1ère S Somme et produit de 2 nombres. Que sont ces nombres?
La SUITE ci-dessous :
Dans cet exercice de maths corrigé en vidéo, nous avons un système d’équations à deux inconnues à résoudre.
Tu pourrais le résoudre sans tenir compte du « sens » des équations, comme tu résoudrais n’importe quel système d’équation à 2 inconnues. Par substitution et/ou combinaison de lignes. Le système n’est pas linéaire ici, car nous avons le produit croisé des deux inconnues « x » et « y ».
Je vais te donner deux manières de résoudre ce système, deux manières d’arriver à destination : une générique et une « sensée ».
Résoudre un système d’équations par substitution
La 1ère façon de faire optera pour une substitution. Nous obtenons une équation du second degré en « y », il ne faut pas oublier de déterminer « x » quand tu auras trouvé les solutions de cette équation du second degré.
Un problème « classique »
Dans la 2ème façon de faire, nous pouvons remarquer que le système n’est autre que l’expression du problème classique suivant : soit la somme de deux nombres et le produit de ces deux nombres, que valent ces deux nombres ?
Voilà l’occasion de rappeler deux belles formules sur la somme des solutions (somme des racines) et le produit des solutions (produit des racines) d’une équation du second degré. Encore faut-il déterminer précisément ses coefficients « a », « b » et « c ».
Tu as compris comment ça marche ? Tu remarques également que les solutions sont symétriques dans le sens où l’on peut les interchanger. Ce qui se vérifie au final dans les couples solution trouvés.
Romain
Transcription texte de la vidéo | SelectMontrer> |
---|---|
1ère S Somme et produit de 2 nombres (1/2) Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues, sachant que la première équation donne la somme des deux inconnues et que la deuxième équation donne le produit des deux inconnues. Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui, nous devons résoudre le système suivant : <calcul mathématique> Alors j’aimerais – pour résoudre ce système d’équations – te donner deux façons de faire. La première façon de faire est la façon la plus habituelle, on va dire. Donc on va mettre ici un premier point, qui correspond à la première façon de faire. Alors, comment résoudre un tel système ? Comme ceci ! Alors tu as une première ligne qui te donne la somme de deux inconnues, notées x et y, et cette somme vaut racine carrée de 2. Et tu as une deuxième ligne qui te donne le produit des deux inconnues, donc x fois y, qui te donne cette fois-ci moins quatre. Alors comment peut-on trouver une seule équation avec une seule des deux inconnues ? Et bien moi je te propose de faire une simple substitution. C’est-à-dire qu’en fait on va écrire que d’après la ligne 1 : <calcul mathématique> Et, on remplace dans la deuxième ligne x par son expression en fonction de y. Comme ceci, on obtiendra une deuxième ligne qui ne sera fonction que de l’inconnue y. Donc ce sera une équation à une inconnue et ça, normalement, on sait résoudre. <calcul mathématique> Bon alors si tu presens ce que ça va donner, en fait on va obtenir une équation du second degré en y. Alors pour obtenir une belle équation du second degré en y, on va développer et ordonner les termes. Alors dans un premier temps, on va développer : <calcul mathématique> Donc là j’ai développé. Ensuite, on va ordonner. Qu’est-ce que ça veux dire ordonner les termes dans une équation du second degré ? Ça veut dire mettre en premier les termes en carré, mettre en second les termes en y puissance 1 et mettre en troisième le ou les termes constants, donc en puissance 0. Et on met, à la fin, égale zéro. <calcul mathématique> Donc là on a une belle équation du second degré, et ça on sait résoudre puisqu’il suffit de calculer le discriminant de cette équation du second degré, le delta, et de voir s’il y a des solutions ou pas. Donc, on va calculer le delta. Le delta tu le sais déjà, c’est b carré moins quatre AC. Donc qu’est-ce que c’est le A, le B et le C ? <calcul mathématique> Donc moi je te recommande tout de suite, quand tu as une équation du second degré, de bien noter ce que sont le A, le B et le C de façon à calculer delta sans erreur et aussi à calculer les solutions, s’il y en a. Tu te souviens bien du signe de delta : <calcul mathématique> Ce qui veut dire qu’on a deux solutions réelles – c’est ce que tu as appris dans ton cours sur les polynômes du second degré, sur les équations du second degré. Et ces deux solutions, quelles sont-elles ? Et bien on a une première solution, qu’on va noter y1 et on a y2. Bien sûr quand on aura trouvé y 1 et y2 on n’aura pas fini puisqu’il faudra retourner au système d’équation initial et, à partir de y1 et y2, trouver x. Donc, pour trouver les couples de solutions x et y, évidemment. <calcul mathématique> Donc voilà pour la première solution. Ensuite, la deuxième solution : <calcul mathématique> Voilà pour la deuxième solution en y. Alors là on n’a pas fini de résoudre le système donc revenons à l’une des deux équations pour trouver x. Donc, on va avoir deux cas : le cas où y vaut 2 racine de 2 et le cas où y vaut racine de 2. Donc là, ça va donner lieu à d’autres solutions. <calcul mathématique> Donc finalement on va répertorier tous les couples x et y solutions de notre système. <calcul mathématique> Et voilà, ce sont l’ensemble de solutions. Donc sur ta copie tu va mettre S égale ainsi que des accolades pour dire que c’est un ensemble de solution. Donc a un premier couple et un deuxième couple. Si tu regardes en fait, ils sont symétriques. Si tu regardes bien, tu pouvais inverser ici l’ordre de x et de y et ça ne changeait pas les solutions de ce système. C’est pour ça qu’on trouve deux solutions qui sont symétriques. Donc là, tu encadrerais ceci sur ta copie. 1ère S Somme et produit de 2 nombres (2/2) Donc je viens de te montrer une première façon de faire. Je vais donc laisser les solutions parce que j’aimerais te montrer une deuxième façon de faire pour résoudre ce système-là. Pourquoi une deuxième façon ? Parce qu’en fait ici tu cherches deux nombres dont tu connais la somme et tu connais le produit. Alors est-ce que ceci te fait penser à quelque chose ? La somme des solutions et le produit de deux solutions…en fait je suis sûr que ça te fait penser à quelque chose parce que quand tu as une équation du second degré qui se note : <calcul mathématique> et bien tu sais que la somme de ces solutions, s’il y en a, vaut moins b sur a. Et le produit des deux solutions, si les deux solutions réelles existent, vaut c sur a. Ça, c’est deux formules que tu peux connaître et qui peuvent t’être utiles dans certains exercices. Moi je te recommande quand même de t’en souvenir. Et notamment, dans cet exercice, elles vont nous servir. En fait, la somme est tout simplement la somme des deux solutions, donc x1 + x2. Et le produit c’est x1 fois x2. Donc, voilà ce que l’on a. Ça voudrait dire que nous, les nombres que l’on recherchent – à savoir x et y – ils sont solution d’une équation du second degré de ce type-là sachant que racine carrée de 2 qui est la somme de ces deux nombres serait égale à moins b sur a – sachant que A, B et C sont les coefficients du polynôme du second degré qui intervient dans cette équation du second degré. Donc, ça voudrait dire que si notre racine carrée de 2 est la somme de nos solutions, <calcul mathématique> Mais tu sais très bien aussi une chose c’est que les solution x1 et x2 que j’ai notées ici sont solutions des équations, par définition, mais ce sont aussi les solutions de l’équation suivante : ce sont les solutions de cette équation-là divisée à gauche et à droite par a. Donc, la solution de l’équation : <calcul mathématique> En fait, je n’ai pas changé l’équation, j’ai juste divisé à gauche et à droite par a. Et donc les solutions de l’équation restent les même, tu es d’accord – c’est toujours x1 et x2. Donc ce que l’on fait apparaître c’est justement b sur a et c sur a. C’est donc à moins un près la somme et le produit. Donc en fait, ce que l’on obtient comme équation du second degré à résoudre – vu que toi tu sais que moins b sur a est racine carrée de 2 et que c sur a c’est moins 4, tu vas obtenir – je vais le noter ici : <calcul mathématique> Et voilà l’équation du second degré qu’il nous reste à résoudre ! C’est la seule équation qu’il nous reste à résoudre dans cet exercice, puisque quand on aura trouvé les solutions x1 et x2 et bien on aura trouvé x et y car d’ailleurs elles sont interchangeables puisque x1 peut être x et x2 peut être y. Mais x1 peut aussi être y ce qui fait que x2 serait x. C’est interchangeable. Donc, cherchons les solutions de cette équation-là. C’est une équation du second degré qui est ordonnée, donc on a qui vaut 1, b qui vaut moins racine carrée de 2 et c vaut moins 4. Donc, calculons le discriminant : <calcul mathématique> Si tu te souviens, c’est le même delta que dans la première façon de faire. Et donc les solutions, on les obtient assez rapidement. <calcul mathématique> Et ce sont les mêmes solutions qu’on avait trouvées dans la première façon de faire ! C’est-à-dire qu’en fait x1 est moins racine carrée de 2 et x2 est 2 racine carrée de 2 donc, si on revient à notre système initial, x peut être indifféremment x1 ou x2 et dans ce cas-là le y est l’autre solution. Donc en fait ce que je viens de te rappeler ici, c’est le fait que quand tu as une équation du second degré ici, il faut bien se rappeler que la somme est moins b sur a et que le produit est c sur a. Et donc quand tu as un système de deux équations à résoudre et que ces deux équations sont la somme de deux inconnues et le produit de deux inconnues, et bien tu peux te rappeler cette équation-là qui est la même que celle-ci. Et donc tu obtiens une équation qui est du type : <calcul mathématique> Et donc tu trouves les deux solutions, s’il y en a, de cette équation du second degré et quand tu as les solutions et bien tu obtiens les deux nombres de ton système. D’accord ? |
Tags: delta, delta math, discriminant, équation, équation second degré, équations second degré, produit des racines, résoudre équation, résoudre système, somme des racines, système d équations exercices, vidéo maths
2 réponses
Merci beaucoup !! 🙂
Merci beaucoup !
Cela m’a été très utile