fourni Pi+2kPi. C’est ce qui est fourni là.
Donc tu vois qu’en choisissant le a comme étant égal à Pi, ça marche aussi puisque ton équation c’est aussi sin x = sin Pi, parce que je répète, sinus de Pi égal 0, et bien ça marche, ça te donne exactement les mêmes solutions.
C’est vraiment pour te dire que le choix du a au début n’est pas si important. Il faut juste que tu choisisses un a tel que sinus de a vaut cette partie droite ici. Donc pour nous c’était 0. Tu aurais pu choisir aussi sinus de 2Pi, de 3Pi ou ce que tu veux tel que le sinus vaut 0. Parce que sinus de 2Pi ça vaut 0, sinus de 3Pi aussi etc.
Bref mais ce qu’on choisit de façon plus simple c’est 0. Sinus de 0 vaut 0 et c’est quand même ce qu’il y a de plus simple ici.

Voilà donc j’espère que tu as bien compris comment on résout ce type d’équation. Graphiquement comment on voit les solutions ? Et bien c’est assez simple. Ça rejoint ce que je t’ai dit précédemment.
Regarde, sinus x égal 0 : tu cherches les x tels que le sinus de ces x vaut 0. Et bien déjà, comme on le disait, tu es d’accord tu as 0. Mais à 0 tu peux très bien lui rajouter 2Pi et tu retombes sur cette barre noire. Et donc le sinus de 2Pi, c’est 0 aussi. Donc 0, 2Pi, 4Pi, 6Pi etc. tout ça ce sont des solutions. On les trouve assez rapidement graphiquement. On les trouve graphiquement parce que notre équation est simple. Sinon, quand on veut résoudre par le calcul, on fait vraiment comme je t’ai montré précédemment.
Et aussi, revenons à la résolution graphique de notre équation. Si tu prends Pi, et bien le sinus vaut 0 comme je te l’ai montré. Et Pi, si tu lui rajoutes 2Pi, et bien ça fait 3Pi et tu retomberas sur ces pointillés roses en fait. Donc le sinus de 3Pi sera toujours égal à 0. Le sinus de 5Pi aussi. Ça veut donc dire que Pi, 3Pi, 5Pi etc. sont des solutions de ton équation. Et c’est ce qu’on a trouvé par le calcul.
Là c’était juste une petite explication graphique.

Voilà, j’espère que je ne t’ai pas trop embrouillé. Je sais qu’on peut s’embrouiller un petit peu dans les équations trigonométriques, dans la trigonométrie en général. Ce n’est pas forcément évident. C’est un chapitre assez technique des mathématiques.
Là, j’ai fait le rappel de cours en noir et c’est ce que nous avons utilisé pour résoudre notre équation.
Je tiens vraiment à dire aussi que quand tu utilises un résultat de cours, utilise-le le plus rigoureusement possible. Rigoureusement, ça veut dire quoi ? Ça veut dire exactement. Il faut que tu colles exactement à ton cours. Et ici, comment on a collé à notre cours ? Et bien en remplaçant le 0 ici par sinus de quelque chose pour vraiment coller à cette équation parce que sinon, au premier abord, sin x = 0, ce n’est pas tout à fait le même genre d’équation que ça parce qu’il n’y a pas de sinus à droite.
Voilà, je voulais juste te donner ce petit conseil. Je te dis à la prochaine dans une prochaine vidéo.