1ère S Une rotation conserve les longueurs
Comment démontrer que 2 longueurs sont égales à l’aide d’une rotation dans le plan.
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons un carré, qui est noté ABCD, et deux triangles équilatéraux qui sont notés BEA et AFD. Alors on va faire apparaître tout de suite les longueurs égales. Ici on a carré ABCD donc forcément on a AB qui est égal à BC qui est égale à CD qui est égale à AD, d’accord ? Et vu que ABE est un triangle équilatéral, ici on a deux longueurs supplémentaires qui sont égales à AB. Ici aussi, on a AF et FD qui sont égales à AD.
Alors la question est, que peut-on dire de la longueur BD – la diagonale du carré – et EF. Donc, qu’est-ce qu’on peut en dire, selon le dessin il est fort probable que ces deux longueurs soient égales. Comment démontrer ça ?
Donc nous, on va essayer de démontrer qu’elles sont égales. Alors comment va-t-on le faire ? On va essayer d’introduire – et là ce n’est pas facile d’y penser, dans une vidéo précédente je te montrais que dès qu’on a un triangle équilatéral on peut penser à un rotation de centre d’un des sommets du triangle et d’angle pi sur 3 (ou moins pi sur 3, ça dépend de son sens) – et bien ici on va introduire une rotation qui est de centre A et d’angle pi sur 3 – si on considère le sens direct, dans ce sens-là.
Donc pourquoi on introduit une telle rotation ? Je vais le noter ici :
<calcul mathématique>
Pourquoi on considère une telle rotation ? Parce que vu qu’on a des égalités de longueurs et vu qu’on a un angle ici entre le vecteur AB et le vecteur AE qui vaut pi sur 3 – puisqu’on est dans un triangle qui est équilatéral et que tu sais que les angles dans un triangle équilatéral sont tous de pi sur 3 – et bien tu peux dire que :
<calcul mathématique>
Et pourquoi cette rotation qui transforme B en E existe ? Bien c’est tout simplement parce qu’on est dans un triangle équilatéral, justement. Je te le montrais dans une vidéo précédente, c’est justement par le fait qu’on a
<calcul mathématique>
Et bien c’est parce qu’on a ça que R de B est égale à E.
Et ce qui est intéressant, après avoir introduit cette rotation, c’est que cette rotation va nous servir une deuxième fois – et pourquoi ? Parce qu’elle va nous servir dans ce triangle équilatéral, ici.
En effet, l’image du point D par la rotation, donc on va noter :
<calcul mathématique>
Et bien à quoi elle est égale ? Et bien tu vas tout simplement faire tourner le point D autour du point A et d’un angle pi sur 3. Donc qu’est-ce que cela te donne ? Puisqu’on est toujours dans un triangle équilatéral ici on a un angle qui est de pi sur 3 – et bien l’image de départ de notre rotation, c’est F. Donc ici :
<calcul mathématique>
Pour les mêmes raison que ce qu’on a noté plus haut.
<calcul mathématique>
Donc on obtient ces deux relations-là. Donc tu vas me dire : oui très bien mais quel est le rapport avec les longueurs BD et EF dont on aimerait démontrer qu’elles sont égales ?
Et bien en fait cela va nous être très utile d’avoir introduit cette rotation-là. Pourquoi ? Parce que – rappelles-toi une chose – c’est qu’une rotation, ça conserve les longueurs. C’est-à-dire qu’au départ, tu as la longueur ici, BD. D’accord ? La longueur BD que nous on transforme en la longueur EF avec la rotation R.
Donc en fait au début tu as une longueur, qui est la longueur BD qui correspond à une des diagonales du carré ABCD :
<schéma mathématique>
Et on l’a transformé – avec notre rotation grand R – en cette longueur-là, qui est EF. Et tu sais qu’une rotation conserve les longueurs, et je vais le noter car c’est une propriété très importante et c’est la propriété qu’on utilise ici.
Une rotation dans le plan conserve les longueurs.
Ça ne conserve pas que les longueurs en fait, ça conserve aussi le parallélisme, les angles droits, etc.
Donc en fait c’est vraiment la propriété d’une rotation qu’on va utiliser ici puisque si tu as la longueur BD qui est transformée en EF par cette rotation, et bien ça veut dire justement que BD = EF en longueur.
Alors voilà comment on a réussi à démontrer que ces longueurs sont égales. Ce n’est pas évident autrement qu’en utilisant une rotation de le démontrer, ici. En tout cas, utiliser une rotation de centre A et d’angle pi sur 3 va beaucoup plus vite.
Donc c’est à ça que peut te servir une transformation dans le plan – tu peux te demander à quoi ça sert une rotation, etc. d’étudier des rotations…Alors quand tu as des figures avec des longueurs qui sont égales, des formes géométriques qui sont caractéristiques comme un triangle équilatéral qui a trois côtés égaux, un triangle isocèle qui a deux côtés égaux par exemple, ça peut vraiment t’aider dans la résolution de l’exercice.
Bien sûr, pour les exercices de mathématiques il y a souvent plusieurs voies pour arriver à destination, pour arriver à démontrer la question, mais souvent il y a des voies plus faciles que d’autres. Et quand on ne te donne pas d’indication et bien tu peux penser justement à ces figures caractéristiques et aux choses qui sont liées à ces figures caractéristiques.
Bien sûr un triangle équilatéral, il y a trois côtés égaux et trois angles égaux mais c’est aussi très intéressant d’introduire une rotation de centre l’un des sommets de ce triangle et d’angle pi sur 3 ou moins pi sur 3 – ça dépendrait du sens. Et sachant qu’une rotation conserve les longueurs, et bien ici cela nous a permis de démontrer que les longueurs BD et EF sont égales.
Pour conclure, on peut dire qu’il y a d’autres transformations du plan qui conservent les longueurs, notamment une translation, et d’après toi quelle est la transformation caractéristique que vous avez vue en 1ère S qui ne conservent pas les longueurs ? Et bien en fait c’est l’homothétie, qui a toujours un centre et un rapport – rappelles-toi ce sont les deux paramètres qui caractérisent une homothétie. Et bien en fait le rapport, s’il n’est pas égale à 1, et bien ça veut dire que l’homothétie transforme les longueurs – les faisant grossir ou rapetisser.
