1ère S Résoudre une équation avec une racine carrée

Comment résoudre une équation avec une racine carrée ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui, niveau plutôt 1ère S nous allons résoudre l’équation suivante : 3- racine carrée de (3x²+2x-3)=x+1.
Il va s’agir de résoudre cette équation dans l’ensemble des réels, c’est-à-dire en fait, qu’il va falloir trouver tous les nombres x réels qui satisfont cette équation, c’est-a-dire de telle façon à ce qu’on ait bien l’égalité entre les 2.
Alors comment on va faire pour résoudre une telle équation ? Tu te souviens, auparavant, peut-être plus en collège, seconde, tu voyais des équations qui étaient plutôt simple à résoudre, où il t’était facile en fait d’isoler le x soit à gauche, soit à droite de ton égal de telle façon a obtenir x égal quelque chose ou x égal quelque chose d’autre. Il pouvait y avoir peut-être 2 solutions.
Donc ici, c’est un petit peu plus délicat parce que tu vois bien qu’on a du x partout. On en a sous la racine mais on en a sous la racine mais on en a aussi à droite. Donc ça ne va peut-être pas être évident, au premier abord d’isoler x et d’obtenir x égal… parce que je te rappelle que c’est ce qu’on veut quand on résout une équation, on veut à la fin obtenir x égal quelque chose. Ce seront ça les solutions de notre équation.

Alors première chose à faire quand tu as une équation avec une fonction qui n’est pas définie sur R, en l’occurrence la fonction racine carrée, et bien c’est de te dire dans ta tête qu’il y aura des x qui seront exclus des solutions c’est-à-dire qui ne pourront jamais être solutions de cette équation tout simplement parce que pour certaines valeurs réelles que prend le nombre x, tu ne peux pas calculer la racine carrée.
Et quand est-ce que tu ne peux pas calculer la racine carrée d’un nombre ? ET bien quand le nombre est strictement négatif. On peut calculer la racine carrée de 0, c’est 0. On peut calculer la racine carrée de 1, c’est 1 etc. mais on ne peut pas calculer la racine carrée de -1. En tout cas, pas en première. En terminale, tu verras les nombres complexes mais c’est autre chose.
Donc là, déjà première chose dont il faut t’assurer, c’est qu’on veut que 3x²+2x-3 soit un nombre positif ou nul. Mais on ne veut pas que ce soit un nombre strictement négatif. Donc il faut qu’on ait 3x²+2x-3 quoi soit supérieur ou égal à 0.
Je sais que ça peut te paraitre un petit peu surprenant comme façon de faire ou comme procédure ou comme première chose à vérifier. Peut-être que tu te dirais : « j’ai cette équation, j’essaie tout de suite de la résoudre, d’essayer d’obtenir x= à la fin ». Mais il faut quand même s’assurer de certaines choses en mathématiques. Quand tu as par exemple un quotient, et bien tu ne peux pas diviser par 0 et quand tu as une racine carrée, c’est pareil, tu ne peux pas prendre la racine carrée d’un nombre strictement négatif.
Donc là, il faut vraiment t’assurer que ce qu’il y a sous la racine carrée est positif ou nul.

Donc là, pour vérifier que ce polynôme du second degré, qu’on appelle aussi trinôme, est positif ou nul, selon les valeurs de x, et bien il faut qu’on étudie un petit peu le signe de ce polynôme.
Et tu te souviens que pour étudier le signe d’un polynôme du second degré, et bien ce que tu peux faire, c’est calculer déjà delta pour savoir s’il a des racines ou non. On va calculer delta rapidement ensemble. Tu te souviens que pour calculer delta c’est b²-4ac. Ici le b c’est 2, le a c’est 3 et le c, c’est -3.
Donc b²-4ac ça va être 2²-4*3*(-3). Il faut mettre des parenthèses autour de -3. Je fais ce calcule très rapidement. On va obtenir 4-12*(-3)=4+36=40 Et tu vois bien que c’est un delta qui est strictement positif.
Donc ça signifie d’après ton cours sur les polynômes du second degré que ce polynôme a deux racines réelles. Et ces deux racines sont les suivantes : x égal -b plus ou moins racine carrée de delta, donc plus ou moins racine carrée de 40 et tout ceci sur 2a donc sur 6. C’est le plus ou moins qui va te donner les deux racines. Ici j’aurais du mettre -2 plutôt que b ici parce que -b, c’est -2. Donc tu obtiens ces deux racines.

Et donc maintenant que tu sais que ton polynôme du second degré possède deux racines, je te rappelle que deux racines, ce sont deux valeurs que peut prendre x et qui vont faire que ce polynôme s’annule, quand x prend cette valeur. Et comme tu sais que ce polynôme a deux racines, tu vas pouvoir tracer très rapidement, dans un repère orthonormé, la courbe correspondant à cette fonction : f(x)=3x²+2x-3. C’est-à-dire la courbe correspondant à ce polynôme du second degré.
On la trace très rapidement. On va tracer très rapidement deux axes, donc x et y. C’est juste pour obtenir son allure, je ne veux pas tracer sa courbe de façon exacte. C’est juste pour obtenir son allure de façon à pouvoir trouver son signe très rapidement puisqu’on veut que ce polynôme soit positif ou nul.
Tu sais bien que la courbe correspondant à un polynôme du second degré dans un repère orthonormé, c’est une parabole. Et tu te souviens qu’une parabole, c’est une sorte de cloche, c’est-à-dire quelque chose comme ça qui est peut-être tourné vers le haut, comme ceci, ou qui est peut-être tourné vers le bas.
Et pour savoir si cette parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, il faut que tu regardes le signe de a. le signe de a ici, c’est le signe de 3 puisque a vaut 3. Donc a est positif. Et quand a est positif, ça signifie que la parabole est tournée vers le haut.

Comme tu sais aussi que ton polynôme a ces deux racines là : -2-racine carrée de 40, le tout sur 6, ça c’est la première racine, et la deuxième c’est -2+racine carrée de 40, le tout sur 6.
On peut d’ailleurs les placer : -2 – racine carrée de 40, le tout sur 6, j’ai regardé, ça vaut à peu près -1,38 sur la calculatrice. Ça me permet de le placer. Ici on va noter l’origine, le croisement des deux axes. ET x2, -2 plus racine carrée de 40, le tout sur 6, c’est à peu près 0.7, donc c’est positif et c’est vers là.
Et donc ta parabole elle est tournée vers le haut et donc elle va donner ceci : hop ! Sachant que ces deux points-là, ce sont les deux points : le premier point de coordonnées (x1;0) puisque justement le f(x) qui correspond au y vaut 0 quand x vaut cette première racine. Et ce deuxième point a pour coordonnées (x2;0).
Et maintenant quand est-ce que notre polynôme du second degré ici présent est positif ? Et bien tout simplement quand le x se balade de -l’infini jusqu’à x1 et aussi quand le x se balade de x2 jusqu’à +l’infini. Là c’est un crochet.
Mais entre les 2, si je prends par exemple x=0, tu vas obtenir une valeur pour ceci qui n’est pas positive ou nulle. On n’a qu’à prendre l’exemple de x=0 très rapidement, c’est juste un exemple : 3*0²+2*2-3, ça fait -3 donc ce n’est pas positif. Et d’ailleurs, tu le vois bien sur la courbe, elle est en-dessous de l’axe des abscisses.

Donc là, on va obtenir quelque chose d’important, c’est que cette inéquation, est équivalente à ceci : x appartient à la réunion d’intervalles… Donc cette équation, ce polynôme du second degré est positif quand x appartient à ]-l’infini ; (-2-racine carrée de 40)/6)] U ](-2+racine carrée de 40)/6 ; +l’infini[. Tu peux inclure les racines puisque quand x prend cette valeur c’est égal à 0 donc c’est positif ou nul, ça marche.
Ceci, ce n’est absolument pas les solutions de notre équation, attention. On n’a pas encore commencé à résoudre notre équation. Là on est en train de poser juste la condition sur les solutions finales. En fait, les solutions finales doivent absolument appartenir à cette réunion d’intervalles parce que si ce n’est pas le cas, et bien tu ne peux tout simplement pas calculer la racine carrée.
Par exemple si je prends x=0. Si tu essaies de résoudre cette équation, et que tu tombes sur x=0, et bien ce n’est pas possible puisque 0 n’est pas dans cette réunion d’intervalles, et ça veut dire que pour x=0 tu ne peux pas calculer cette racine carrée. On avait fait le calcul tout à l’heure et tu te souviens, on trouve -3. Donc racine carrée de -3 tu ne peux pas le calculer.
Donc ici, ce qu’on vient de déterminer, c’est juste une première condition sur les solutions de ton équation. Il faut absolument qu’elles appartiennent à cette réunion d’intervalles. Si ce n’est pas le cas tu les rejettes. Donc ce que tu marquerais sur ta copie c’est la chose suivante. Il faut juste que tu dises que ce polynôme à l’intérieur, il faut qu’il soit positif ou nul et que c’est équivalent à : x appartient à cette réunion d’intervalles. Donc il faut bien calculer delta et calculer les racines de ce polynôme du second degré.
Voilà donc ça c’est véritablement la première condition et maintenant on va passer à la résolution de cette équation.

Résoudre une équation avec une racine carrée
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Comment faire disparaitre la racine carrée ?

Donc c’est parti, maintenant que tu as cette condition là, on va pouvoir commencer à résoudre notre équation. Donc comment on va faire ?
Ici on a une racine carrée et quand tu as quelque chose sous la racine carrée, c’est vraiment quelque chose que tu ne peux pas enlever de la racine carrée si tu ne fais rien, si tu n’enlèves pas la racine carrée.
Donc ce que je te propose de faire, c’est d’essayer de la faire disparaitre la racine carrée. Et comment on va faire ? Et bien tu sais que pour faire disparaitre une racine carrée, il faut mettre les choses au carré puisque racine carrée de quelque chose, le tout au carré, ça fait ce quelque chose. Enfin ça fait valeur absolue de ce quelque chose.
On va voir ça tout de suite, donc là ce qu’on va faire, c’est qu’on va passer le 3 de l’autre coté et le moins aussi. Donc on va obtenir la chose suivante : racine carrée de (3x²+2x-3) c’est égal à x+1-3 puisqu’on a passé le 3 de l’autre côté. +1-3 ça fait -2. Donc ça fait x-2. Mais comme on a passé le moins aussi, c’est-à-dire qu’on a multiplié notre équation à gauche et à droite par -1, ça nous fait -x+2. Parce que (x-2)*(-1) ça fait -x+2.

Maintenant, ce que je te propose de faire, c’est de tout mettre au carré. Donc on va mettre tout ceci au carré et tout ceci au carré. On a le droit de le faire puisque quand tu pars d’une égalité entre 2 nombres comme ici… Le premier nombre c’est celui-ci, le deuxième nombre c’est celui-là. Quand tu les mets tous les deux au carré et bien tu obtiens une égalité entre les deux nombres. Donc pas de problème, on peut tout à fait faire ça.
Donc ceci, ça implique que (3x²+2x-3), on va garder la racine et on va mettre tout ceci au carré, c’est égal à (-x+2)².
Juste un petit mot sur ce « implique » ici. En fait, on ne peut pas mettre un « équivalent » ici, c’est-à-dire une flèche dans les deux sens. Pourquoi ? Et bien parce que cette première équation ici, elle implique ça parce que si ça, c’est vrai, et bien en mettant au carré, ça c’est vrai, c’est-à-dire que l’égalité elle reste vraie si je mets les deux membres, à gauche et à droite au carré.
En revanche, je ne peux pas mettre la flèche dans l’autre sens, celle-ci, parce que quand on a deux carrés qui sont égaux, ça veut dire quoi sur ce qu’il y a en-dessous des carrés, ça veut dire que ici la racine carrée de tout ça serait égale à -x+2 ou, deuxième solution possible, cette racine carrée est égale à moins ça.

Je reviens très rapidement sur cette équivalence avec un exemple. Si tu as x=3, ça implique x²=9. J’ai le droit de mettre au carré les deux membres à gauche et à droite et on obtient bien toujours une égalité. En revanche, je ne peux pas dire ça : x²=9 implique x=3 tout seul. Je ne peux pas dire ça. Pourquoi je ne peux pas le dire ? Parce que x²=9 ça implique x=3 OU (ça c’est très important) x=-3. C’est la 2ème chose très importante à ne pas oublier. x²=9 impliquerait ça. Là, ça marcherait parce que j’ai mis cette deuxième chose.
Donc ici, j’espère que tu es d’accord avec cette équivalence. C’est très important comme point logique. En fait quand tu résous une équation, tu es d’accord que tu transformes petit à petit ton équation pour obtenir à la fin x= quelque chose ou x= quelque chose d’autre, pour obtenir tes solutions. Et bien, quand tu transformes ton équation petit à petit, il faut absolument qu’entre chaque équation transformée, il y ait le signe équivalent.
C’est très important parce qu’en fait, le signe équivalent t’assure que l’équation reste la même. Elle est juste transformée au niveau formulation, mais au niveau équation ça reste la même, c’est-à-dire qu’elle a la même solution ou les mêmes solutions.
Ici, qu’est-ce que ça veut dire quand je te dis ça ? Et bien ça veut tout simplement dire qu’on ne peut pas se satisfaire de « implique ». Il faut absolument qu’on ait l’équivalence c’st-à-dire ceci implique cela et aussi tout ceci implique cela dans l’autre sens. Et quand tu as les deux « implique », ça veut dire que tu peux mettre la flèche dans les deux sens.

Donc, il y a une autre équivalence qui existe et que je vais te rappeler en noir et qui est celle-ci : x=3 tu es d’accord que ça implique que x²=9. Maintenant comment obtenir le signe « équivalent », c’est-à-dire l’implication dans les deux sens ?
Et bien il faut que tu rajoutes ici quelque chose : et x supérieur ou égal à 0. Tu es d’accord que quand tu as ces deux conditions-là (ce n’est pas un « ou » qu’il y a, c’est un « et »), donc si x²=9 et x supérieur ou égal à 0, et bien ça veut dire que x=3. x ne peut pas être égal à -3 parce que tu as la condition x supérieur ou égal à 0.
Donc là, tu as bien une équivalence entre ces deux choses-là. Donc pour obtenir une équivalence plutôt qu’une implication il faut ajouter et soit ceci, soit ceci (c’est la même chose puisqu’il y a un égal) et bien par exemple -x+2 supérieur ou égal à 0. Ce point-là est vraiment très important, ce point-là est vraiment délicat, c’est un point logique mais qui est très important parce que sinon tu vas te tromper dans les solutions finales.
Donc j’ajoute tout simplement : et -X+2 supérieur ou égal à 0. Tu vois que ça te donne une autre condition qu’il est très important de respecter. J’espère que tu as compris ce passage un petit peu délicat. Il faut absolument que tu aies une équivalence tout le long de ton équation, le plus souvent possible. Une équivalence, c’est-à-dire que l’équation que tu as là maintenant, elle implique ce que tu as envie d’écrire maintenant, elle implique la transformation suivante. Et la transformation que tu as obtenue, elle implique à son tour l’équation précédente. C’est très important.

Donc ici, ce qu’on va pouvoir faire, regarde bien : une fois que tu as racine carrée de quelque chose au carré, qu’est-ce que ça vaut ? Ça vaut valeur absolue de ce quelque chose. Donc je note valeur absolue de 3x²+2x-3. Alors tu vas me dire : « on ajoute des valeurs absolues, ce n’est pas évident les valeurs absolues, comment on va pouvoir s’en débarrasser ? » Tu vas voir que c’est assez simple.
Ici, après, on développe le carré en utilisant l’identité remarquable. Donc (-x)²-4x+4. Ça nous donne x²-4x+4. Et n’oublions pas notre condition : et -x+2 supérieur ou égal à 0, ça fait aussi tout simplement x inférieur ou égal à 2 parce que si je passe le -x de l’autre côté, j’ajoute x des deux cotés de l’inéquation, ça ne change pas son sens et on obtient x inférieur ou égal à 2. Je l’ai noté dans l’autre sens.
ET donc on obtient ces deux choses-là. Il faut toujours garder l’accolade avec le « et » entre les 2. Qu’est-ce que ça veut dire le « et » ? Ça veut dire qu’il faut absolument garder cette condition : x inférieur ou égal à 2. Ça veut dire que tes solutions finalement seront dans l’intervalle ]-l’infini ; 2], en plus d’être dans cet intervalle-là.
Donc tu vois toutes les conditions petit à petit quand on résout l’équation.

Donc maintenant, pourquoi on va pouvoir se débarrasser de ses valeurs absolues ? Parce que 3x²+2x-3 en valeur absolue, c’est égal à 3x²+2x-3 sans valeur absolue quand x appartient à cette intervalle-là, c’est-à-dire -l’infini jusqu’à -2 moins racine carré de 40, le tout sur 6, union etc. Pourquoi ? Parce que quand x appartient à cette réunion d’intervalle, ça veut dire que x²+2x-3 est positif et donc que la valeur absolue de cette chose positive vaut la chose sans les barres.
Tu vois ? Petit rappel : quand on a valeur absolue de x, et que tu sais que x est positif ou nul, et bien tu peux dire que la valeur absolue de x c’est tout simplement x. Si on prend par exemple 4, valeur absolue de 4 ça vaut combien ? Et bien ça vaut 4 parce que 4 est positif donc sa valeur absolue c’est lui-même. Donc ça c’était un petit rappel de cours sur la valeur absolue.
Donc maintenant qu’est-ce qu’on va écrire ? On va s’en tirer, ne t’inquiète pas, c’est une équation pas évidente mais il faut progresser par étape. Donc on garde le signe « équivalent », je vais le noter ici. On va obtenir tout ceci 3x²+2x-3 (on peut enlever les barres parce qu’on sait que x à cette réunion d’intervalles. C’est très important, c’est pour ça que tu peux enlever les barres), c’est égal à x²-4x+4, sachant que ton x est inférieur ou égal à 2. Et aussi, c’est important, tu devrais le rappeler au début, pour x appartenant à cette réunion d’intervalles, tu aurais cette série d’équivalences.

Et maintenant, tu vois qu’il ne reste qu’une petite équation du second degré à résoudre. Donc en fait ce qu’on va faire, c’est passer tout ceci à gauche et simplifier donc ordonner ton polynôme du second degré et tu auras égal 0. Tu auras une équation du second degré.
On le fait tout de suite si tu veux. On va obtenir l’équation suivante : 3x²+2x-3-x²+4x-4=0 ça va faire 2x²+6x-7=0. Et tu as la condition x inférieur ou égal à 2 qu’il faut garder, qu’il faut trainer si tu veux.
Donc maintenant ce qu’on va faire, c’est s’attaquer à cette équation du second degré et on va obtenir à la fin les solutions. Tu vas voir comment.

Résoudre une équation avec une racine carrée
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Donc maintenant pour résoudre cette équation du second degré, ce qu’on va faire c’est calculer delta pour voir si ce polynôme du second degré a des racines, c’est-à-dire si cette équation du second degré a des solutions.
Donc on va calculer delta sachant que a c’est 2, b c’est 6 et c c’est -7. Donc b²-4ac c’est 36-4*2*(-7). Donc tu vas obtenir 36+56, donc ça fait 92. ET tu vois que delta est strictement positif donc ça te donne deux solutions.
Et les deux solutions réelles que cette équation du second degré te donne sont les suivantes :(-6 + ou – racine de 92), le tout sur 2a c’est à dire sur 4. Voilà donc les deux solutions réelles de cette équation du second degré.

Maintenant, pour savoir si elles sont ou non solutions de cette équation initiale, il faut vérifier deux choses. Il faut vérifier qu’elles sont inférieures ou égales à 2 et aussi qu’elles appartiennent à cet intervalle. C’est ce qu’on va faire tout de suite.
Donc j’ai calculé les deux racines. Donc si tu veux, x1 c’est quand il y a un moins. On prend toujours cette notation, x1 c’est la première racine, c’est la plus petite et c’est quand il y a un moins ici : -6-racine carrée de 92, le tout sur 4. Et j’ai trouvé à peu près -3,89. Et première chose que tu vois, et bien c’est que cette solution est inférieure ou égale à 2 donc ça respecte cette première condition.
Maintenant est-ce que c’est dans cette réunion d’intervalles ? Et bien il faut qu’on le vérifie ensemble mais il me semble de (-2 – racine carrée de 40)/6 c’est à peu près -1,3 ou quelque chose comme ça. Donc -3,89 c’est encore inférieur, donc c’est bien dans cet intervalle-là. Donc cette solution ci marche bien et c’est bien une première solution de cette équation initiale.
Maintenant voyons cette deuxième solution, x2, c’est quand il y a un plus ici : (-6+ racine de 92)/4. J’ai calculé ça et on trouve à peu près 0,89. Et la de la même façon, tu trouve que c’est inférieur ou égal à 2 donc ça vérifie bien cette première condition. Mais est-ce que ça vérifie celle-ci ? Et bien oui, cette solution vérifie bien cette condition parce que (-2+racine carrée de 40)/6 ça vaut à peu près 0,72. Donc tu vois bien que 0,89 c’est dans cet intervalle. Donc ça satisfait bien cette condition, c’est-à-dire que ça appartient bien à cet intervalle et c’est aussi, comme on venait de le dire, inférieur ou égal à 2.
Donc ces deux solutions sont bien solutions de ton équation initiale.

Voilà donc pour cet exercice. Donc je te rappelle la méthode. La méthode pour aborder une équation à l’intérieur, c’est : première chose : assurez que ce qu’il y a sous la racine carrée est positif ou nul. Donc ça te donne une condition en fait que doivent respecter les x solutions.
Et deuxième chose à faire, et bien tu essaies, comme d’habitude de transformer ton équation de façon a obtenir à la fin x égal quelque chose. Pour traiter une équation avec une racine carrée à l’intérieur, il faut que tu enlèves la racine carrée. Donc à un moment donné, il faut que tu passes au carré. Donc tu passes les choses qui ne sont pas sous la racine de l’autre côté, ici c’était le 3. Tu passes aussi le moins de l’autre côté, et tu passes tout au carré.
mais le fait de tout passer au carré, c’est un passage très délicat et c’est là qu’il faut faire très attention, le fait de tout passer au carré, ça te donne une équation qui est impliquée, ça te donne juste une flèche dans un sens. Et pour obtenir l’équivalence, une véritable équivalence, il faut que ce membre de droite que tu obtiens (en passant le 3 et le moins de l’autre côté), il faut que ce soit positif ou nul. Forcément puisque tu as une racine carrée de quelque chose qui est égal à un nombre. Ce nombre doit donc être positif ou nul parce qu’une racine carrée de quelque chose, c’est toujours positif ou nul. C
C’est pour ça que j’avais bien mis un « et » -x+2 supérieur ou égal à 0. Tu te souviens. Ce qui donne en fait x inférieur ou égal à 2. Donc il faut bien que tu ajoutes cette condition pour obtenir une véritable équivalence entre cette équation et ces deux choses-là. Cette première équation et cette deuxième condition, une inéquation.

À la fin, comme tu obtiens cette équation, et bien tu la résous et il faut absolument qu’elle respecte toutes les conditions. Donc cette condition-là et cette condition-là puisqu’il faut s’assurer aussi que le x solution appartienne bien à cette réunion d’intervalles.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris comment on résout une équation avec une racine carrée. Ce n’est pas évident, il y a un petit passage délicat, notamment pour garder les équivalences entre les différentes équations, les équations successivement transformées. Il faut faire très attention.
IL faut aussi s’assurer, première chose au tout début, il faut s’assurer que ce qu’il y a sous la racine carrée est positif ou nul, ce qui te donne cette condition en mauve ici