1ère S Résoudre une inéquation avec trinôme du second degré après transformation

Vidéo 2: 1ère S inéquation avec trinôme second degré après transformation

Dans cet exercice, nous devons résoudre l’inéquation:

<calcul mathématique> 5x – 3x > 1

Alors, comment peut-on faire lorsqu’on voit une telle inéquation? On a un ‘sur x’ ici, et ce n’est pas tellement évident de voir comment on peut procéder, la première fois. Ce que je vous recommande de faire, déjà, c’est de tout mettre sur le même côté pour avoir une inéquation par rapport à zéro. On obtient :

<calcul mathématique> 5x – 3x – 1 > 0

Ensuite, à gauche, on a encore un ‘sur x’ et ça, c’est un peu embêtant. Donc, on essaie de tout mettre en nombre dénominateur. Regardez ce que l’on obtient :

<calcul mathématique> 5x²-3-xx>0

Si l’on connaissait le signe du numérateur et le signe du dénominateur, on connaîtrait le signe de toute la fraction. On connait le signe du dénominateur, puisque c’est le signe de x. Entre moins l’infini et zéro, c’est moins, et de zéro à plus l’infini, c’est plus. Donc, il ne suffit que d’étudier le signe du numérateur.

Signe de :

<calcul mathématique> 5x² – x – 3

Pour obtenir le signe de ce trinôme, on va essayer de chercher ses racines. Pour cela, on va calculer le discriminant, delta.

<calcul mathématique> ∆ =(-1)2– 4 x 5 x (-3)

= 1 + 60 = 61 > 0

X₁ = 1-√6110

X₂ = 1+6110

Vous remarquez que déjà, X₁ est inférieur à zéro et X₂ bien sûr est positif. C’est important en fait, de dresser le tableau de signe. Le tableau de signe c’est :

X -∞ 1-√6110 0 1+6110 ∞

L’expression du numérateur c’est :

<calcul mathématique> 5x² -3 –x

Le dénominateur, c’est X. Et notre expression totale c’est :

<calcul mathématique> 5x²-3-xx

Donc maintenant nous devons tracer les lignes (du tableau de signe).

Donc nous savons que 1-√6110 et 1+6110 sont des racines de ce trinôme-là (5x² -3 –x), donc on mets des zéros. Et zéro, bien sûr, est une racine de x. C’est aussi une valeur interdite de cette expression-là (5x²-3-xx>0).

Donc, maintenant regardons le signe de ce trinôme. Vous savez qu’à l’extérieur de ces racines, le trinôme est du signe de a. Et a, c’est 5. Le signe de 5 c’est plus, alors à l’extérieur des racines, le signe est plus, et entre les racines on obtient notre trinôme négatif.

X est bien sûr, de moins l’infini à zéro, négatif, et de zéro à plus l’infini, x est positif.

Le signe de notre expression ici est donc moins, plus, moins, plus. Quand le numérateur vaut zéro, et bien notre expression vaut zéro.

Et nous ce que l’on cherchait c’était l’ensemble de x tel que :

<calcul mathématique> 5x²-3-xx>0

Et bien là, nous avons trouvé des solutions, que je vais noter en rouge; on obtient :

<calcul mathématique> s = 1-√6110, 0 U 1+6110, ∞

Voilà pour nos solutions!