1ère S Résoudre une équation trigonométrique avec une formule

par Romain
dans 1ère S, Angles
sur 22 mars 2011

↓ Ici la SUITE de la vidéo ↓

Dans cette vidéo de Maths, je te montre comment simplifier une équation pour appliquer une formule trigonométrique de ton cours, et enfin la résoudre facilement.

Avant toute chose, dans ce chapitre sur les angles et la trigonométrie, je tiens à te rappeler que ça vaut VRAIMENT le coup de connaître tes formules de trigo sur bout des doigts, ainsi que les valeurs des cosinus et des sinus des angles classiques 😉 !

Comme sinus de PI sur 3 par exemple, qui vaut racine carrée de 3 sur 2…

Apprendre le cours

Pourquoi devoir apprendre ces formules et ces valeurs ? Car, une fois apprises, tu as résolu sans le savoir la moitié de tous les exercices de ce chapitre. En effet, plus tu seras à même de reconnaître une de ces formules ou valeurs dans un exercice, plus vite tu pourras résoudre l’équation ou l’inéquation en jeu, et passer à un autre exercice, gagner ses points et augmenter ta note de devoir surveillé. C’est aussi simple que cela.

Retiens-bien que ton temps est précieux. En connaissant les formules-clés, tu gagneras un temps fou, donc tu pourras obtenir le maximum de points en devoir ou examen, tu auras la note maximale, une bonne moyenne, un bon dossier, et tu pourras décrocher le job de tes rêves, voire beaucoup mieux encore 😉 . Dingue, non ? Pourtant ça marche comme ça.

Donc passer une demi-heure de plus sur tes formules de trigo pour les apprendre, les retourner dans tous les sens, les expérimenter, cela vaut tout l’or du monde. Il y a là une sacrée valeur que tu ne soupçonnes pas toujours.

Formule trigonométrique

Revenons à nos moutons ! Une fois que tu as transformé un peu ton équation, tu vas reconnaître la formule du sinus d’une différence. En l’appliquant, tu vas faire un pas de géant vers la résolution finale ! Tu te ramènes en fait à une équation trigonométrique DE BASE, et surtout que tu sais résoudre.

En effet, résoudre une équation du type cos(2x) = cos(PI/4) est très facile, encore faut-il un peu de rigueur, sinon tu vas te tromper en oubliant l’une des solutions. C’est fréquent ici. Donc, aide-toi d’un cercle trigonométrique pour bien te rendre compte que, pour un angle donné, le sinus de cet angle est égal au sinus de PI moins cet angle.

Solutions de l’équation

Tu vas obtenir une infinité de solutions modulo 2 pi.
Puisque nous cherchions des solutions entre 0 et 2 PI seulement, alors nous devons énumérer les solutions de 0 à 2 pi, en les classant dans un ordre croissant si possible. Cela aide le professeur à corriger ta copie, et cela t’aide à ne pas oublier de solutions. C’est gagnant gagnat lol 😉

Les équations trigonométriques peuvent se présenter sous beaucoup de formes, pas de panique ! Si un changement de variable n’est pas nécessaire, comme c’est le cas pour une équation trigonométrique du second degré (ou même du troisième degré ou plus), alors « colle » ton équation à l’une des formules de trigo que tu connais.

Romain

Transcription texte de la vidéo	Select Montrer
Comment résoudre une équation trigonométrique en utilisant justement une formule trigonométrique ? Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui, dans l’exercice, nous devons résoudre l’équation suivante : <calcul mathématique> sur l’intervalle 0 et 2pi. Alors, qu’est-ce que nous devons faire ? Nous devons chercher les X qui sont solution de cette équation mais les X qui sont seulement sur l’intervalle 0 et 2pi. Alors déjà, la première chose que l’on peut constater, c’est qu’on a un 2 ici, un 2 là – donc on pourrait factoriser par deux et passer le 2 de l’autre côté. Et peut-être que tu reconnais quelque chose, c’est que nous allons obtenir la valeur racine carrée de 3 sur 2, qui est une valeur classique dans le tableau des sinus et des cosinus des angles classiques. Alors j’espère vraiment que tu reconnais que nous allons obtenir racine carrée de 3 sur 2 qui est une valeur connue d’un sinus de pi sur 3, car sinon il se pourrait que tu essaies de mettre en facteur 2 –ça va quand même pouvoir te permettre d’avancer dans la résolution de cette équation, mais si tu ne penses pas à mettre le 2 en facteur et à le passer de l’autre côté, et bien ce ne sera pas évident puisque tu vas considérer le sinus 4x tout seul et tu ne vas pas savoir vraiment quoi faire. Regarde : <calcul mathématique> Alors peut-être qu’ici tu vois une formule que tu connais déjà. Mais pour le moment nous allons simplement passer le 2 de l’autre côté, ou autrement dit diviser à gauche et à droite par 2. <calcul mathématique> Alors racine carrée de 3 sur 2 c’est une valeur que tu as déjà vu, comme je te l’ai dit au début. Et ici à gauche, tu reconnais sûrement une formule trigonométrique qui est du type : <calcul mathématique> Et on va bien identifier ce qu’est le A et le B avec A=4x et B=x, tout simplement. Et qu’est-ce que cela vaut ? Alors là il s’agit justement de connaître une formule trigonométrique qui est très très importante, <calcul mathématique> En fait le sinus, ici, il aime les autre, et il n’est pas menteur – il est honnête. Alors que le cosinus, lui, est raciste et menteur. Pourquoi est-ce que je dis cela ? Et bien vu que le sinus aime les autres, il se met avec le cosinus ici et comme il est honnête, son moins, il le garde. Alors que le cosinus – je fait un petit rappel ici à gauche – <calcul mathématique> C’est une façon de reconnaître les formules trigonométriques de base – c’est un moyen mnémotechnique. De la même façon : <calcul mathématique> Et j’en rappelle encore une : <calcul mathématique> Donc ça, c’est tes formules de cours qui sont vraiment à connaître – notamment celle-ci et celle-ci qui te permettent d’en trouver deux autres, quand tu fais a=b et bien tu obtiens cosinus2a. <calcul mathématique> Voilà, donc ça c’était un petit rappel de cours. Revenons à nos moutons : une fois qu’on a trouvé que ceci pouvait s’écrire de cette manière, notre équation devient : <calcul mathématique> Et qu’est-ce que c’est que racine carrée de 3 sur 2 ? Et bien ça peut aussi s’écrire sinus de pi sur 3. Et oui, puisque pi sur 3 est un angle classique et que son sinus vaut racine carrée de 3 sur 2, qui en fait une valeur assez proche de 1. On peut voir cela si je traces un cercle trigonométrique très rapidement : <cercle trigonométrique> Résoudre une équation trigonométrique avec une formule 2/2 Alors, bon. Maintenant, pour aller plus loin dans la résolution de notre exercice, une fois que tu as ça et bien tu sais résoudre normalement – puisque tu peux dire de façon équivalente <calcul mathématique> Mais il y a une autre solution qui ne faut jamais oublier, c’est qu’on peut avoir <calcul mathématique> En effet puisque, si je prends n’importe quel angle, le sinus de cet X est ici, tu es d’accord ? C’est cette longueur-là. Et le sinus de pi-x est égal au sinus de x – c’est de là que ça vient. Donc ici, nous avons presque nos solutions, puisque nous avons 3x et que nous aimerions avoir x=. Donc ici tu peux mettre une équivalence : <calcul mathématique> Donc voilà toutes les solutions possibles, et nous – rappelles-toi – on cherche les solutions de notre équation comprises entre 0 et 2pi. Donc ici on les aurait sur R, pour K un entier relatif, mais nous les cherchons sur 0 et 2pi. Donc ce qu’il faut faire c’est d’essayer de remplacer K par des plus petites valeurs positives ou négatives et de voir ce que l’on obtient comme X et nous, sachant que l’on cherche tous les X qui sont solutions entre 0 et 2pi. Donc déjà, premièrement, si tu prends K négatif – vu que 2pi sur 3 est supérieur à pi sur 9 on va obtenir un X qui est négatif dans les deux cas. Et donc si on obtient x négatif et bien ce n’est pas compris entre 0 et 2pi, donc on écarte les K qui sont des entiers négatifs. Pour K=0 cette fois-ci, on va obtenir <calcul mathématique> Et pi sur 9 est bien compris entre 0 et 2pi donc pi sur 9 est bien une solution de notre équation. Ensuite, <calcul mathématique> Donc ça marche. Alors qu’est-ce qu’on va obtenir d’autre ? Si tu prends <calcul mathématique> Donc tu vois que j’énumère, petit à petit, les solutions comprises entre 0 et 2pi. Il ne faut pas en oublier ! <calcul mathématique> Voilà donc on a presque fini ! <calcul mathématique> Voilà, donc si tu as bien remarqué, on augmentait K progressivement. Alors maintenant <calcul mathématique> Et on obtient 18pi sur 9. Or, ceci est égal ou supérieur à deux, donc ce n’est plus dans l’intervalle souhaité. Donc maintenant si on replace K par 3 dans la deuxième équation on va toujours obtenir un nombre qui n’est pas compris dans l’intervalle. Donc là on a toutes nos solutions. Sur ta copie tu noterais : <calcul mathématique> Donc voilà. La méthode pour résoudre cet exercice était de bien voir qu’en fait, derrière notre équation il y avait une formule trigonométrique à appliquer et qui la simplifiait considérablement, puisque si tu regardes bien, on a remplacé tout ça par un simple sinus a-b. Donc, voilà l’intérêt de connaître tes formules trigonométriques ! En gros, les principales sont là – il y en a quelques-unes à connaître mais celles-ci sont vraiment très importantes.

Transcription texte de la vidéo

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Comment résoudre une équation trigonométrique en utilisant justement une formule trigonométrique ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV.
Aujourd’hui, dans l’exercice, nous devons résoudre l’équation suivante :
<calcul mathématique>
sur l’intervalle 0 et 2pi.
Alors, qu’est-ce que nous devons faire ? Nous devons chercher les X qui sont solution de cette équation mais les X qui sont seulement sur l’intervalle 0 et 2pi.
Alors déjà, la première chose que l’on peut constater, c’est qu’on a un 2 ici, un 2 là – donc on pourrait factoriser par deux et passer le 2 de l’autre côté. Et peut-être que tu reconnais quelque chose, c’est que nous allons obtenir la valeur racine carrée de 3 sur 2, qui est une valeur classique dans le tableau des sinus et des cosinus des angles classiques.
Alors j’espère vraiment que tu reconnais que nous allons obtenir racine carrée de 3 sur 2 qui est une valeur connue d’un sinus de pi sur 3, car sinon il se pourrait que tu essaies de mettre en facteur 2 –ça va quand même pouvoir te permettre d’avancer dans la résolution de cette équation, mais si tu ne penses pas à mettre le 2 en facteur et à le passer de l’autre côté, et bien ce ne sera pas évident puisque tu vas considérer le sinus 4x tout seul et tu ne vas pas savoir vraiment quoi faire.
Regarde :
<calcul mathématique>
Alors peut-être qu’ici tu vois une formule que tu connais déjà. Mais pour le moment nous allons simplement passer le 2 de l’autre côté, ou autrement dit diviser à gauche et à droite par 2.
<calcul mathématique>
Alors racine carrée de 3 sur 2 c’est une valeur que tu as déjà vu, comme je te l’ai dit au début. Et ici à gauche, tu reconnais sûrement une formule trigonométrique qui est du type :
<calcul mathématique>
Et on va bien identifier ce qu’est le A et le B avec A=4x et B=x, tout simplement. Et qu’est-ce que cela vaut ? Alors là il s’agit justement de connaître une formule trigonométrique qui est très très importante,
<calcul mathématique>
En fait le sinus, ici, il aime les autre, et il n’est pas menteur – il est honnête. Alors que le cosinus, lui, est raciste et menteur. Pourquoi est-ce que je dis cela ? Et bien vu que le sinus aime les autres, il se met avec le cosinus ici et comme il est honnête, son moins, il le garde.
Alors que le cosinus – je fait un petit rappel ici à gauche –
<calcul mathématique>
C’est une façon de reconnaître les formules trigonométriques de base – c’est un moyen mnémotechnique. De la même façon :
<calcul mathématique>
Et j’en rappelle encore une :
<calcul mathématique>
Donc ça, c’est tes formules de cours qui sont vraiment à connaître – notamment celle-ci et celle-ci qui te permettent d’en trouver deux autres, quand tu fais a=b et bien tu obtiens cosinus2a.
<calcul mathématique>
Voilà, donc ça c’était un petit rappel de cours. Revenons à nos moutons : une fois qu’on a trouvé que ceci pouvait s’écrire de cette manière, notre équation devient :
<calcul mathématique>
Et qu’est-ce que c’est que racine carrée de 3 sur 2 ? Et bien ça peut aussi s’écrire sinus de pi sur 3. Et oui, puisque pi sur 3 est un angle classique et que son sinus vaut racine carrée de 3 sur 2, qui en fait une valeur assez proche de 1. On peut voir cela si je traces un cercle trigonométrique très rapidement :
<cercle trigonométrique>

Résoudre une équation trigonométrique avec une formule 2/2

Alors, bon. Maintenant, pour aller plus loin dans la résolution de notre exercice, une fois que tu as ça et bien tu sais résoudre normalement – puisque tu peux dire de façon équivalente

Mais il y a une autre solution qui ne faut jamais oublier, c’est qu’on peut avoir

En effet puisque, si je prends n’importe quel angle, le sinus de cet X est ici, tu es d’accord ? C’est cette longueur-là. Et le sinus de pi-x est égal au sinus de x – c’est de là que ça vient.

Donc ici, nous avons presque nos solutions, puisque nous avons 3x et que nous aimerions avoir x=. Donc ici tu peux mettre une équivalence :

Donc voilà toutes les solutions possibles, et nous – rappelles-toi – on cherche les solutions de notre équation comprises entre 0 et 2pi. Donc ici on les aurait sur R, pour K un entier relatif, mais nous les cherchons sur 0 et 2pi. Donc ce qu’il faut faire c’est d’essayer de remplacer K par des plus petites valeurs positives ou négatives et de voir ce que l’on obtient comme X et nous, sachant que l’on cherche tous les X qui sont solutions entre 0 et 2pi.

Donc déjà, premièrement, si tu prends K négatif – vu que 2pi sur 3 est supérieur à pi sur 9 on va obtenir un X qui est négatif dans les deux cas. Et donc si on obtient x négatif et bien ce n’est pas compris entre 0 et 2pi, donc on écarte les K qui sont des entiers négatifs.

Pour K=0 cette fois-ci, on va obtenir

Et pi sur 9 est bien compris entre 0 et 2pi donc pi sur 9 est bien une solution de notre équation. Ensuite,

Donc ça marche. Alors qu’est-ce qu’on va obtenir d’autre ? Si tu prends

Donc tu vois que j’énumère, petit à petit, les solutions comprises entre 0 et 2pi. Il ne faut pas en oublier !

Voilà donc on a presque fini !

Voilà, donc si tu as bien remarqué, on augmentait K progressivement. Alors maintenant

Et on obtient 18pi sur 9. Or, ceci est égal ou supérieur à deux, donc ce n’est plus dans l’intervalle souhaité. Donc maintenant si on replace K par 3 dans la deuxième équation on va toujours obtenir un nombre qui n’est pas compris dans l’intervalle.

Donc là on a toutes nos solutions. Sur ta copie tu noterais :

Donc voilà. La méthode pour résoudre cet exercice était de bien voir qu’en fait, derrière notre équation il y avait une formule trigonométrique à appliquer et qui la simplifiait considérablement, puisque si tu regardes bien, on a remplacé tout ça par un simple sinus a-b. Donc, voilà l’intérêt de connaître tes formules trigonométriques !

En gros, les principales sont là – il y en a quelques-unes à connaître mais celles-ci sont vraiment très importantes.

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17 réponses

Donner dit :
25 octobre 2011 à 22 h 38 min
Je vous remercie pour tout, ça m’est très utile !!! 🙂
Répondre
margot dit :
4 février 2012 à 16 h 06 min
Bonjour, je dois dois résoudre l’équation cosx – √3 sinx = 2 sur R
J’ai regardé la vidéo associée à cette notion mais je ne vois toujours pas comment faire pour mon équation .
Est ce que quelqu’un pourrait m’aider ? merci
Répondre
- Romain dit :
  4 février 2012 à 19 h 27 min
  Bonjour Margot, merci pour ta question,
  Divise tout par 2, puis remarque que √3 / 2 , c’est sinus de PI/3 et le 1/2 qui va apparaître devant le cosx est le cosinus de PI/3 …
  Je te laisse poursuivre 😉
  Bonne chance
  Romain
  Répondre
samy dit :
19 février 2012 à 11 h 45 min
bonjour Romain,
je dois résoudre l’équation cos2x=cos(x+pi/4) et comme Margot je n’arrive toujours pas à résoudre l’équation après avoir vue ta vidéo !
aidez moi svp car je coule !! grand merci d’avance.
Répondre
- Romain dit :
  20 février 2012 à 17 h 55 min
  Merci de ton message Samy,
  C’est pourtant exactement la même méthode que dans la vidéo ! Ton équation revient à :
  2x = x+pi/4 (2PI)
  ou
  2x = MOINS (x+pi/4) (2PI)
  tu saisis ?
  Romain
  Répondre
Pochat-Cottilloux Gilles dit :
30 décembre 2012 à 18 h 13 min
Comment démontré la formule suivante:
cos(x) + cos(x + 2pi/3) + cos(x + 4pi/3) = 0
Répondre
behlouli dit :
7 mars 2013 à 17 h 29 min
bonjour j’ai vu vos video , votre maniere d’explication est vraiment tres explicite moi j’ai un petit probleme avec les equations trigo : resoudre dans R : sin2x= racine de 2 /2 et les solutions de l’equation pi/8 + kpi
3pi/8+kpi
mais on fait il y a encore 2 autres solutions selon le prof
pi/8+2kpi
pi/8+pi+2kpi
3pi+2kpi
3pi/8+pi+2kpi
et sa moi je compred pas d’ou ils les sort ???????????? Pouvez vous m’aide svp j’atted votre reponse avec impatience et merci pr tt
Répondre
Anthony dit :
9 mars 2013 à 20 h 04 min
Merci Romain
Répondre
- Romain dit :
  9 mars 2013 à 20 h 05 min
  Merci à toi ^^ !
  Répondre
mimicaroline dit :
25 mars 2013 à 11 h 01 min
Encore une fois ,je vous bien remercie Romain!
mais est ce que vous pouvez m’aider à résoudre cette équation: ?
cosx + sinx = 1/2
Merci d’avance
Répondre
- Romain dit :
  1 avril 2013 à 16 h 48 min
  Pas forcément facile cette équation !
  Tu peux la mettre au carré, puis développer à gauche … N’oublie pas que cos²(x)+sin²(x) = 1 …
  Romain
  Répondre
Marie dit :
21 avril 2013 à 18 h 48 min
Bonjour, la video est tres bien j’ai compris la methode mais j’ai juste une petite question:
L’equation c’est cos2x=cos(x+pi/4)
Les solutions sont : x=pi/4+2kpi et x=-pi/12+2kpi enfin, c’est ce que j’ai trouvé en calculant 2x=(x+pi/4) et 2x=-(x+pi/4)
Et je me demande si -pi/4+2kpi et pi/12+2kpi peuvent etre des solutions aussi, puisque les nombres opposés ont le meme cosinus..
Merci de m’eclairer sur ce point.
Répondre
Marie dit :
21 avril 2013 à 19 h 43 min
Excusez moi mais j’ai une autre question, c’est sur le même exercice avec la meme équation publiée sur le commentaire précédent. On me demande de placer les points images des solutions obtenues, je dois chercher plusieurs valeurs de k qui conviendraient, mais sachant qu’il y a 2 solutions ( j’ai trouvé pi/4 +2kpi et -pi/12+2kpi)cela veut dire que si je prend k=0, li faut que cos2*(pi/4)=cos(pi/4+pi/4) ET que cos2*(-pi/12)=cos(-pi/12+pi/4) ? J’ai effectué ce calcul et je trouve que pour le premier c’est tout les deux égal a 0, et que pour le deuxième les deux cosinus sont opposés : -racinede3/2 et racinede3/2 . Que dois-je en déduire ? Que seule la première solution est « valable » et donc je place le point image 1/2pi seulement ?
Ce n’est pas très clair mais j’ai essayé d’expliquer au mieux mon probleme. Merci d’avance
Répondre
Alexis dit :
24 octobre 2013 à 16 h 22 min
Pourrais tu m’aider : je ne trouve pas comment simplifier cette sommes :
Sin2 pi/10 + sin2 2pi/10 + sin2 3pi/10 + sin2 4pi/10 + sin2 5pi/10 + sin2 6pi/10 + sin2 7pi/10 + sin2 8pi/10 + sin2 9pi/10.
Merci de ton aide et j’espère avoir de tes nouvelles prochainement.
Cordialement.
Répondre
bourara dit :
3 mars 2015 à 23 h 07 min
Bonsoir Romain !
c’est Saharr peut tu m’aider comment apprendre toutes les formules car je n’ai pas trouvé de solution 🙁 s’il te plait MERCI
Répondre
Louise dit :
1 février 2016 à 22 h 47 min
Bonsoir, je n’arrive pas à résoudre cette équation :
2cos²(X)-(4+√ 3)cos(X)+2√ 3
Pourrais-tu m’aider ?
Merci d’avance
Répondre
- Romain dit :
  2 février 2016 à 11 h 09 min
  Louise, tu peux poser X=cos(x) et résoudre l’équation du 2nd degré obtenue, avec Delta ; )
  Répondre

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À propos de Romain Carpentier

Romain Carpentier est ingénieur Supélec, fondateur de Star en Maths.

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1ère S Résoudre une équation trigonométrique avec une formule