Triangle rectangle isocèle
Comment démontrer qu’un triangle est isocèle et rectangle à partir des coordonnées de ses sommets ?
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV, dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en connaissant en fait les coordonnées de ses 3 sommets.
Alors tu peux te demander s’il est utile ou pas de faire une figure dans le cas de cet exercice sachant qu’on a les coordonnées de 3 points dans l’espace mais moi je ne te le recommande pas ici parce que ce n’est pas évident de placer ces 3 points.
En fait, on va plutôt raisonner immédiatement sur les coordonnées en calculant notamment les distances entre les points puisqu’en calculant les distances entre les points on va peut être trouver des égalités et puisque la question nous demande de savoir si le triangle ABC est isocèle, en tout cas on nous demande le démontrer et bien justement il faut calculer les longueurs des côtés de ce triangle et démontrer que 2 au moins sont égales.
Donc ce qu’on va faire c’est calculer la distance entre A et B, B et C et A et C. En fait la longueur des 3 côtés de ce triangle. Et peut être qu’au final on arrivera à déduire facilement qu’il est rectangle. On verra comment.
Alors, premièrement pour calculer la distance entre 2 points dans l’espace, peut être que tu connais la formule du cours et je te le recommande :
<calcul mathématique>
Alors dans d’autres vidéos je t’explique d’où provient cette formule de distance entre 2 points dans l’espace. En effet, si tu enlèves la 3eme dimension dans cette formule, à savoir (za-zb)² tu obtiens √( xa-xb)²+(ya-yb)².
En fait, ceci, si tu as l’œil ça ressemble au calcul de la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle à partir de la formule du théorème de Pythagore.
Donc je ne vais pas m’étendre là dessus. Ici on va appliquer cette formule et on va calculer tout de suite la distance entre A et B.
Alors juste une petite chose encore, tu peux avoir peur dans cette formule d’inverser le A et le B mais en fait tu pourrais tout aussi bien mettre (xb-xa) ² car puisque c’est au carré ça ne change rien. De même pour les autres coordonnées.
Donc n’ai pas peur d’inverser l’ordre des coordonnées dans cette différence ici.
Donc la distance entre A et B, calculons-la ici :
<calcul mathématique>
Cette fois ci, on va calculer la longueur BC :
<calcul mathématique>
Donc, j’ai bien sûr utilisé, si tu ne le savais pas encore cette relation mathématique qui fait que quand tu as 2 nombres et bien la racine carrée de ces 2 nombres, que je vais marquer en bas à droite ici :
<calcul mathématique>
Voilà ! Donc la distance maintenant entre A et C, 3eme côté de notre triangle ABC :
<calcul mathématique>
Toujours encadrer les résultats sur ta copie. Ça te permet de bien savoir ce que tu as trouvé comme résultat, ce que tu as démontré. Ça te permet aussi de ne pas perdre de temps à rechercher dans tes calculs, où est le résultat.
Donc ici, on a démontré qu’ABC est isocèle. Premier point de la question qui est démontré puisque les côtés AC et BC sont égaux et valent 6.
Alors maintenant, comment montrer que ce triangle est rectangle ? Et bien là on va appliquer la réciproque du théorème de Pythagore puisque rappelle toi le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle te donne une relation qui est que l’hypoténuse au carré est égale à la somme des 2 autres côtés au carré. Mais la réciproque du théorème de Pythagore te dit que si tu as cette relation qui est que ici tu vas avoir… :
<calcul mathématique>
…alors le triangle ABC est rectangle.
<calcul mathématique>
Alors vu que je n’ai pas la place ici je ne vais pas le noter mais sur ta copie il faudrait vraiment le dire. Tu noterais que d’après la réciproque du théorème de Pythagore puisqu’on a (BC²=AB²+AC²) alors le triangle ABC est rectangle en A.
Donc voilà ! On a démontré le fait que le triangle ABC est isocèle et rectangle rien qu’en calculant la distance entre les 3 points donc en fait les longueurs des côtés du triangle ABC.
