1ère S Trouver des tangentes à une courbe parallèles à une droite connue

y=x

Il faut savoir pour chacune de ces courbes C1, C2, C3, si elles possèdent une tangente parallèle, c’est ça ?
A celle-ci ?
Oui.

D’accord. Donc, ça, est-ce que tu pourrais me tracer cette droite d’équation y=x dans un repère orthonormé ?

Oui.

Ok, donc je sors un repère orthonormé. Ce n’est pas compliqué, c’est une équation droite toute simple. Donc, comment tu fais pour tracer une droite ? Est-ce que tu as une méthode pour ça ? Tracer une droite, connaissant son équation.

On prend deux points ?

Oui, on prend deux points. C’est bien c’est ça. Ça c’est simple.
Donc on représente 1.

X=1 oui.

Y=1.

Du coup, ça passe par ce premier point là <Graphe>. Ensuite ?

Et on prend x=0

Voilà, donc la droite passe par ces deux points. Je pense que tu as compris, il n’y a pas de soucis. La droite d’équation bien connue, y=x. Voilà.

Est-ce que tu peux me dire le coefficient directeur de cette droite ? Combien il vaut ?

1.

Voilà, attention, le coefficient directeur, il n’y a jamais de x dedans. Donc coefficient directeur ça vaut 1. Très bien.

Donc comment on fait pour connaître le coefficient directeur d’une tangente à une courbe ?

Et bien <Calcul mathématique>

Alors, ça c’est une bonne idée et ça représente quoi ça en fait ?

C’est pour retrouver le coefficient directeur d’une tangente en un point sur une courbe.

Oui, c’est bien ! Et donc ça, qu’est-ce que c’est en fait quand ça existe ? Et que c’est fini comme nombre, comme limite ? Comment ça s’appelle ?

Je ne sais pas du tout.

Tu ne sais pas du tout ? En fait c’est un nombre dérivé. Le nombre dérivé de la fonction f en le point a. En fait, ça c’est exactement comme tu me dis. C’est :

Premièrement : c’est le coefficient directeur, de quoi d’ailleurs ? Oui de la tangente mais de quelle tangente ?

La tangente au point a.

Oui, tu as d’accord que des courbes, enfin des tangentes à une courbe, il y en a une affinité, il y en a en chaque point. Donc c’est au point que tu m’as dit, de quoi en fait ? C’est en quel point ?

Au a.

Au point d’abscisse a, voilà oui c’est ça. Au point d’abscisse a de la courbe. Donc quand x vaut a, le point de la courbe d’ailleurs, quelles coordonnées il a quand x vaut a ? Le point de la courbe de f par exemple ?

Le point d’abscisse a.

C’est bien, c’est très bien. Le point d’abscisse a. Et donc la tangente elle passe par ce point, tu es d’accord ?

Oui, elle passe par ce point comme on vient de dire, d’abscisse a et d’ordonnée f(a). Et donc ça c’est la première façon de décrire tout ce nombre là.

Deuxièmement : Et la deuxième façon de le décrire c’est tout simple, c’est la même chose, tout ça c’est une même égalité, c’est f’(a). Est-ce que ça te parle quand je mets ça ? Donc ça veut dire que f’(a) ça vaut quoi finalement ?

La fonction dérivée de a.

Alors ce n’est pas la fonction dérivée. Attention ce n’est pas un nombre, puisque c’est le nombre dérivé. Tout simplement c’est le nombre dérivé de f en a. Et donc, comme je viens de l’écrire ici, ce nombre dérivé de f en a, c’est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Et d’ailleurs, j’aurais du mettre « coefficient directeur de la courbe de f ». D’accord ? Normalement, il faut préciser tout ça. Donc ce n’est pas une tangente de n’importe quelle courbe. Ok, et toi tu vas chercher quoi finalement ? Tu dois chercher les tangentes qui sont quoi ?

Parallèles, à la droite d’équation y=x.

Et qu’est ce que ça veut dire le coefficient directeur à cette tangente ?

Qu’ils sont égaux à 1.

Super. Donc toi tu cherches finalement quoi ? On avance petit à petit mais je te laisse avancer. On cherche des f’ de quoi qui soit égal à 1 ?

Des f’(x)

Voilà, on cherche des f ‘(x) dans le cas où on cherche des tangentes à la courbe, à ces « a » en fait, parallèles à ces droites là. Donc des f’(x) tels que f’(x) =1. Et toi, dès que tu trouves ces x, ça veut dire que tu as trouvé les points en fait, en lesquels ça se passe, tu vas trouver les « a » en lesquels c’est vrai. Tu vois ce que je veux dire ?

Oui.

Donc, comme tu vois ça pour les autres « a » maintenant ?

Je vais effacer pas mal de petites choses. Comment je fais pour résoudre cette équation en fait ?

On prend les fonctions dérivées de f.

Voilà, donc tu vois c’est tout simple, petit à petit on avance. Donc là, on a traduit le fait que… on a mis en équation qu’il existe ou pas des tangentes parallèles à cette droite. En fait on a plutôt, plus précisément, on a dit voilà, cherche-moi les nombres x, ça c’est mon inconnue telle que le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x de la courbe de f égal à un.  Et donc, c’est parti, on prend la fonction, alors qu’est-ce que ça nous donne ?

<Calcul mathématique>

Bon, ensuite ?

X=1/2

Ok, tout simplement, et x=1/2, qu’est ce que c’est en fait. Est-ce que tu saurais me dire ?

Le point d’abscisse pour lequel…

Alors, ce n’est pas un point, tu es mal parti mais je pense que tu vas aller dans la bonne direction, ce n’est pas l’abscisse mais une abscisse de point. Et ce point là, enfin, l’abscisse de ce point, et bien qu’est-ce qu’il se passe pour ce point ?

C’est le point par lequel la tangente, de coefficient directeur f’(x) est parallèle à la droite d’équation y=x.

Oui, alors presque, le coefficient directeur, tu es d’accord qu’il ne peut pas être parallèle, mais en tout cas il vaut 1. Voilà, c’est ça qu’il vaut. C’est le point de la courbe, enfin, c’est l’abscisse du point de la courbe 1 en lequel il y a une tangente parallèle à cette droite. Et moi je te conseille, est-ce que tu as une calculatrice graphique sous la main ?

Oui.

Oui ? Et bien tu traces la courbe, celle-ci (cf graphe), f(x) en fait, x²+1. Et ensuite, est-ce que tu sais comment on va pouvoir trouver l’équation de la droite tangente en ce point là. Tu te souviens, il y a une petite formule pour ça. Je vais te la rappeler.

L’équation de la droite tangente en un point donné

Donc je vais effacer ça. Je pense que c’est bon. Donc tu traces déjà la courbe f(x). Tu regardes ce qui se passe en x = ½ un petit peu. Je ne sais pas si tu as vu cette formule, mais en gros, es-tu d’accord que la tangente elle a une équation. Et cette équation, vu que c’est une droite, elle est de quelle forme ? y= ? Comme une droite, mais de manière générale y= ax+b. Voilà c’est tout ce que je voulais te dire. Et donc, du coup, il y a une formule pour connaître l’équation de la tangente  au point ½ de la courbe de C1 de la courbe <Calcul mathématique>. Tu as déjà vu cette formule ? ça te dit quelque chose ? Voilà. Et bien ce que je te propose de faire c’est maintenant <Calcul mathématique>. Tu traces aussi la courbe de cette fonction là qui est aussi une droite et regarde maintenant ce qui se passe sur ta calculatrice. Tu as réussi à le tracer ? Et donc maintenant qu’est-c qui se passe au point d’abscisse égal à 1/2. Et tu vois bien que ça c’est la tangente. Tu es d’accord ? Et bien tout est là. Et bien cette tangente tu vas faire en sorte qu’elle soit de coefficient directeur 1. Voilà, et ça se passe juste en ce point là. Il n’y a qu’un seul point de la courbe 1 auquel ça se passe. Et puis c’est le point x=1/2 et f(1/2) qu’on a calculé qui vaut 5/4. Voilà, tu as compris le principe ? Voilà, donc, je te rappelle, pour traduire le fait qu’une tangente soit parallèle à cette droite là, la droite orange ici, il faut que f’(x), sachant que x ça va être le point où tu vas avoir ta tangente, enfin, le point d’abscisse où tu vas avoir ta tangente, il faut que le f’(x)=1. C’est ce qu’on avait noté là. Voilà, et ensuite tu résous cette équation. C’est là que tu vas trouver justement les points en lesquels la tangente va être de coefficient directeur 1.

Maintenant, je parle moins, d’accord ? Et je te laisse faire pour le g, la fonction g. La courbe 2 en fait. En fait, ton exercice te demandait juste de trouver les points ? Ou aussi l’équation de la tangente ?

Oui, aussi l’équation.

1. Donc là, tu l’as l’équation de la tangente, c’est la formule en rouge. Voilà, et en fait, juste, tu n’as pas besoin de revenir à la définition de base, limite quand x tend vers h <calcul mathématique>. Tu n’as pas besoin, parce qu’en fait, tu sais que ça, ça te limite, la limite de ce quotient c’est égal à f’(a). C’est bien cette formule que j’avais mis là tout à l’heure. Donc ça, tu retiens ça surtout, f’(a). La formule avec la limite h tend vers 0 de tout ça là <calcul mathématique>, c’est, pour écrire très rapidement, cette formule là. C’est la définition de base en fait. C’est la définition théorique de base du nombre dérivé. C’est ça aussi, il y a une égalité entre eux. Je vais quand même finir ce que je suis en train d’écrire. Donc f(a+h)-f(a) (c’est vrai qu’elle est un peu pénible à retenir cette formule, mais quand on est un peu malin, je vous avais déjà dit qu’n peut la retenir assez facilement, parce que ça c’est comme un calcul de coefficient directeur justement. C’est le ∆y/∆x). Donc là déjà on a finit pour la fonction f. Est-ce que là tu as peut voir, est-ce que tu peux faire ça pour la fonction g.

g’(x)=1

Voilà, alors qu’est-ce que ça va nous donner ? Je vais le faire quand même mais je t’écoute.

Donc ça donne <calcul mathématique>

Donc là c’est g’(x), pour tout le monde, qu’on est en train de calculer. <Calcul mathématique>.

Alors rappelle-moi ce qu’est g’(x) en français ?

Le nombre dérivé ?

Voilà, et c’est aussi quoi ?

Le coefficient directeur de la tangente à l’abscisse x.

Voilà, exactement. C’est très bien. Et la tangente à la courbe de g bien sûr. Et donc, là on continue et qu’est-ce que ça donne ? Ton inconnue c’est x.

Donc c’est x qui est égal à zéro.

Voilà, tout simplement. Et maintenant, l’équation. L’équation ou même le point déjà, le point dans deux dimensions, c’est-à-dire les deux coordonnées pour lesquelles il va y avoir les tangentes pour du coefficient directeur 1. Quelles sont ses coordonnées ?

Donc ce serait x.

Donc 0 ? Voilà. L’ordonnée ?

f’(0)

Non, attention ! C’est pas g’, c’est g. C’est le point de la courbe, tu vois ce que je veux dire ?

D’accord.

Donc là, c’est g(0) qui vaut combien d’ailleurs ?

C’est ½

Voilà.

Ça c’est ½, donc ça c’est le point de ta courbe. Si tu traces ta courbe sur ta calculatrice, c’est le point en lequel la tangente va couper, plutôt passer par ce point là. Elle va effleurer la courbe de g la C2 là ici, là en ce point là. D’accord ? Et cette tangente, et bien elle va être de coefficient directeur, on a dit 1.

Et donc peux-tu me donner l’équation de cette tangente ?

Rappelle-toi de la formule

Ce serait f’(0)

Alors, exactement, c’est ça. Donc f’(0) qui vaut combien d’ailleurs ? C’est y =, attention ! Rappelle-toi qu’une équation, il y a toujours un « = » quelque part. Et vu que là tu as déterminé l’équation de ta tangente, l’équation d’une droite, tu as y=, forcément. Et derrière, tu m’as dit f’(0), c’est ça ? ou g’(0) ?

g’(0).

Voilà, et g’(0) ça vaut combien ?

Ça vaut 1.

Voilà, justement ! Donc 1.

Moins ?

Non, là tu te trompes ! C’est « fois », un truc entre parenthèses, plus un autre truc. Je t’aide un peu. C’est vrai qu’elle n’est pas évidente à retenir cette formule, j’avoue, mais il y a un moyen de la trouver. Enfin, il n’y a pas besoin de la connaître par cœur en fait. Je vais te dire ça après. Donc est-ce que tu sais ce qu’il y a là.

<Calcul mathématique>

En fait la formule générale je la rappelle pour tout le monde c’est <Calcul mathématique>

Et donc là je mets combien ?

<Calcul mathématique>

Ok, donc ça donne combien en nettoyant un petit peu ?

y= x+1/2

Voilà, super. Donc ça c’est bien une équation de droite. Le coefficient directeur de cette droite, ça c’est bien 1. Tu vois ? Voilà, et tu peux tracer toujours la courbe sur ta calculatrice. Donc celle-ci, la courbe de g, et tu peux aussi tracer cette droite, et tu verras bien qu’elle passe par ce point, et aussi que son coefficient directeur, enfin, tu vois bien que c’est une tangente et bien sûr son coefficient directeur c’est 1. Comme en témoigne son équation.

Alors, sinon, qu’est-ce que je voulais dire ? Tu as compris un peu le principe je pense. Ok. Donc ça c’est bien. Ce que je voulais dire aussi c’est que, il y a autre chose que je voulais dire, oui c’est que cette formule en rouge ici, comment est-ce que tu peux la retrouver autrement ?

Tu sais que cette formule elle te donne en fait l’équation de la tangente en un point donné. En un point d’abscisse a, d’accord ?

Comment tu peux trouver l’équation de cette tangente autrement ? Retrouver en fait, sans connaître cette formule par cœur. Comment tu pourrais faire ? Qu’est-ce que tu connais sur la tangente en fait ?

Le nombre dérivé.

Ça c’est très bien, le nombre dérivé va te donner quoi ?

f’(a)

Oui, ça c’est vrai, ce à quoi il est égal, mais ça te donne quoi sur l’équation de ta droite tangente ?

Le coefficient directeur ?

Voilà, imaginez que vous êtes dans cette situation, vous ne vous rappelez plus de cette formule là qui est compliquée, bon c’est un peu pénible de retenir. Bon, je vais effacer, deux ou trois petites choses juste avant. Donc voilà, vous ne vous rappelez plus de cette formule en rouge. Moi c’était mon cas, honnêtement, je ne la connaissais pas en 1ere. Vous allez par contre pouvoir retrouver l’équation de votre tangente facilement. Parce que votre équation de tangente, elle est forcément de cette forme là, y=ax+b. Comme toujours, c’est une droite, donc son équation c’est ça. Par contre vous cherchez combien vaut le « a » et combien vaut le « b ». Donc, toi tu m’as dit, le coefficient directeur de cette tangente justement, c’est combien ? Je ne vais peut être pas prendre « a » et « b ». Justement, je vais prendre « m » et « p », pour que ce soit quand même différent, pour ne pas confondre, mx+p : m c’est son coefficient directeur, p son ordonnée à l’origine, comme d’habitude. Donc vous cherchez ce m et ce p. Alors qu’est ce que vous savez sur cette tangente, je vous le rappelle, disons à Cf, la courbe de f au point d’abscisse a. Donc généralement on dit au point a pour faire plus vite. Et donc là tu me dis, m ça vaut combien ?

m = f’(a)

Exact, et comment on va faire pour le trouver ? Comment on va faire pour trouver le p ? Qu’est-ce que tu sais d’autre en fait sur cette tangente ? Elle passe par un point.

Par un point d’abscisse a.

Voilà. Le point d’abscisse a. Et d’ordonnée ?

F(a)

Voilà, elle passe par la courbe en fait à l’abscisse a.

Donc qu’est-ce que ça veut dire qu’elle passe par ce point là ? (a ; f(a)) au niveau de son équation ?

∆y/∆x
Non, ça c’est pour calculer le coefficient directeur, tu te souviens ?

∆y/∆x c’est quand tu as une formule qui passe par deux points d’une droite. Là haut à droite, tu as deux points a et b d’une droite, et bien pour connaitre le coefficient directeur de cette droite bleue, tu fais ça <calcul mathématique>, ça te donne son coefficient directeur. C’est-à dire c’est une autre formule ça, d’accord ? Et là, en fait, le fait qu’elle passe par ce point, qu’est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que les coordonnées de ce point, qu’on peut noter le point p, par exemple, vérifie l’équation. Donc j’ai quoi ? J’ai f(a), c’est le y, ça c’est le x, donc si x et y qui valent respectivement a et f(a) vérifient cette équation, et bien qu’est-ce que ça veut dire ? ça veut dire que f(a) = ma … (et m c’est quoi en fait ?)

Le coefficient directeur.

Oui mais c’est quoi, on l’a déjà trouvé. On a déjà trouvé une inconnue, c’est ça que je veux dire. Souviens-toi, là on cherche nos deux inconnues m et p. Là c’est ça qu’on fait actuellement.

Donc f’(a) x a.

Oui, c’est bien. + p qu’on ne connait pas encore et qu’on cherche. Donc combien vaut ton p ? p= f(a) d’abord, moins f’(a) fois a. Il suffit de passer ça (f’(a) x a) de l’autre côté en fait. Tu vois ?

Oui.

Ok. Bon et bien voilà, on a trouvé nos deux inconnues.

On a ça et ça, donc m et p. Donc ça veut dire que y vaut quoi alors. Je te montre très rapidement, est-ce que là tu vois ce qu’on est en train de faire. On est en train de retrouver cette formule en rouge. C’est une façon en fait de ne pas la connaître par cœur, d’accord ? Donc y est égal à quoi du coup ? Vu que tu connais ton m et que tu connais ton p maintenant. On remplace m par f’(a), ensuite je mets x, ensuite je mets p, tu vois ? Si je mets ça là, x+p, alors là on a trouvé notre équation puisque tu vois, si on factorise ici par f’(a) et là ça y est. Tu l’as ta formule en rouge, tu vois ? C’est ça en fait, c’est la même chose.

Bref, on a fait toute une démonstration un peu compliquée, ce n’est pas compliqué, c’est juste qu’en fait que vous faisiez au collège. En fait, vous cherchiez une équation de droite, et votre équation de droite, on vous dit : et bien <Calcul mathématique> et ensuite vous savez, bon et bien elle passe par ce point. Ce sont ces deux choses là, tu connais le coefficient directeur et ensuite elle passe par ce point. C’est pareil pour une tangente, une tangente tu connais son coefficient directeur, c’est le nombre dérivé, et ensuite tu sais qu’elle passe par le point de la courbe d’abscisse a, qui est de coordonnées (a, f(a)), tu vois et ensuite tu fais toute ta petite salade si tu veux, pour trouver m et p qui sont le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de ta droite. Comme ça tu as toute ton équation de droite. Tu vois ? Tu as y = machin (que tu auras trouvé) fois x, plus l’ordonnée à l’origine. Et donc bref, tu retombes sur cette formule là, qu’on vous demande de connaître par cœur. Voilà ce que je voulais te dire Charles.

Donc très rapidement à l’oral : comment tu fais pour h ?

<Calcul mathématique>

Et ensuite, par quel point elle passe ta tangente ?

Par h(x)

Non, parce que là tu as déjà ton x=3/2, c’est l’abscisse, et ensuite la deuxième coordonnée c’est quoi ?

h(3/2)

Voilà, c’est ça. C’est bien ça, h(3/2). Je te laisse calculer, c’est un petit peu long, on ne va pas le faire ici. Mais il faudra le calculer quand-même, et ensuite l’équation y=  (donc là il faut se rappeler de la formule en rouge qui est là, elle est un peu effacée mais on la voit quand même). Je te laisse l’appliquer.

<Calcul mathématique>

Tu vas trouver une solution de cette équation qui vaut x=3/2. D’ailleurs, ce n’est pas f, c’est h ici, donc h’(3/2) =1, vu que tu as trouvé la solution c’est x=3/2, donc h’(3/2), c’est ça que ça vaut. Donc tu as 1, d’accord, ensuite ?

<Calcul mathématique>

Le x ça reste x, parce que c’est une équation de droite. Dans une équation de droite, tu as toujours le y et le x qui reste le x. Ce qu’on veut pour avoir toute une équation, c’est avoir le coefficient directeur, c’est-à-dire avoir une valeur de son coefficient directeur et avoir une valeur de son ordonnée à l’origine, mais le y et le x, ils restent là, tu vois ce que je veux dire ? Donc là, tu as x et ensuite ?

Donc, -3/2

Voilà.

+ h(3/2)

Qu’il faudrait que tu calcules. Donc là, pour nettoyer un peu, tu dirais que, tout simplement tu dirais que ça vaut <Calcul mathématique>.