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Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, un exercice difficile je te l’accorde, il s’agit chercher à savoir s’il existe une homothétie qui transforme les points A et B en A’ et B’ respectivement.
Quand tu fais une figure, en respectant bien l’hypothèse qui dit que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, il n’est pas facile de voir comment poursuivre…
Définition d’une homothétie
Un rappel de cours sur ce qu’est une homothétie : il s’agit de chercher un point du plan (car en 1ère S, chapitre homothétie et translation dans le plan, c’est de la géométrie dans le plan) et un nombre réel non nul tel qu’ils respectent LA relation vectorielle donnée dans la vidéo.
Pour ce faire, construisons les droites (AA’) et (BB’), ce sont normalement des droites concourantes. Si ce n’est pas le cas, c’est une exception et l’exercice ne marche plus !! Vu que ces droites sont concourantes, notons le point de concours O, peut-être s’agira-t-il du centre de l’homothétie 😉 ?
Théorème de Thalès
Oui ! Ce sera le cas… Mais, pour l’heure, appliquons le théorème de Thalès à notre schéma, puisque deux droites sont parallèles : nous obtenons des rapports de longueur égaux.
Vecteurs colinéaires
En exprimant ensuite le fait que les vecteurs OA et OA’ sont colinéaires (car ces 3 points sont alignés, par construction, la colinéarité est très utile pour traduire l’alignement de 3 points, dans le plan ou même en géométrie dans l’espace), il s’agit de montrer que le coefficient de colinéarité, noté alpha dans la vidéo de l’exercice, est le même entre les vecteurs OA et OA’ et OB et OB’, tu comprends ? De ce fait, nous nous serons ramenés à une relation vectorielle qui définit une homothétie de centre O et de rapport ce coefficient de colinéarité.
Passage à la norme de vecteur
Et, en effet, nous allons déduire que alpha = OA’/OA = OB’/OB (d’après le théorème de Thalès), et que ce coefficient de colinéarité est le même pour les 2 relations vectorielles traduisant la colinéarité des vecteurs OA et OA’, et OB et OB’. Pour cela, nous aurons dû prendre les normes des vecteurs, « sortir » la constante alpha de la norme en prenant sa valeur absolue (et c’est là que c’est pas évident peut-être).
Nous avons donc identifié notre homothétie, son centre et son rapport.
Pourquoi le théorème de Thalès est il très lié aux homothéties dans le plan ?
Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv. Nous avons 4 points du plan qui sont A, B, A’ et B’ de telle façon à ce que les droites (AB) et (A’B’) soient parallèles. On nous demande dans cet exercice qu’elle est l’homothétie qui transforme A en A’ et B en B’. Nous allons donc dessiner 2 droites parallèles.
<Schéma mathématique>
Ce qu’il faut faire maintenant, c’est déjà de se poser la question de savoir s’il y a une homothétie qui transforme A en A’ et B en B’ et ensuite de savoir qu’elle est cette homothétie. Quel est son centre, si elle existe, et quel est son rapport donc à priori vu qu’on nous demande quelle est l’homothétie qui transforme A en A’ et B en B’ c’est qu’elle existe. Et en effet pour te le faire voir et bien je te l’ai dit presque en début d’exercice ce qu’on va faire apparaître ici ce qu’on va utiliser plutôt c’est le théorème de Thalès puisqu’ici on a 2 droites qui sont AA’ et BB’, les 2 droites qui sont parallèles (AB) et (A’B’) nous font dire qu’il faut utiliser le théorème de Thalès justement. Donc ici j’ai tracé 2 nouvelles droites et il apparaît un nouveau point qu’on va appeler O. Alors peut être qu’il y a une homothétie qui est de centre O. Je ne sais pas encore il faudra le démontrer et qui transforme A en A’ et B en B’.
Alors comment prouver, moi je te le dit en fait qu’il y a une homothétie de centre O qui transforme A en A’ et B en B’ mais comment le prouver et quel sera son rapport à cette homothétie?
Et bien puisqu’ici tu as une figure caractéristique du théorème de Thalès sachant que A’B’ et AB sont parallèles alors tu peux l’utiliser ce théorème de Thalès donc tu as des rapports qui sont égaux et notamment, puisque j’ai fait apparaître le point O tu vas avoir :
<calcul mathématique>
Et donc une fois que j’ai écrit ces rapports qui sont égaux et bien ce que j’aimerai écrire c’est qu’on a quelque part :
<calcul mathématique>
Si j’arrive à trouver un k de telle façon à ce qu’on ait ces égalités vectorielles alors j’aurai trouvé une homothétie qui transforme A en A’ et B en B’. Cette homothétie sera la même, elle sera de centre O et de rapport K donc si j’arrive à trouver une relation vectorielle qui caractérise A et A’ comme ça et B et B’ comme ça c’est gagné ! Et en fait c’est presque immédiat puisque cette relation vectorielle existe parce que en effet on a O, A et A’ qui sont alignés par construction, OB et B’ qui sont alignés aussi par construction donc :
<calcul mathématique>
Qu’est ce que ça veut dire 2 vecteurs colinéaires ? C’est pour ça que j’introduis la colinéarité de 2 vecteurs et bien ça veut dire tout simplement qu’on a :
<calcul mathématique>
Donc finalement ici j’ai trouvé une homothétie de centre O et de rapport 1k k étant connu c’est égal à OAOA’ = OBOB’ qui transforme le point A en « le point A’ ».
ça c’est une première relation, finalement, qui ressemble exactement à celle ci donc c’est une relation d’homothétie et si on fait la même chose pour le point B et bien on dirait que OB’ et OB sont 2 vecteurs colinéaires de la même façon. Donc on aurait un ∝’ qu’il faudrait trouver, je prendrais les normes des 2 vecteurs et je trouverais exactement la même chose puisqu’on a exactement ce rapport là égal donc finalement j’ai une homothétie qui transforme A en A’ et B en B’ et ce que je peux dire c’est que c’est la même et tout ça ça provient de cette égalité des 2 rapports OAOA’ = OBOB’. Tout ça ça provient du théorème de Thalès.
Donc finalement l’homothétie qu’on a trouvée c’est l’homothétie H de centre O et de rapport 1k sachant que k c’est ça donc l’inverse OA’OA=OB’OB
