1ère S Tracer la courbe d’une fonction avec une valeur absolue

Comment tracer la courbe d’une fonction avec une valeur absolue dans un repère orthonormé ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice on va représenter graphiquement la courbe de la fonction f qui à x associe valeur absolue de 2x-3. C’est comme ça que ça se dit : « valeur absolue de », dès que tu vois la double barre.
On va représenter bien sûr, la courbe, enfin un bout de la courbe, dans un repère orthonormé. Dans cette première vidéo, je vais t’expliquer le principe de résolution de ce type d’exercice. Et dans la deuxième vidéo on tracera vraiment la courbe de cette fonction.

Donc quel est le principe ? Et bien déjà, quand tu veux représenter la courbe d’une fonction, on va dire qu’il y a plusieurs façons de faire. La première façon de faire, ce serait par exemple de calculer certains points de la courbe. À partir de x que tu choisis, tu calcules les y qui correspondent, donc les images de ces x et tu obtiens donc quelques points de ta courbe et à la fin tu places les points et tu relies les points dans un repère orthonormé.
Bon, ce n’est pas tout à fait comme ça qu’on va faire. Nous, ce qu’on va faire, c’est qu’on va déjà essayer de se débarrasser de cette valeur absolue qu’on a ici. On va essayer de se débarrasser des barres. C’est vraiment ce que je t’encourage toujours à faire dès que tu as une fonction ou une expression avec une valeur absolue. Il faut essayer de se débarrasser d’une façon ou d’une autre de ces barres parce qu’on ne sait pas trop comment faire avec ces barres.
Moi je suis un petit peu dans la même situation que toi, je ne sais pas trop comment faire quand j’ai ces barres. Donc en fait, le but, ce serait de les enlever, de s’en débarrasser.
Donc pour s’en débarrasser, il y a quand même quelque chose qu’il faut connaitre, c’est comment ça marche la fonction valeur absolue, comment ça marche la valeur absolue.

Pour ceci on va faire un rappel de cours et je vais te faire le rappel suivant. On va le faire en noir. Donc, valeur absolue de X, tu vois, quand tu as ceci, X dis-toi que ça peut être n’importe quoi, ça peut être tout ce que tu veux avec des petits x dedans. Par exemple dans notre cas ce serait 2x-3.
Et bien ceci c’est égal à X. Oui, mais pas tout le temps. C’est égal à X que quand X est supérieur ou égal à 0. Ça, c’est très important. Et le reste du temps, si par exemple X est négatif, et bien valeur absolue de X sera égale à -X.
C’est très important, c’est ça qui est la définition, qui est à la base en fait de la valeur absolue. C’est ça la définition de la valeur absolue. Donc c’est égal à -X quand X est inférieur strictement à 0, c’est-à-dire le reste du temps en fait.

Je prends un petit exemple très rapide. Par exemple, regarde, si je prends valeur absolue de 4. Le X, c’est 4. Et il est de quel signe ? Il est positif ou strictement négatif ? Et bien il est positif 4. Donc forcément, la valeur absolue de 4 sera égale à ce qu’il y a dedans donc 4. Tu vois, on est dans ce premier cas. Ça c’était un premier exemple.
Ensuite si je prends un deuxième exemple : valeur absolue de -3. Là tu es d’accord que ce qu’il y a dans la valeur absolue, c’est-à-dire le X, il est négatif. Donc, la valeur absolue d’un truc négatif, ça vaut moins la chose qu’il y a dedans, moins le truc si tu veux. Ça vaut -X en fait. Donc tu mets un moins : -(-3) vu qu’on avait dit que le X c’est -3. Tu vois, ça, c’est X donc là, on est vraiment dans cette deuxième ligne, dans ce deuxième cas.
Ça va ? Tu comprends un petit peu comment ça marche ? Donc nous, ce qu’on va faire, c’est se débarrasser de cette valeur absolue en distinguant en 2 cas. Donc on va dire que f(x), qui est égale à valeur absolue de 2x-3, est égal à 2x-3 quand 2x-3 est positif, et c’est égal à -(2x-3) quand 2x-3 est négatif.
ON fera ça dans la deuxième vidéo.

Mais ce que je veux te dire c’est que quand on aura fait ça, quand on se sera débarrassé de la valeur absolue, et bien on pourra représenter facilement la courbe parce que tu auras 2 cas, tu auras cette accolade et 2 cas.
1er cas : tu n’auras plus de barres, tu auras juste le X donc 2x-3. Et comment représenter la courbe de 2x-3 ? Et bien 2x-3 sans les barres c’est très simple, c’est juste une fonction affine et pour tracer la courbe d’une fonction affine, qui donne une droite, et bien tu te souviens, il suffit juste de deux points. Donc on cherchera deux points de notre fonction affine et on tracera notre droite.
Par contre cette droite n’existera que sur un bout de ton repère orthonormé parce que tu verras que f(x) est égal à 2x-3 quand 2x-3 est positif et bien ce « quand 2x-3 est positif » te donnera une condition.
ON verra ça plus en détails dans la deuxième vidéo mais voilà un petit peu le principe pour dessiner une courbe d’une fonction avec une valeur absolue : c’est d’enlever la valeur absolue et donc de distinguer deux cas. Tu es obligé de distinguer en deux cas pour pouvoir enlever ces barres. Et une fois que tu as enlevé les barres et bien tu dessines la courbe de chacun des cas. Ça te donnera une portion de courbe en fait.
Et chaque portion te formera en fait la courbe de la fonction totale, de f. ça marche ? Donc voilà pour le principe et maintenant, c’est parti, on va faire ça dans la deuxième vidéo, appliqué à notre fonction f ici en mauve

Tracer la courbe d’une fonction avec une valeur absolue
vidéo 2/2
Application du principe expliqué précédemment

Dans cette vidéo nous allons appliquer le principe expliqué précédemment pour tracer la courbe d’une fonction comportant une valeur absolue. En effet, si on a une fonction f(x) qui est égale à valeur absolue de 2x-3.
Et quand on veut dessiner sa courbe, dans un repère orthonormé, la philosophie est la suivante : on veut dans un premier temps se débarrasser de la valeur absolue, de ces barres en fait. Et une fois que tu t’es débarrassé des barres, et bien tu vas pouvoir passer en mode dessin, c’est-à-dire dessiner des courbes.

Donc là, c’est ce qu’on va faire. On va utiliser la règle que j’ai mise ici en noir : valeur absolue de X égale X lui-même quand X est positif et c’est égal à -X quand X est négatif.
Dans notre cas, f(x) égal valeur absolue de 2x-3. Si on applique la règle en noir, notre X c’est 2x-3. Tout ça, c’est X. On va être obligé de distinguer deux cas donc on va mettre une accolade. 1er cas, c’est égal à X lui-même c’est-à-dire 2x-3 quand (le quand tu peux le remplacer par un « si ». Des fois tu verras un « si », ça dépend des exercices ou du cours que tu vois) X est positif donc quand 2x-3 est positif.
Donc ça c’est le premier cas. Donc tu vois que c’est égal à 2x-3 f(x) donc c’est bien il n’y a plus de barres mais pas tout le temps. Dans certaines conditions et la condition, c’est celle-ci : à condition que 2x-3 soit positif ou égal à 0.
Et le deuxième cas, c’est-à-dire le reste du temps, f(x) sera égal à -X c’est-à-dire -(2x-3). Il faut mettre des parenthèses c’est très important. Et c’est quand ça? ET bien tout simplement quand 2x-3 sera strictement inférieur à 0. Voilà là condition sous laquelle f(x) sera égal à -(2x-3). D’ailleurs on va enlever les parenthèses, on va juste développer avec le moins, ça va nous donner -2x-(-3) donc -2x+3

Donc là, maintenant, ce qu’on va essayer de simplifier un peu ce sont ces deux conditions ici. Tu vois, 2x-3 supérieur ou égal à 0, qu’est-ce que ça te fournit ? Qu’est-ce que ça te donne comme x ? Et bien il te suffit juste de résoudre cette petite inéquation. C’est équivalent à …tu peux mettre une double flèche, c’est le symbole équivalent, ça veut dire « revient à ». C’est ça une équivalence en mathématiques, ça veut dire « revient à » ou « veut dire ».
Tu vois 2x-3 supérieur ou égal à 0 veut dire 2x supérieur ou égal à 3. Je pense que tu es d’accord, on ne va pas réexpliquer le détail de résolution d’une petite inéquation comme celle-ci. On va juste résoudre ça rapidement. On passe le -3 à droite et on va juste diviser par 2. Donc ça va donner 2x supérieur ou égal à 3 et ça revient à…
Quand tu divises par 2 à gauche et à droite, tu enlève le 2 de la gauche et donc tu obtiens x supérieur ou égal à 3/2. Je te rappelle que diviser à gauche et à droite une inégalité par 2, qui est positif, ça ne change pas le sens de l’inégalité. Donc tu gardes supérieur ou égal ce qui te donne x supérieur ou égal à 3/2. 3/2 c’est aussi 1,5. Tu peux aussi le voir comme ça, comme nombre décimal.
Donc ça veut dire que quand x est supérieur à 3/2, donc dans la partie de l’axe des abscisses supérieure à 3/2, tu vois comment ça se traduit graphiquement, et bien là, tu pourras dessiner la droite 2x-3. Et ça, ce sera un bout de la courbe de f.
Et ensuite, l’autre bout te sera donné par la deuxième ligne de notre accolade. Tout ça, ça revient à (je pense que tu vas comprendre) tout simplement x inférieur strictement à 3/2. Parce que tu passes le -3 à droite, ça donne 2x inférieur strictement à 3 ce qui est équivalent à x inférieur à 3/2. Donc x inférieur à 1,5.

Ça y est, à partir de toutes ces informations on va pouvoir dessiner la courbe de notre fonction. On ne va pas passer trop de temps ici à expliquer comment on dessine une fonction affine. En fait nos deux fonctions affines ce sont celle-ci et celle-là. Dessiner la courbe d’une fonction affine c’est extrêmement simple.
Tu sais qu’une fonction affine ça te donne une droite quand tu traces la courbe. Une fonction affine c’est du type ax+b. Et pour dessiner ça, c’est tout simple, tu prends deux points. Enfin il faut calculer deux points de la droite parce que deux points suffisent à dessiner une droite. Et pour avoir deux points et bien tu choisis deux x. Pour tracer cette première droite on va choisir par exemple x=0 et x=1 par exemple.
Donc c’est parti on va sortir un repère orthonormé. Concluons cet exercice en dessinant les courbes des deux fonctions entourées ici en rose. Tu as vu que je n’ai laissé que la partie supérieure de notre repère orthonormé. A ton avis, pourquoi ? Et bien tout simplement parce que la courbe de f sera au-dessus de l’axe des abscisses. Elle pourra toucher l’axe des abscisses mais pourquoi elle sera au dessus ?
Et bien parce que f(x) est positif vu que c’est la valeur absolue de quelque chose. Je te rappelle que l’une des principales propriétés de la valeur absolue de quelque chose, c’est que c’est positif ou égal à 0. Valeur absolue de quelque chose c’est toujours positif ou égal à 0. Donc forcément la courbe de f sera au-dessus de l’axe des abscisses.

Donc là, on va dessiner la courbe de la fonction 2x-3 qui donne une droite comme je te disais. Alors tu te souviens que la condition c’est qu’on veut que x soit supérieur à 1,5, donc ça veut dire qu’on va dessiner la droite uniquement dans la partie de droite ici. Tu vois là tu as 1,5 c’est-à-dire 3/2 et dans la partie de droite, on veut le bout de la droite correspondant à 2x-3.
Là, c’est tout simple. Pour dessiner une droite, tu choisis un x. Je vais le faire ici à gauche, pour y=2x-3. On veut tracer la droite d’équation y=2x-3. On va choisir par exemple x=3. Tu pourrais très bien choisir x=0, x=1, x=-1, ce que tu veux. Le y correspondant : tu remplaces x par 3. Ça va te donner 2*3-3 donc 6-3 ça va te donner 3. Donc tu vas obtenir le point de coordonnées (3 ; 3). Donc on peut le dessine si tu veux : (3 ; 3), le premier point de la droite.
Pour avoir un deuxième point, tu remplaces x par exemple par 4. Mais vraiment tu peux choisir n’importe quel x. Le but c’est de dessiner la droite. x=4 ça va te donner 2*4-3, ça va te donner 5. y=5. Voilà le deuxième point de coordonnées (4 ; 5). On va le placer directement. On va relier les deux points pour avoir notre droite sachant que notre droite, c’est là qu’il faut faire attention, il faut juste la dessiner pour x supérieur à 1,5 donc dans cette partie à droite du 1,5. Juste là.
Tu peux dessiner en pointillés cette droite verticale. Nous on veut la droite d’équation 2x-3 uniquement à droite de cette droite en pointillés en rouge. Donc là, on dessine. Il se trouve que pour 1,5, quand tu remplaces x par 3/2, ça va te donner 0. Ça va relier ce point-là donc ça va te donner cette droite qui continue etc. Donc là, on a la portion de droite de la courbe de f.

Maintenant, on va s’intéresser à la deuxième fonction affine -2x+3. Pour y=-2x+3 tu fais exactement la même chose. On va choisir par exemple x=-3. Tu pourrais très bien choisir x=0. Moi j’ai choisi ça pour placer les points assez haut ici parce que mon stylo ne peut pas aller très bas mais tu pourrais choisir x=0, ça te donne le calcul le plus simple ici.
Donc pour x=-3 : -2*(-3) ça te donne 6 et 6+3 ça te donne 9. Donc là le point va peut-être être un peu haut mais ce n’est pas grave. Donc y=9. Donc tu te places à x=-3 et donc on va être par là. Ce n’est pas grave, on sort un peu du repère.
Et deuxième point, on va choisir x=0, je pense que ça va être plus simple. Ça va nous donner y=3. Donc on va arriver ici. Et donc là, tu relies les deux points et tu vois à peu près ce que ça va donner.
Et voilà, ça y est on a la courbe de notre fonction f. Notre fonction f. Tu vois que c’est une courbe un petit peu bizarre. C’est une courbe continue, il n’y a pas de souci puisque tu peux la dessiner sans lever le crayon. Peut-être que tu ne connais pas encore cette notion de continuité mais il arrive que tu aies parfois des courbes discontinues en mathématiques et pour tracer la courbe il faut alors lever le crayon pour aller à un autre point.
Ici ce n’est pas le cas mais ce qu’on remarque, c’est qu’il y a une espèce de cassure à ce niveau là, quand x vaut 1,5. Il y a une cassure au niveau de la variation c’est-à-dire qu’elle passe de décroissante à croissante. Ça c’est vraiment le propre des fonctions avec une valeur absolue. Et c’est du fait qu’en fait on a dû distinguer notre étude de fonction en deux cas : tu vois, ces deux cas ici, ça te donnait deux fonctions affines.

Voilà donc j’espère que tu as bien compris le principe. Dès que tu as une valeur absolue, la philosophie c’est d’essayer de se débarrasser des barres de la valeur absolue. Et dès que tu t’es débarrassé des barres et bien tu obtiens des fonctions ou des expressions sans barres. Ici on obtenait des fonctions sans valeur absolue et ça donnait des fonctions affines parce que ce qu’il y avait dans la valeur absolue c’est une fonction affine : 2x-3.
Et tracer la courbe d’une fonction affine, c’est extrêmement simple, tu sais faire. Peut-être que la difficulté ici c’était de voir qu’il fallait dessiner les deux droites seulement sur une partie de ton repère orthonormé. Donc on traçait y=2x-3 uniquement sur la partie droite et y=-2x+3 uniquement sur la partie gauche, à gauche des pointillés rouges ici. Ça, c’est dit ici, au niveau de cette condition ici.
Donc cette condition que tu obtiens quand tu enlèves la valeur absolue, il ne faut pas hésiter à la traduire et c’est ce que nous avons fait en résolvant cette condition, c’est-à-dire en trouvant les x qui correspondent à cette condition. Tu vois, quand je parle de traduire cette condition, ça revient à ce processus ici, à passer de ça à x inférieur ou égal ou supérieur ou égal à quelque chose.
Voilà donc comment on a représenté graphiquement la courbe d’une fonction avec une valeur absolue.