1ère S Résoudre une équation du 2nd degré simple grâce au calcul de Delta

Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors aujourd’hui la question est très simple. Il faut résoudre l’équation suivante : 4x au carré moins 7x plus 2 égal 0.
Alors ce genre d’équation ça s’appelle une équation du second degré, tout simplement parce qu’on a un carré ici, au niveau du x et on n’a pas vraiment d’autre opération particulière, comme une racine carrée, on n’a pas de quotient non plus, etc.
On a vraiment une équation du second degré, c’est-à-dire faisant intervenir un polynôme du second degré, ici à gauche. Un polynôme c’est quelque chose qui est constitué de nômes et le préfixe poly ça veut dire plusieurs.
Et les nômes ce sont ces termes-là : les termes de la forme : a fois x exposant n on va dire. Et 2 aussi ça en est un puisque x exposant 0 c’est 1. Donc 2 est égal à 2 fois x exposant 0 donc tu vois c’est un nôme c’est-à-dire de cette forme-là. Je vais mettre quand même que c’est un nôme.

Donc voilà pour la définition, pour les appellations et là nous allons résoudre cette équation avec le discriminant Delta.
Donc c’est un outil qu’on voit dès le début de la 1ère S en général. On peut en parler en seconde, mais en seconde on utilise plutôt une autre façon de faire qui est une façon de faire assez laborieuse à mettre en place, qui utilise la forme canonique.
Là ce n’est pas du tout ce que nous allons faire. Ça je te l’ai déjà montré dans d’autres vidéos. Là nous allons utiliser l’outil tout fait, tout propre, qui nous est donné, c’est Delta. C’est vraiment ce qu’on utilise par la suite pour résoudre ce type d’équation là, on ne fait plus qu’utiliser Delta, et on utilise très rarement après, la forme canonique.
Donc là, ce que nous allons faire c’est rappeler un petit peu le cours sur comment on résout des équations du second degré grâce à Delta.

Donc Delta, c’est tout simplement ce qu’on appelle le discriminant dans le chapitre sur les polynômes du second degré. Un polynôme du second degré au fait, ça a aussi un autre nom, ça s’appelle trinôme, parce que ça a trois nômes, et ça s’appelle aussi une fonction carrée, à ne pas confondre avec LA fonction carrée : « THE fonction carrée », c’est-à-dire la fonction qui à x associe x au carré.
Donc là, Delta, on se souvient de sa formule, c’est b carré moins 4ac. Un formule qui va, si tu es en début de première S, revenir très souvent, et je t’encourage vraiment à la connaitre. De toute façon, à mon avis elle va rentrer parce que tu vas vraiment l’utiliser très souvent.
Donc ça, c’est le cours sur Delta. Bon et bien maintenant, le Delta, une fois que tu l’as calculé, il y a 3 cas qui peuvent survenir : le premier cas c’est quand Delta est strictement positif, et là, il y aura deux solutions à ton équation du second degré, qui sont souvent notées x1 et x2. Je pense que tu les as notées comme ça dans ton cours, x1 et x2.
Deuxième cas : si Delta est égal à 0. Cas particulier un petit peu mais ça peut arriver. Là il y a une seule solution à ton équation du second degré. On va rappeler les formules juste après.
Et le troisième cas c’est quand Delta est strictement inférieur à 0 et là, il n’y a pas de solution, en tout cas quand tu es en première. Alors que quand tu es en terminale, il y a deux solutions qui sont des nombres complexes, c’est-à-dire des nombres avec des i. Si tu es en première, ça ne te dit rien et c’est normal, ça viendra après. Et si tu es en première, il n’y a pas de solution réelle pour ce type d’équation.

Voilà alors on va rappeler les formules pour x1 et x2 qui sont des formules un peu pénible à retenir au début, je sais bien, mais il faut vraiment les retenir parce que tu vas devoir les utiliser très souvent et ça simplifie vraiment la vie de les connaitre.
Donc là, x1 et x2, s’il y deux solutions, les formules c’est tout simplement, on va mettre ça comme ça : -b, plus ou moins, racine de Delta sur 2a. On va dire que le – c’est pour x1 et le + pour x2. Racine de Delta ça a un sens de le prendre puisque ça veut dire que delta dans ce cas là est positif, donc racine d’un nombre positif, ça existe bien. Donc ça te donne bien deux solution ici, avec le plus ou le moins.
Et la solution quand Delta égal 0, et bien tu peux reprendre cette formule-ci et mettre Delta égal 0 là, et tu obtiendras une seule solution qui est -b sur 2a.
Donc c’est exactement ce point du cours que nous allons utiliser.
Tu vois, tout ça, moi je le considère comme un outil. C’est un outil. On ne réinvente pas le roue à chaque fois qu’on veut résoudre une équation du second degré, c’est-à- dire qu’on ne va plus utiliser les anciennes techniques que j’ai déjà montrées dans d’autres vidéos et que tu as pu utiliser en seconde pour résoudre une équation du 2nd degré c’est-à-dire en utilisant la forme canonique puis en essayant de factoriser etc.
Ce n’est plus ce qu’on va utiliser. Ici on utilise cet outil tout fait. Je n’explique pas dans cette vidéo d’où vient cet outil. Je l’ai expliqué dans d’autres vidéos : d’où vient Delta, pourquoi ça existe, et en particulier d’où vient cette formule. Mais là, dans cet exercice, on ne fait qu’utiliser l’outil, on n’explique pas d’où il vient.

Donc, c’est parti, on va résoudre notre équation, ça y est. Donc en fait on va appliquer cette formule tranquillement, posément. Donc là, tu calcules Delta.
Là je t’encourage toujours à remettre la formule en général c’est-à-dire b carré moins 4ac. Comme ça, tu l’as bien sous les yeux la formule et tu peux visualiser, reconnaitre dans ton équation du second degré quel est le a, le b et le c. C’est très important ça, il faut bien que tu colles au cours en remettant la formule. Et lorsque tu regardes ton exercice, ici c’est notre équation bleue claire, il faut que tu arrives à bien reconnaitre les choses.
Donc là, le petit a, souviens-toi, c’est le coefficient qui est devant le x carré, donc on va le mettre, c’est le a ici, c’est 4. Le b, c’est le coefficient devant le x. Attention, ce n’est pas seulement 7, c’est -7. Et le c c’est la constante qui reste. Donc ça ce sera le c. Donc c’est parti on remplace posément les choses, on ne va pas trop vite pour faire le calcul parce qu’il y a moyen de se tromper, c’est un endroit qui est sensible donc on y va posément :
« Calcul mathématique »
Donc ça fait 17.

On vient de calculer notre Delta, on est ici dans l’utilisation de l’outil, on continue à l’utiliser : dans quel cas on se situe ? Et bien dans le premier cas, tout là-haut, ça veut dire Delta strictement supérieur à 0.
Donc tu peux l’indiquer dans ton exercice, quand tu résous ce type d’équation. Et donc là, tu peux dire : il y a deux solutions réelles à notre équation du second degré. Je t’encourage à mettre ce genre de petites phrases en français dans les exercices quand tu les résous. Ça te permet de bien clarifier les choses et ça permet au prof de bien comprendre ce que tu as voulu faire. Ça lui simplifie aussi la vie.
Donc là, x1 et x2 : x1 : on va utiliser la formule que j’ai mise en noir ici, en indiquant le moins au milieu donc pareil tu pourrais répéter la formule mais là, on l’a sous les yeux :
« Calcul mathématique »
Racine de 17 ça ne se simplifie pas du tout. 17 est un nombre premier, il est divisible par rien du tout sauf par 1 et par 17 donc on ne peut pas simplifier racine de 17, on ne peut pas faire apparaitre de carré parfait.
Donc voilà notre première solution qui n’est pas simplifiable. Dès que c’est simplifiable, dans un autre exercice, il ne faut pas hésiter, il faut même le faire, il faut simplifier ta solution.

Et la deuxième, ça va donner :
« Calcul mathématique »

Voilà donc pour nos deux solutions que tu peux indiquer : S= Et tu mets des accolades et non pas des crochets puisque les crochets ça donne un intervalle. Là tu n’as pas une infinité de solutions. Tu n’as que 2 solutions. Donc quand tu as un nombre fini de solutions, tu les mets entre accolades.
Là ce n’est pas un intervalle. Les intervalles ça intervient plutôt dans les inéquations ou ce genre de choses-là.
On essaie de ranger les solutions dans l’ordre croissant. En fait, celle-ci va être plus petite que celle-ci parce que tu as 7 moins racine de 17 en haut, ça va donner un nombre tout simplement plus petit que 7 au numérateur. Alors que là tu auras un nombre plus grand que 7 puisque tu ajoutes racine de 17 à 7. Même sans savoir combien ça vaut exactement.
Donc forcément le nombre x2 sera plus grand que le nombre x1. C’est juste un petit détail pour mettre d’abord x1, donc 7 moins racine de 17 sur 8. Il faut ranger tes nombres dans l’ordre croissant dans les solutions que tu écris à la fin. Et donc 7 plus racine de 17 sur 8.

Donc voilà comment on a résolu notre équation du second degré.
Un petit conseil tant qu’on y est. Dans un exercice quand tu remarques que tout ceci, ce n’est pas ordonné, et que tu n’as pas un 0 ici à droite, et bien tu essaies de tout passer d’un côté, comme ici à gauche, et tu ordonnes bien les termes. D’abord le x au carré, ensuite le x et à la fin la constante.
Comme ça, tu repères bien ton a, ton b et ton c. Très important tu vois, ça permet de coller au cours, de coller à une équation du second degré qui est généralement de la forme a fois x au carré plus bx plus c égal 0. Ça tu sais résoudre. Donc si ce n’est pas sous cette forme-là, et bien tu la mets sous cette forme-là.

Autre astuce, que je voulais te donner et qu’on a appliquée ici, c’est que dès que tu calcules Delta, c’est un moment très important parce que c’est ça qui va te dire à la fin s’il y a des solutions ou pas.
Donc le Delta est très important, il ne faut pas se tromper, c’est du calcul, on applique bien la formule b carré moins 4ac. Je t’invite vraiment à la renoter et en ayant mis par exemple dans ton exercice, juste en dessous de ton équation, comme on a fait, ce qu’est ton a, ce qu’est ton b, ce qu’est ton c. Tu peux même le renoter à coté, par exemple a=4, b=-7, c=2.
Et puis tu remplaces posément le a, le b et le c. C’est ce qu’on a fait à cette étape-là tu vois. Et à la fin, tu fais ton calcul tranquillement, tu regardes ce que ça donne.
Il ne faut pas aller trop vite ici parce qu’il y a matière à se tromper.
Et évidemment, dans l’écriture des solutions aussi à la fin, tu ne te trompes pas, tu remplaces bien le b, le Delta et le a par ce qu’ils valent.

Donc voilà, ça c’est un des premiers exercices classiques qu’on fait quand on voit le chapitre sur les polynômes du second degré. C’est résoudre une équation du second degré.
Les équations du second degré et même les polynômes du second degré généralement, c’est quelque chose d’assez rigolo parce que graphiquement, ça te donne des paraboles tu sais, qui sont plus ou moins larges, qui sont tournées vers le haut ou vers le bas.
Donc si tu sais manipuler un petit peu ta calculatrice, tu peux faire des jeux assez rigolos. Je me souviens que quand j’avais vu ce chapitre, à l’époque, j’avais fait un petit jeu de basket qui consistait à faire un lancé de la balle. Et tu sais que la balle ça a une trajectoire qui a un petit peu une forme de parabole.
Donc tu peux programmer un jeu très facilement, même qui se joue à deux.

Par exemple, je l’invente comme ça, à la volée, tu pourrais très bien placer deux joueurs sur un axe. Au début les joueurs sont là et là, tu as joueur 1 et joueur 2, et tout simplement, c’est chacun son tour, le joueur 1 pourrait lancer un boulet de canon sur le joueur 2.
Donc par exemple, tu fais partir un polynôme. Donc le joueur 1, comment il fait partir un boulet de canon ? Et bien il choisirait 2 coefficients. Sa parabole elle doit forcément partir de J1, ce serait l’axe des abscisses, tu pourrais imaginer ça comme ça.
Là, l’axe des abscisses. Là un polynôme, tu pourrais le faire partir par dessus ou par dessous, peu importe.
Et lui ce qu’il doit choisir comme coefficient, vu que là, ça doit forcément passer par ce nombre-là, on pourrait imaginer que c’est 0 ici et que c’est 1 là.
Et comme 0 c’est une racine on appelle ça, une solution en fait du polynôme de la trajectoire pour J1, tu aurais tout simplement :
« Formule mathématique »

Donc les deux paramètres qu’il aurait à choisir ce joueur 1 ce serait le a et le x2 sans savoir exactement à quoi ils correspondent. Donc lui tu lui fais entrer deux nombres, à J1 et après tu traces tout simplement ce polynôme.
Par exemple si le joueur 1 il choisit 2 et pour x2 il choisit, je ne sais pas, 3, tu traces ton polynôme 2x(x-3). Et ça donnerait, je ne sais pas, quelque chose comme ça et peut-être qu’il n’atteint pas le joueur 2 ici.
Après c’est au joueur 2 de jouer. Et lui tu lui fais dessiner le polynôme suivant : ce serait tout simplement :
« Formule mathématique »
Forcément il faudrait x-1 dans le polynôme de J2 pour que le polynôme passe par ce point-là.
Et de la même façon que le joueur 1, le joueur 2 il a deux coefficients à choisir : a et x2.
Et le polynôme de J2, ce dont on est sûr c’est qu’il va passer par J2 puisque c’est J2 qui lance le boulet de canon, et il faut qu’il atteigne J1.

Voilà, donc ça, c’est une idée de jeu que tu pourrais programmer assez facilement à mon avis.
Et à chaque tour, je répète bien, le joueur doit choisir deux paramètres, le a et le x2. Il ne sait pas forcément à quoi ça correspond.
Évidemment si tu es bon en maths tu peux gagner facilement puisque le x2 en fait, c’est la deuxième racine tout simplement. Donc là, c’est la forme factorisée d’un polynôme, tout simplement.
Bon je ne rentre pas trop dans les détails mais, quand tu maitrises ce chapitre des polynômes du second degré, tu peux réaliser des jeux rigolos sur ta calculatrice.

Voilà donc comment on résout une équation du second degré, ce qu’on fait généralement assez souvent en début de 1ère S.