1ère S Tangentes parallèles à une droite, polynôme troisième degré

Video 14: 1ère S Tangentes parallèles à une droite, polynôme troisième degré

Alors dans cet exercice il s’agit de trouver les tangentes à la courbe de F, donc

<calcul mathématique>

Alors les tangentes à cette courbe, qui sont parallèles à la droite d’équation :

<calcul mathématique>

Alors, comment aborder cet exercice, sachant qu’on nous parle de tangentes à la courbe de F qui sont parallèles à la droite d’équation :

<calcul mathématique>

Alors déjà, une tangente à une courbe – tu es d’accord – que c’est aussi une droite. Donc, on nous demande de trouver les droites qui sont tangentes à la courbe de F et parallèles à cette droite-là. Alors cette droite-là, c’est aussi la droite :

<calcul mathématique>

Donc, c’est la droite qui, rapidement, passe par l’origine et qui une pente de 4. D’accord? Simplement pour la visualiser…

On nous demande les tangentes à cette courbe F qui soient parallèles à cette droite-là.

Alors il te faut savoir que les tangentes à la courbe de F sont en fait les fonctions qui « effleurent » F. Alors imaginons que F est une forme comme celle-ci. D’accord? Alors une tangente à la courbe de F, si je trace deux axes…En fait je ne sais pas du tout si elle a cette forme-là, mais c’est simplement pour te montrer qu’une tangente à la courbe de F serait cette droite-là, par exemple. Voilà.

Et la pente d’une telle droite en jaune, c’est :

<calcul mathématique>

D’accord?

Donc, sachant tout cela maintenant, il te faut traduire l’énoncé. Trouver les tangentes à la courbe de F qui soient parallèles à cette droite-là, et bien c’est trouver les droites qui ont le même coefficient directeur que cette droite-là, puisque les droites qui sont parallèles a cette droite :

<calcul mathématique>

ce sont toutes les droites qui ont comme coefficient directeur, ou comme pente, 4. D’accord?

Donc, ce qu’il faut trouver, ce sont toutes les tangentes à la courbe de F qui ont une pente de 4, donc telles que :

<calcul mathématique>

Voilà comment traduire l’énoncé. Et ceci, c’est équivalent – si on calcule F prime de X, puisque c’est un polynôme dérivable sur R et la dérivée de cette fonction polynômiale du troisième degré est 3x² , donc :

<calcul mathématique>

Ceci est équivalent à :

<calcul mathématique>

Ceci est équivalent à :

<calcul mathématique>

En divisant à gauche et à droite par trois – en multipliant à gauche et à droite par un tiers, c’est la même chose.

Ceci est équivalent à – un carré est égal à un nombre positif, rappelle-toi, c’est

<calcul mathématique>

Donc ce qui signifie que pour

<calcul mathématique>

la tangente à ce point-là, de la courbe F, est parallèle à cette droite-là. Donc cette tangente a une pente de 4.

Donc, pour conclure, les tangentes recherchées sont les tangentes qui passent par les points

<calcul mathématique>

Et une autre tangente qui passe par le point

<calcul mathématique>

et qui ont comme pente 4. Voilà les tangentes recherchées!