1ère S Une méthode pour encadrer un f(x)

Comment obtenir un encadrement de fonction.
Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo Star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cette vidéo, l’exercice est le suivant : il faut encadrer f(x) dans les deux cas suivants : dans le premier cas on a f(x) qui vaut 2x+1/x pour x appartenant à [2;3].
Dans cette première vidéo nous allons nous intéresser au premier cas et on fera l’autre un petit peu plus difficile dans une deuxième vidéo. C’est ce que je te propose.

Alors je ne sais pas si tu sais comment on encadre f(x) quand un x varie sur un intervalle donné, qui peut être l’ensemble de définition de la fonction ou qui peut être un sous-ensemble de l’ensemble de définition.
Par exemple si on regarde notre première fonction ici, je pense que tu seras d’accord avec moi que l’ensemble de définition c’est R*, c’est-à-dire tous les nombres réels privés de 0 ou c’est ]-l’infini;0[U]0;+l’infini[, tout simplement parce que 0 est une valeur interdite qui apparait ici.
Donc là, on se propose d’encadrer le f(x) uniquement sur un sous-ensemble de R*, c’est-à-dire [2;3], un sous-ensemble assez simple. Et ma question était : est-ce que tu connais une technique pour encadrer un f(x).
Je pense que tu en connais une, c’est lorsqu’on commence par écrire l’inégalité, dans ce premier cas x est compris entre 2 et 3, tu peux le dire comme ça et petit à petit tu enrichis ta double inégalité pour, à la fin, obtenir f(x) au milieu. Je pense que tu as déjà vu cet enrichissement d’une inégalité pour, à la fin, obtenir f(x).

Tu vois, là par exemple on pourrait tout mettre à l’inverse. Alors quand on met à l’inverse, je ne vais pas rappeler toutes les règles ici, il faut changer le sens des inégalités parce que la fonction inverse est une fonction décroissante sur R+* parce que les deux nombres ici appartiennent à ]0;+l’infini[.
Donc tu as le droit de passer à l’inverse mais il faut changer le sens des inégalités. Donc 1/2 supérieur ou égal à 1/x supérieur ou égal à 1/3.
Ensuite tu considères le 2x etc. Le problème de cette technique, ça peut marcher de temps en temps mais ici ça ne va pas forcément marcher parce que le problème c’est que tu as 2x donc le x il apparait 2 fois dans ton f(x). Donc ça voudrait dire qu’il faudrait démarrer une autre double inégalité.
Tu repars de 2 inférieur ou égal à x inférieur ou égal à 3. Ensuite tu multiplies par 2 pour avoir 2x, ça va te donner : 4 inférieur ou égal à 2x inférieur ou égal à 6. Le sens de l’inégalité ne change pas parce que tu multiplies par 2 partout, qui est positif.
Et après, vu que tu obtiens une double inégalité sur 1/x et sur 2x, peut-être que tu peux en faire quelque chose mais ce n’est pas forcément évident. Je pense qu’on pourrait s’en tirer dans ce premier cas parce que tu as le droit d’ajouter membre à membre des inégalités mais dans le deuxième cas, où tu as un x qui apparait au numérateur et un x qui apparait au dénominateur, ça ne va pas être simple de procéder comme ça, avec cette technique qui consiste à obtenir une inégalité en partant d’une inégalité simple, à enrichir une inégalité comme celle-ci.

Ça c’est la première technique qui marche de temps en temps mais dans cet exercice, je te propose de faire différemment. En fait, ce que nous allons faire, c’est tout simplement étudier les variations de la fonction f en la dérivant dans un premier temps, en obtenant un tableau de signe de la dérivée et donc un tableau de variation de f.
Et après, en utilisant ce tableau de variation, on va pouvoir obtenir un encadrement de f(x) sur l’intervalle [2;3]. Donc c’est vraiment comme ça que je te propose de faire, ça va être notre méthode, je rappelle bien : on va dresser le tableau de variation de f sur [2;3] et à partir de ce tableau de variation, en calculant les images de f (tu vas voir comment ça marche) et bien on va pouvoir obtenir un encadrement de f(x).
Et on appliquera la même méthode dans le cas numéro 2.

Donc c’est parti, je te propose de dériver notre fonction f ici. Bon alors on ne va pas vraiment justifier pourquoi elle est dérivable. On pourrait le faire très rapidement. Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition R* tout simplement parce que c’est une somme de deux fonctions dérivables. C’est la somme de 2x et 1/x. 1/x c’est la fonction inverse qui est dérivable sur R* et 2x c’est une fonction affine, c’est toujours dérivable dans R et donc R* aussi.
Et une somme de deux fonctions dérivables sur R* ça donne une fonction dérivable. Donc il n’y a pas de souci tu peux écrire f'(x). Tu peux le calculer.
Alors en terminale S maintenant, on ne donne plus vraiment la justification de la dérivabilité d’une fonction sur l’intervalle donné, sachant que nous on ne veut pas vraiment la dériver sur R* mais juste sur [2;3]. Mais si tu mets cette justification que je viens de donner à l’oral (qui provient du fait que f(x) est une somme de deux fonctions dérivables) c’est quelque chose qui donne de la valeur à ce que tu écris, à ta copie. C’est de la valeur ajoutée si tu veux. Si tu le mets c’est bien, je ne pense pas qu’il y ait des points ajoutés ou enlevés pour ça au BAC mais c’est bien si tu le fais.
Mais si tu n’es pas l’aise avec cette justification de la dérivabilité sur un intervalle, ce n’est pas grave, tu commences directement par dériver ta fonction.

Donc là, f'(x) : c’est tout simple pour dériver une fonction comme celle-ci qui est une somme de deux termes, il suffit juste de dériver chaque terme en fait parce que la dérivée d’une somme, tu te souviens, c’est la somme des dérivés de chacun des termes.
Donc dérivée de 2x, c’est tout simple, ça donne 2. Et dérivée de 1/x ça donne -1/x². Donc f'(x)=2-1/x².
Alors bien sûr, l’idée quand on a dérivé c’est d’obtenir le signe de la dérivée. La dérivée on s’en fiche un petit peu, ça ne nous intéresse pas vraiment d’avoir la dérivée. Ce qu’on veut, c’est le signe de cette dérivée parce que, tu te souviens, le signe de f'(x)… C’est quelque chose qu’on voit en première S, je pense que cet exercice t’est destiné même si tu es en première, il n’y a pas de souci, c’est quelque chose que tu peux faire si tu as vu le calcul des dérivées.
Et donc là, ce qu’on veut c’est le signe donc on va mettre au même dénominateur, on ne va pas laisser f'(x) sous cette forme parce qu’obtenir le signe de f’ ici, avec cette forme, ce n’est pas du tout évident parce que c’est une différence entre deux termes, on ne sait pas trop comment étudier le signe d’une différence.

Par contre, étudier le signe d’un quotient, donc là, en mettant au même dénominateur, ça va être plus simple.
Donc on va multiplier 2 par x² en haut et en bas. Je fais apparaitre la petite opération qu’on fait. Comme ça on va obtenir le dénominateur commun qui va être x² donc (2x²-1)/x².
Et là ce qu’on va faire, c’est étudier le signe du haut et du bas. En fait je tiens tout de suite à te dire quelque chose, c’est que le signe du bas, j’aurais pu le mettre avant : pour x appartenant à notre intervalle [2;3], x² est strictement supérieur à 0. Un carré est déjà supérieur ou égal à 0 mais vu que x ne s’annule pas, puisqu’on étudie pour x appartenant à [2;3], et bien x² sera toujours strictement supérieur à 0.
Donc pas de souci pour le signe du dénominateur.

Ce qui va poser plus de questions c’est le signe du numérateur. Alors là, tu pourrais utiliser delta, tu vois tu étudies le signe de ce trinôme sachant qu’on n’a pas de terme en x, pas de b, tu pourrais très bien passer par delta. Mais là je te recommande de factoriser directement. Tu peux factoriser parce que c’est tout à fait de la forme a²-b². Alors bon il faut quand même le reconnaitre, il faut un peu d’expérience mais ce n’est pas très difficile, je pense que tu peux reconnaitre ici une différence de deux carrés.
2x² c’est aussi racine de 2 fois x, le tout au carré et 1 c’est aussi 1². Je vais l’écrire. Donc là on fait vraiment apparaitre la a²-b². Ça permet de clarifier les choses, on a bien cette identité remarquable qu’on va pouvoir utiliser. Et dessous, x² qui ne change pas.
Donc là, on obtient, tu te souviens de l’identité remarquable, c’est (a+b)(a-b). C’est quelque chose qui va te permettre de factoriser. Le petit a en noir, je pense que tu as compris, c’est racine de 2 fois x et le petit b, c’est 1. Donc là on va obtenir :
« Calcul mathématique »

Donc là on a une belle forme de f'(x), c’est-à-dire une forme de laquelle on va pouvoir étudier le signe vraiment facilement. Donc on dresse le tableau de signe de f'(x). Je suppose que tu es vraiment à l’aise avec l’établissement d’un tableau de signe. Ça ne va pas être compliqué ici : on a deux fonctions affines en haut. Le x² on avait dit que c’était strictement positif.
Donc on va mettre x. Je te propose de mettre -l’infini au début, jusqu’à + l’infini, même si on étudie tout ça sur [2;3]. On verra juste après où se situent le 2 et le 3. On a le 0 qui est une valeur interdite, pour f'(x) aussi et pour f(x). Donc ce qu’on va faire apparaitre dans ce tableau de signe, ce sont les différents facteurs, qui participent à f'(x).
Donc racine de 2 fois x moins 1 ; racine de 2 fois x plus 1. On ne va pas mettre le x² parce que ce n’est pas lui qui va changer le signe. Tu pourrais le mettre si tu veux, ce serait un plus partout, mais nous on ne va pas le mettre. On va mettre ensuite f'(x) et on va mettre, enfin, les variations de f, ce qui nous intéressera. Donc là, on trace les lignes de notre tableau et c’est parti. Donc le 0 ça va être une valeur interdite uniquement pour f'(x) et f donc là, on va mettre une double barre.

Ensuite, pour racine de 2 fois x moins 1. C’est une fonction affine qui est croissante parce que son coefficient directeur est racine de 2, donc positif. C’est donc une fonction affine croissante. Donc son signe c’est – et +. Maintenant quand est-ce que cette fonction s’annule?
Et bien il suffit de résoudre la petite équation juste à coté : racine de 2 fois x moins 1=0. On va obtenir en passant le -1 à droite : x égal 1 sur racine de 2. Donc là tu places ce 1/racine de 2 dans ton tableau de signe. Racine de 2 c’est environ 1.4, donc ça va donner un nombre qui est inférieur à 1. Je te dis ça parce qu’après on va placer notre 2 et notre 3. Donc le 2 et le 3, tu comprends que ça va être à droite de ce nombre.
Donc là, on va mettre le 0, qui s’étend jusqu’à f'(x). Donc 0 là, 0 ici. Donc là on va avoir un moins et on va avoir un plus là.
Ensuite, pour racine de 2 fois x plus 1, c’est toujours une fonction croissante donc ça va encore être moins et plus. Et elle s’annule quand cette fonction ? Et bien on résout racine de 2 fois x plus 1 égal 0. Je pense que tu seras d’accord que ça fournie x égal moins 1 sur racine de 2, qu’on place ici.
Donc on va avoir le 0 jusqu’à f'(x), ici et là. Le – de la première ligne on peut le reporter ici. On va avoir moins là, plus là et plus ici.

Voilà donc je pense que je n’ai rien oublié. On va avoir plus ici, on va avoir notre moins là, et on va avoir notre plus ici.
Donc ça y est on va pouvoir obtenir les variations de notre fonction f. Ici, ça va être croissant sur -l’infini jusqu’à -1/racine de 2. Ça va être décroissant ensuite sur -1/racine de 2 jusqu’à 0. Ensuite de 0 jusqu’à 1/racine de 2 ça va être décroissant encore. Et là, on reprend la croissance pour f.
Nous on étudie ça pour x appartenant à [2;3]. Le 2 et le 3 ils apparaissent ici, parce que, je te disais parce que 1/racine de 2 c’est un nombre qui est inférieur à 1. Donc forcément le 2 et le 3 sont à droite. Et donc sur cet intervalle on va avoir f qui est strictement croissante.
Et donc, ce qu’il suffit de faire, pour obtenir un encadrement de f(x), tu te souviens, c’était ça le but, et bien il suffit de calculer les images de 2 par f, ce nombre là, et ce nombre-ci.
On pourrait aussi dire les choses comme ça : vu que x est compris entre 2 et 3, et vu que f est strictement croissante sur [2;3], c’est ce qu’on vient de prouver en faisant ce tableau de variation et bien quand tu passes cette double inégalité à f(x), les sens sont conservés. Donc on va avoir f(2) inférieur ou égal à f(x) inférieur ou égal à f(3).

donc c’est pour ça que je te dis qu’il suffit de calculer les images de 2 et de 3 par f pour obtenir les deux nombres qui encadrent f(x). Donc tu pourrais le faire apparaitre si tu veux dans ton tableau, ici ça va être f(2), et là f(3).
Ce sont deux nombres tout simples à calculer. On va le faire très rapidement. Quand on remplace x par 2 là, on va obtenir quoi ? Et bien ça va faire 4+1/2, ça fait 4,5 ou ça fait aussi 9/2. Tu pourrais mettre 4,5 si tu veux même si c’est peut-être mieux de mettre une fraction. Et pour le trois on va obtenir 6 + 1/3. Ça fait une fraction un petit peu plus compliquée parce que ça fait 19/3.
Donc tu obtiens 9/2 inférieur ou égal à f(x) inférieur ou égal à 19/3.
Donc voilà pour l’encadrement de notre f(x) sachant que x se balade sur l’intervalle [2;3].
Ça va, tu as compris comment on a fait ? On s’est vraiment aidé du tableau de variation de notre fonction qu’on a dressé après avoir dérivé f.

Donc là, ce que je te propose c’est de faire la même chose pour le cas numéro 2.

Une méthode pour encadrer un f(x)
vidéo 2/2
Encadrement de la deuxième fonction

Dans la vidéo précédente, je te montrais une méthode pour encadrer un f(x), sachant que le x se balade sur un intervalle particulier. C’est une méthode qui utilise le tableau de variation de la fonction f.
Tu as vu que cette méthode que je te présentais plus en détails dans la première vidéo pour le cas numéro 1, pour cette fonction ici, et bien c’est une méthode qui te demande pas mal de petits savoir-faire, notamment de dériver, d’obtenir le signe de ta fonction dérivée et donc d’obtenir à la fin les variations de ta fonction f.
Donc il y a pas mal de petits savoir-faire qui sont impliqués dans cette méthode. Donc là, ce que nous allons faire, c’est utiliser cette même méthode pour encadrer notre f(x) dans ce cas numéro 2, pour x appartenant à R+ : [0;+l’infini[.
f(x), c’est (x+1)/(x²+4). Je te disais au début de la vidéo précédente qu’il n’est pas évident d’utiliser une première technique assez classique, que l’on voit assez souvent pour encadrer, c’est-à-dire de partir d’un encadrement simple de x et ensuite d’enrichir petit à petit cet encadrement pour obtenir à la fin un encadrement de f(x).
EN fait, non. Nous, ce qu’on va vraiment faire, c’est nous attaquer vraiment à l’étude de cette fonction f, donc la dériver, pour en obtenir à la fin ses variations. Et une fois que tu as ses variations, c’est là que tu peux voir très simplement l’encadrement. Tu peux déduire l’encadrement assez simplement vers la fin, dès que tu as les variations.

Donc c’est ça le cœur de cette méthode. Donc là, le cas numéro 2, c’est parti. Ce que nous allons faire c’est tout simplement dériver notre fonction f sur [0;+l’infini[.
On peut regarder très rapidement son ensemble de définition. EN fait, c’est R tout entier. Tout simplement parce que le dénominateur x²+4, tu peux essayer de le voir plus précisément mais ça ne s’annule jamais, tout simplement parce que x² c’est positif ou nul donc x²+4 ce sera toujours supérieur ou égal à 4 donc strictement positif.
Donc le dénominateur ne risque pas de s’annuler donc l’ensemble de définition c’est R. La fonction f, on le dit juste à l’oral, c’est une fonction dérivable sur son ensemble de définition sans problème, tout simplement parce que c’est un quotient de fonctions dérivables : en haut c’est une fonction affine, c’est dérivable et en bas c’est une fonction trinôme, c’est dérivable aussi sur R
Donc en fait, un quotient de fonctions dérivables, c’est dérivable sur l’ensemble de définition. Donc ce sont des arguments que tu pourrais mettre pour justifier. Ce n’est plus obligatoire maintenant en terminale S, ce sont des arguments que tu pourrais mettre pour ajouter de la valeur à ta copie, pour montrer au prof que t’as bien compris comment ça marchait.
Mais si tu n’es pas à l’aise avec ces arguments, c’est ce que je te disais aussi dans la première vidéo, il ne faut pas les mettre et tu écris directement f'(x), bref tu dérives directement ta fonction sans même te poser la question de la dérivabilité de ta fonction.

Donc là, c’est ce qu’on rédige directement : f'(x). Et c’est parti, on dérive notre fonction f. Alors comment tu dériverais cette fonction quotient ? En fait c’est simple, on a une formule pour dériver une fonction quotient. Tu te souviens, la dérivée de U/V, c’est (U’V-UV’)/V².
Donc ici, la fonction U c’est la fonction numérateur, c’est x+1 et la fonction V c’est la fonction du dénominateur, c’est x²+4. Donc ce qu’on fait, c’est qu’on applique rigoureusement sans se poser de questions cette formule et on y va tranquillement.
U’, c’est la dérivée de x+1, c’est donc 1. Je t’encourage à procéder lentement quand tu calcules une dérivée, notamment quand tu calcules une dérivée avec une formule un petit peu longue comme celle-ci. Il faut écrire les choses lentement. Donc :
« Calcul mathématique »
Ce qui va être pas mal dans l’établissement du signe, c’est que le dénominateur est un carré. Un carré de quelque chose c’est toujours supérieur ou égal à 0. Là, ce dénominateur sera toujours strictement positif parce que tu ne peux pas avoir le dénominateur nul. On étudie f'(x) pour [0;+l’infini[ donc si tu regardes bien, ça ne pourra jamais s’annuler. C’est ce que nous disions, f est définie sur R et sa dérivée aussi.
Donc on obtient ceci strictement positif.

Et donc là, il va s’agir de simplifier le numérateur et après on va essayer d’en obtenir le signe ensemble. Donc le numérateur ça va nous donner :
« Calcul mathématique »
En haut on obtient un polynôme du second degré, de la forme ax²+bx+c. Donc je te propose d’ordonner; Il faut toujours bien ordonner, nettoyer les calculs en maths, ça permet d’y voir plus clair à la fin. Donc là tu mets les x² d’abord, ça fait : (x²-2x+4)/(x²+4)².
Et là, il faut obtenir le signe du numérateur. Le dénominateur, je répète bien, est toujours strictement positif. Donc c’est vraiment le signe du numérateur qui va nous donner le signe de f'(x).

Pour étudier le signe d’un trinôme, c’est quelque chose que tu sais faire normalement presque depuis la seconde, peut-être plus depuis la 1ère S avec delta, le fameux outil qu’on utilise pour étudier un trinôme. Donc on va utiliser delta. On va calculer delta pour le haut.
Et tu te souviens que le signe d’un trinôme, c’est a à l’extérieur des racines, s’il y a des racines, et -a entre les racines. Ça provient du fait que la courbe d’un trinôme, tu peux le voir comme ça, c’est une parabole. Donc si elle passe par l’axe des abscisses, ça va être +,-,+ ou -,+,- si elle est tournée vers le bas.
Ça c’est un petit rappel de cours, je t’encourage vraiment à bien connaitre l’étude d’un polynôme du second degré parce que tu vois ça nous sert ici. C’est un sous-problème qu’il faut résoudre. Donc c’est parti, on calcule delta. On va le faire en bleu clair. Delta, c’est b²-4ac. Ça c’est la formule générale. On l’applique ici ça va donner :
(-2)²-4*(-1)*4=4+16=20. Et maintenant que tu viens de calculer le delta, qu’est-ce que ça veut dire sur ton trinôme ? Et bien vu que ce delta est positif strictement, ça veut dire que le trinôme possède deux racines réelles, tu te souviens x1 et x2 dont on va rappeler les formules très rapidement, enfin on va surtout les appliquer.

C’est x1=(-b-racine de delta)/2a et x2=(-b+racine de delta)/2a. Donc là, ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc les racines sont -1+racine de 5 et -1-racine de 5. Voilà donc pour les deux racines de notre trinôme, qui vont intervenir dans le tableau de signe de f'(x).
Donc là, on va dresser le tableau de signe de f'(x).

Donc c’est parti pour le tableau de signe de f'(x). La première ligne on va mettre x appartenant à [0;+l’infini[ puisqu’on étudie la fonction f sur [0;+l’infini[. Ce n’est pas utile de l’étudier sur tout son ensemble de définition, même si tu peux le faire pour vraiment te rendre compte de toutes ses variations. Donc on fait varier x de 0 à +l’infini.
Ensuite, on va mettre le signe de f'(x), et nous disions que le signe de f'(x), c’est le signe de ce trinôme d’en haut, tout simplement parce que le signe de f'(x) n’est pas altéré par son dénominateur ici parce que c’est +. Donc le signe de f'(x) c’est vraiment le signe du numérateur. Tu pourrais vraiment mettre les deux, si tu veux vraiment t’en assurer. Tu peux mettre le signe de ça et le signe du dessous dans ton tableau de signe si tu veux.
Donc là, on va mettre f'(x). Et ensuite on mettra les variations de f. Alors en général on ne met pas f(x), on préfère mettre f, tout simplement parce qu’on ne parle pas des variations de f(x). On parle plutôt des variations de f qui est la fonction. Et f(x), tu te souviens, c’est un nombre. C’est l’image de x par f.
Donc il ne faut pas trop confondre le f et le f(x). On essaie de ne pas confondre les 2 : l’un est une fonction et l’autre est une image, un nombre. Ce sont deux objets différents en maths. Souvent on confond un petit peu les deux, le prof parfois en expliquant il va peut-être un peu vite, il confond les 2 mais normalement il ne faut pas. Il faut que ce soit clair dans ta tête : f c’est une fonction.

Donc là, maintenant [0;+l’infini[ on met nos deux racines qu’on vient de trouver. En fait, si tu regardes bien, on ne va en mettre qu’une parce que -1-racine de 5 est un nombre négatif. Donc il ne nous reste plus que -1+racine de 5. Alors je l’ai vérifié, c’est un et quelques. 1,2 je crois. Donc ça va vraiment se trouver ici, à droite du 0, c’est un nombre positif. On va le faire apparaitre là : -1+racine de 5.
Et donc là, on a un 0 tout simplement parce que f'(x) s’annule pour ce nombre-là, pour x=ce nombre-là.
ET là, on se souvient du signe du trinôme. Alors notre trinôme, c’est un trinôme dont la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ? Ça va être tourné vers le bas. C’est une parabole qui va être une sorte de montagne parce que le a ici, est négatif. Il vaut -1, c’est négatif.
C’est une parabole tournée vers le bas. Ça veut dire quoi ? Et bien son signe c’est forcément -, +, – sachant que la parabole coupe bien l’axe des abscisses en 2 x : x1 et x2. Donc ici, on a un plus ici et là on va avoir un moins, quand x va varier de -1+racine de 5 jusqu’à +l’infini.

Et donc ça y est, on va pouvoir obtenir les variations de notre fonction f sur notre intervalle [0;+l’infini[.
Ça va tout simplement être croissant sur [0;-1+racine de 5[. Et ensuite ça va se mettre à décroitre.
Alors ensuite ce qu’on peut faire dans un tableau de variation c’est compléter en mettant les images et les limites. On va calculer l’image de f(-1+racine de 5). En fait on va juste mettre f(-1+racine de 5) ici. On pourrait la calculer mais ça risque d’être un petit peu long. Donc en fait, c’est un nombre… quand tu le calcules tu remplaces x par -1+racine de 5. Il faut regarder un petit peu ce que ça donne.
On peut par contre calculer f(0) très facilement parce que quand tu remplaces x par 0 ça va donner 1/4.

Et là tu pourrais calculer la limite quand x tend vers +l’infini de f(x). On va le faire très rapidement. Ça va être assez simple en fait.
Quand tu fais tendre x vers +l’infini ça va donner +l’infini en haut et +l’infini en bas. C’est un problème, c’est une forme indéterminée. Je te rappelle que +l’infini/+l’infini c’est une des formes indéterminées. Mais c’est simple on va pouvoir s’en débarrasser assez facilement de cette forme indéterminée en factorisant par le terme prépondérant.
C’est un petit exercice en soi, c’est pour ça que tu vois que tout ça, ça demande pas mal de savoir-faire. On va aller très très vite. Quand tu factorises f(x) en haut par x et en bas par x², on va l’écrire juste là. f(x)=[x(1+1/x)]/[x²(1+4/x²)]. Qu’est-ce qui va se passer ? Déjà ça va se simplifier parce que tu as x en haut et x² en bas. Tu vas simplifier par x et il va te rester du x juste en bas.
Donc on va avoir : (1+1/x)/[x(1+4/x²)]. C’est une technique qu’on utilise souvent : la factorisation par le terme qui varie le plus ou le terme prépondérant, peut-être que tu as déjà entendu ça. Et la limite, là haut, ça va tendre vers 1, tout ceci, quand x tend vers +l’infini. En bas, la parenthèse va tendre vers 1. Donc tout ce quotient-là, f(x) va tendre vers 0 tout simplement parce que tu as un x ici qui tend vers +l’infini.
Si tu veux, pour le dire autrement, le dénominateur tend vers +l’infini : c’est +l’infini*1. Et le numérateur tend vers 1. 1/+l’infini, c’est 0, ce n’est pas une forme indéterminée. Donc là, on vient de trouver la limite, c’est 0.

Donc qu’est-ce qu’on peut dire ? ET bien tout simplement sur [0;+l’infini[, c’est-à-dire pour x se promenant sur [0;+l’infini[, ton f(x) il varie entre quel nombre et quel nombre ?
Et bien il varie entre 0, ce sera son « minimum » même si on ne peut pas le dire comme ça. Ce sera 0. Le 0 ne sera jamais atteint. Et f(-1+racine de 5) sera le maximum. Là on peut le dire, ce sera vraiment le maximum parce que c’est atteint.
ET donc ça y est, grâce à ce tableau de variation tu peux dire que f(x) sera supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à ce nombre : f(-1+racine de 5). Tu pourrais le calculer si tu veux mais c’est un petit peu fastidieux. C’est l’image de -1+racine de 5.
Pour le calculer, il suffit juste de remplacer x par -1+racine de 5. Il suffit juste mais ça va donner lieu à un calcul un peu long.

Donc voilà, c’est comme ça qu’on a obtenu l’encadrement de notre fonction f grâce à son tableau de variation et grâce aux images, en rouge qu’on a calculées. Images ou limites.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris cette méthode qui est une méthode qui marche très souvent. À partir du moment où ta fonction est dérivable et que tu peux en obtenir les variations facilement et bien tu vas pouvoir obtenir l’encadrement que tu veux et ça va être un encadrement très fin, c’est ça qui est intéressant aussi.
C’est l’encadrement le plus fin possible en fait parce que tu vois, là le f(-1+racine de 5) c’est vraiment le maximum de f(x) et 0, c’est la limite donc tu ne peux pas trouver un encadrement plus fin que celui-ci.
Tu pourrais trouver un encadrement plus grossier. Tu pourrais dire que f(x) est comprise entre -10 par exemple-alors que 0, c’est mieux- et le nombre qui est au dessus ça pourrait être un nombre plus grand que celui-ci. Alors je ne sais pas exactement combien il vaut. On peut regarder très rapidement en remplaçant x par -1+racine de 5 dans f(x). Ça va donner quoi ?
« Calcul mathématique »
C’est un nombre qui vaut à peu près 0,4. Donc tu pourrais dire plus grossièrement… on pourrait te demander de démontrer que f(x) est comprise entre -10 et 10. Ça c’est un encadrement qui est vrai, de f(x), mais qui est grossier. Ce que je veux te dire c’est que grâce à cette méthode, qui passe par le tableau de variation de f, tu obtiens un encadrement très fin, le plus fin possible en fait, pour ta fonction f;

En tout cas j’espère que tu as bien compris cette méthode que nous avons appliquée pour ces deux fonctions.
ET il ne faut pas oublier bien sûr, d’obtenir le tableau de variation de ta fonction f vraiment pour les x pour lesquels tu étudies ta fonction, sur l’intervalle pour lequel tu étudies ta fonction.
Voilà pour cette méthode. Je te dis à la prochaine pour un autre exercice.