1ère S Traduire l’appartenance d’un point 3D à un cylindre
Comment utiliser l’équation cartésienne d’un cylindre pour caractériser le fait qu’un point appartienne à ce cylindre ?
Bonjour, et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui, dans cet exercice nous avons un cylindre qui est d’équation y2+z2=20.
Donc toute de suite on peut dire qu’il est d’axe (xx’) d’ailleurs l’énoncé nous le dit, puisqu’en fait il ne fait pas intervenir les coordonnées suivant x.
La question est de déterminer lambda pour que le point A de coordonnées (5 ;-4 ; λ) appartienne à ce cylindre.
Alors ici en fait on ne va pas faire de figure parce que ça sert à rien. Il n’y a pas d’utilité à faire de figure pour se représenter notre cylindre parce qu’en fait on va juste appliquer une chose très simple, c’est le fait que si le point A appartient au cylindre donc d’équation y2+z2=20, alors ça veut dire tout simplement que ses coordonnées suivant x, y et z donc (5 ; -4 ; lambda) satisfont cette équation ici.
En fait, l’équation cartésienne, d’une sphère, d’un cercle, d’un plan, qu’est ce que ça veut dire ? ça veut dire tout simplement que si tu prends un point dans l’espace de coordonnées (x ; y ; z) et bien il appartient à cette sphère, il appartient à ce plan ou à cette droite, ou ici à ce cylindre, si et seulement si il satisfait son équation. C’est à ça que ça sert une équation cartésienne d’un cylindre en l’occurrence. Ça sert à caractériser les points qui appartiennent à ce cylindre.
Donc pour déterminer notre λ, on va simplement dire que notre point A appartient à notre cylindre :
<calcul mathématique>
Donc finalement on obtient 2 solutions pour λ, et de telle façon à ce que le point A appartienne à notre cylindre.
Donc ça ce sont les solutions de notre exercice, donc c’est fini !
Ce qui fait que les points A, donc finalement il y en a 2 on pourraient les noter A1 et A2 :
<calcul mathématique>
Ces 2 points là appartiennent à notre cylindre d’équation (y2+ z2 =20)
Donc ce qu’on nous demandait c’était de trouver les points appartenant à la fois au plan d’équation x=5 et au plan d’équation y=-4 qui sont aussi en même temps sur ce cylindre d’équation (y2+ z2 =20).
Ceci est une façon d’interpréter géométriquement l’exercice. Donc je vais te faire un schéma très rapidement pour conclure et pour que tu comprennes bien finalement ce qu’on a fait.
Donc voici un repère orthonormé direct :
<Schéma mathématique>
Et finalement nous dans l’exercice on voulait déterminer quels étaient les points qui sont l’intersection de notre cylindre et de cette droite rouge et finalement nous voulions représenter les points, donc A1 et A2. Finalement on les a trouvé comme ceci qui étaient l’intersection de la droite rouge et du cylindre que j’ai représenté à peut près ici en orange.
Donc la seule chose que nous avons eu à faire c’était finalement de remplacer les coordonnées du point A dont on cherchait toutes les coordonnées et surtout λ dans notre équation de cylindre. C’était tout ce qu’on avait à faire dans cet exercice, pas nécessairement besoin de faire une figure.
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