1ère S Utiliser les angles associés pour simplifier un cosinus ou un sinus

Comment calculer le cosinus ou le sinus d’un angle donné à partir des formules sur les angles associés ?

Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, c’est très classique d’ailleurs, on va, à l’aide des propriétés sur les angles associés, calculer les deux valeurs orange.
La première, c’est cosinus de 8Pi/3 et ensuite, ce sera sinus de (-5Pi)/6.

Alors je pense qu’il y a plusieurs façons de calculer ces deux valeurs-là mais on va utiliser ce qu’on appelle les formules sur les angles associés.
Alors il faut bien comprendre ce que c’est que les angles associés. Tu sais, ce qu’on met dans les sinus et cosinus, qui sont les fonctions trigonométriques qui sont utilisés dans beaucoup de domaines.
EN physique, dans l’informatique, par exemple en imagerie, dans le son etc. ça sert à faire plein de choses. EN physique ça sert à étudier les phénomènes périodiques, qui se répètent parce que sinus et cosinus sont des fonctions qui sont 2Pi périodiques.
Bon bref je ne vais pas réétudier tout ça ici avec toi mais il y a plein de choses à dire sur ces fonctions et elles te seront utiles l’année prochaine, en terminale notamment dans les nombres complexes, mais c’est vraiment un exemple.

Donc là, les angles associés, j’étais en train de rappeler ce que c’était. Le cosinus et le sinus, ce sont des fonctions. Et dans ces fonctions, elles « mangent » un x. On est d’accord. En fait, elles mangent quelque chose, peu importe le nombre.
Il faut que le nombre appartienne à leur ensemble de définition. Il se trouve que c est un nombre qui appartient à R car leur ensemble de définition à ces deux fonctions, c’est R.
Et ce nombre-là, c’est un angle en fait. C’est une mesure plus précisément, une mesure d’angle. Donc en fait, ça va souvent être un nombre qui s’exprime avec du Pi parce que les angles tels qu’on les voit en première et même dès la seconde, c’est plutôt des angles en radians en mathématiques, même si tu peux mettre des angles en degrés, il n’y a pas de problème mais il faut se mettre d’accord sur l’unité.
Donc, une fois que tu sais ça, qu’est-ce que c’est qu’un angle associé ? C’est tous les angles en fait, à partir d’un angle x donné, qui se construisent avec x, un moins, 1Pi/2 ou 1Pi.
Alors, je t’explique un petit peu ça : les angles associés ça va être -x par exemple, ensuite tu pourras avoir x+Pi, ensuite tu pourras avoir x-Pi, ensuite tu pourras avoir x+Pi/2 et x-Pi/2.
C’est essentiellement ça les angles associés.

Et ensuite on s’intéresse aux formules sur les angles associés, c’est-à-dire aux cosinus et aux sinus de ces valeurs-là.
Le cosinus et le sinus de ces valeurs-là, donc tu peux très bien mettre des cos et des sin devant : par exemple je mets un cos, sinus devant ça… Et bien ça te donne certaines valeurs. Et ces valeurs-là tu peux très facilement les retrouver sur le cercle trigonométrique.
Donc ça donne lieu à plein de formules mais comme je t’ai dit, tu peux les retrouver, donc je ne t’encourage pas forcément à les apprendre par cœur ces formules. Par exemple, cosinus de (-x), ça donne cos de x.
Donc à chaque fois ces formules, tu obtiens « égal » et là, à droite, tu n’as que du cos de x ou du sinus de x, peut-être avec un moins devant. Plus ou moins. Tu vois des trucs avec du cos de x ou du sinus de x. Mais plus de x + Pi/2 ou x-Pi/2 etc.
Bref, c’st ça ces formules et ces formules tu peux les retrouver facilement sur le cercle.

Alors dans cette vidéo on va le faire très rapidement pour les exemples qui nous sont donnés mais il faut d’abord transformer le 8Pi/3 parce que le 8Pi/3 ce n’est pas vraiment un angle associé. Ça ne s’exprime pas en quelque chose plus Pi. En tout cas au premier abord. Pas non plus en quelque chose plus Pi/2.
Bref il faudrait réussir à exprimer 8Pi/3 avec du Pi, du Pi/2 ou avec du moins.
Bon ce n’est pas forcément évident comme ça. Là, il ne faut pas hésiter à utiliser le +2Pi parce que on sait, ce n’est pas une formule sur les angles associés, mais on va le rappeler ici : cosinus de (x+2Pi), de la même façon que sinus de (x+2Pi), ça nous donnera cosinus de x et sinus de x respectivement.
Ça rejoint tout à fait ce que je te disais tout à l’heure à l’orale, c’est que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions 2Pi périodiques. C’est pour ça que ça donne des vagues, qui se répètent, si tu traces une courbe tu vas voir que ça donne une vague qui se répète tout le temps.

Donc là, tu peux mettre du Pi, du Pi/2 dans 8Pi/3. En fait, ce qu’il faut faire, on en arrive enfin à la méthode, après ces rappels sur les angles associés. Le 8Pi/3, ce qu’il faut que tu fasses, c’est qu’il faut que tu le décomposes. On le décompose je répète, soit avec du 2Pi, ou avec du Pi ou avec du Pi/2.
Donc il peut y avoir plusieurs chemins possibles. Donc là, ce que tu peux dire, vu que 2Pi c’est aussi 6Pi/3, et bien 8Pi/3 c’est 6Pi/3+2Pi/3.
Ensuite tu peux calculer le cosinus de tout ça. On va voir ce que ça donne. Donc cosinus de 8Pi/3 :
« Calcul mathématique »
Et d’après la formule qu’on vient d’écrire en noir, cos de (x+2Pi), c’est égal à cos de x. Et ça c’est valable pour n’importe quel x. c’est ça la force de cette formule. Ce n’est pas vraiment une formule, c’est plutôt la propriété de base du cosinus.

Bon, et bien là, tu peux tout à fait écrire que c’est égal à cos de 2Pi/3. Tu remplaces x par 2Pi/3 dans cette formule et tu obtiens cos de 2Pi/3. Tu comprends, tu peux vraiment enlever le 2Pi, c’est ça que ça veut dire;
ET là, on s’approche de quelque chose de plus simple parce que déjà on n’a plus de 8, on a du 2. Alors là, ce n’est pas tout à fait fini parce que ce serait bien qu’on colle aux valeurs des cosinus et des sinus des angles que tu connais bien. Tu sais les angles du premier cadran en haut à droite du cercle trigo.
Si je fais un cercle trigo, en fait ce que je te recommande de savoir, il faut le faire en fait, il faut connaitre les valeurs des cos de Pi/6, de Pi/4, c’est l’angle droit divisé par 2, de Pi/3 et de Pi/2. Tous les angles qui correspondent à ces points que je peux faire ici en vert. Tous ces points-là qui correspondent chacun à des angles.
Donc là, tu as 0, la tu as Pi/6, Pi/4, Pi/3 et Pi/2 le fameux angle droit. Donc il faut vraiment que tu connaisses ce petit tableau, souvent on consigne ces valeurs-là dans un tableau, il faut vraiment connaitre ça.

Donc ça veut dire qu’on veut se ramener, nous, ça y est j’y arrive, tu vois faire cet exercice, ça nécessite plein de rappels, c’est pour ça que je fais tous ces petits rappels, ça nécessite de connaître cos de Pi/3.
Alors comment se ramener à cos de Pi/3. Alors cos de 2Pi/3, c’est quoi ? Alors là, on utilise les angles associés, alors tu utilises toujours la même méthode, tu vas décomposer 2PI/3. EN fait 2Pi/3, c’est 3Pi/3 c’est-à-dire Pi, moins 1Pi/3.
Donc tu arrives à cos de (Pi-Pi/3). Tu vois on a simplifié notre cos de 8Pi/3 en cos de (pi-Pi/3). Et là, ça y est on arrive à quelque chose avec du Pi-Pi/3. Donc notre x ici ça va être -Pi/3 ou Pi/3.
Tu vois ça va correspondre si je mets un cos ici, à cos de Pi-x. Alors pas tout à fait mais dans les angles associés, tu peux très bien prendre Pi-x. Voilà, cos de (Pi-x), et il faut connaitre cette formule, ou alors tu la retrouves. Et bien retrouvons-là dans le cas général :
Tu fais le cercle trigo. C’est très simple de la retrouver, c’est cette méthode-là qu’il faut que tu appliques tout le temps. Tu fais un petit angle x à partir de cette barre à droite. Et ensuite tu mets -x. -x ça va être en dessous. Alors x normalement c’est un angle orienté, et le moins x, c’est ça.
Et ensuite, tu rajoutes Pi à -x. Si tu rajoutes Pi à cette barre noire du dessous, tu vas arriver ici. Donc c’est une petite gymnastique la trigonométrie, c’est un peu technique, ce n’est pas toujours évident au début mais en fait ce n’est pas si compliqué si tu prends bien ton temps et si tu es concentré.
Donc là, on a bien rajouté Pi, tu vois puisqu’on est parti de cette barre noire et on a rajouté Pi, +Pi.

Et donc tu arrives à ce point noir ici, et tu es parti d’ici. Donc là, on s’intéresse à cet angle là, que je peux faire en vert, toujours en partant de cette barre. Et bien cet angle-là, c’est Pi-x. Tu vois d’ailleurs ça se voit puisque c’est Pi, tu vois Pi il est là, et on a enlevé x tu vois, qu’on retrouve là.
Donc je peux l’indiquer, ça, c’est Pi-x. Et qu’est-ce que c’est que le cosinus de Pi-x ? Et bien le cosinus, tu te souviens, ça se lit sur l’axe des x par rapport au point qui est donné ici. Donc hop, on descend, et on arrive ici à cosinus de Pi-x. Et tu vois bien que c’est une valeur ici qui est négative.
Mais bon, en tout cas, c’est quoi par rapport au cosinus de x. Ou au sinus. C’est toujours à ça que tu veux te ramener tu vois à droite ici des égals tu as toujours du cos de x ou du sinus de x. Donc tu essaies toujours de te demander, c’est quoi la valeur que j’obtiens par rapport à cos de x ?
Et bien c’est l’opposé en fait tu vois, parce que c’est de l’autre coté tu vois. Ici, le cos de x il est là. Bon mon dessin n’est pas terrible mais j’espère que tu comprends, mon cos de x je le fais en rose, il est là. Alors il ne va pas jusqu’au bout, il s’arrête un peu avant.
Et le cos de Pi-x, je peux le faire en beige, c’est vraiment toute cette longueur ici. Tu vois bien, mon dessin n’est pas très précis, mais c’est deux longueurs qui sont égal mais vu que le Pi-x est dans la partie qui est négative et bien c’est -cos x. les deux nombres sont opposés en fait, l’un et l’autre.

Donc tu obtiens, ici, -cos(Pi/3). Si tu arrives à faire cette petite gymnastique, je pense que tu as tout compris. Ce n’est pas forcément évident, je suis d’accord avec toi mais je pense que tu peux y arriver.
ET cos de Pi/3, il faut le connaitre, tu vois c’est celui-ci, tu descends, tu arrives à 1/2, tu vois bien qu’on arrive au milieu. Tu vois là, c’est zéro, là c’est un, tu te souviens, et là, c’est 1/2.
Donc c’est -1/2. Et là, ça y est, on a réussi à trouver notre cosinus. Donc la méthode, si on la résume elle est très simple, il faut que tu décomposes le 8Pi/3 soit avec du 2Pi, soit avec du Pi, soit avec du Pi/2 soit avec du moins, soit avec une combinaison de deux de ces trucs-là et tu te ramènes à une formule que tu connais.
Donc s’il y a du 2Pi, déjà tu peux l’enlever. Tu vois finalement on a enlevé 2Pi de 8Pi/3 et on s’est ramené à 2Pi/3. Cos de 8Pi/3, c’est égal à cos de 2Pi/3. On a pu injecter un 2Pi dans le 8Pi/3. Ça marche ?

Essaie de t’entrainer sur sinus de (-5Pi/6), on va le faire maintenant.

1ère S
Utiliser les angles associés pour simplifier un cosinus ou un sinus
vidéo 2/2
Simplification du sinus

Intéressons-nous maintenant au calcul de sinus de (-5Pi/6). On va faire exactement de la même façon, c’est-à-dire qu’on va décomposer notre angle à l’intérieur.
Donc c’est parti. Donc là, on rappelle que tout ça c’est des connaissances, c’est vraiment ce qu’il faut connaitre de ton cours. Il n’y a pas que ça mais tout ça, c’est déjà des connaissances importantes sur la trigonométrie. Des connaissances de base.
Et ensuite, on décompose notre angle -5Pi/6. Alors comment le décomposer ? Tu te souviens ? Avec du 2Pi ou alors avec du Pi, ou alors avec du Pi/2 ou alors avec du moins.
Alors ce que tu peux généralement faire aussi, on ne l’a pas fait avec 8Pi/3 mais on aurait pu le faire, on peut toujours essayer de dessiner l’angle en fait. Parce que là, on voit bien qu’il se décompose en fonction d’un angle connu tu vois.
C’est -5 fois pi/6, c’est la même chose. Donc le dessiner, ça peut te permettre de mieux voir comment décomposer l’angle. Ce n’est pas obligatoire de le dessiner mais si tu peux le faire, dès qu’on peut faire un dessin en maths, il faut toujours essayer de le faire parce que ça peut permettre de clarifier les choses, de nous aider à avancer etc.

Donc là, on peut faire un petit dessin. C’est parti. Tu te souviens où est-ce qu’il est Pi/6. Le Pi/6, c’est un petit angle, toujours en partant de cette barre que j’aime bien faire en vert. Là tu as l’angle 0 et le Pi/6 ça va être ça, à peu près.
Et c’est -5Pi/6, ça veut dire qu’il faut aller dans le sens contraire. Là on va avoir l’origine. Donc -Pi/6 ça va être juste en dessous, symétriquement par rapport à l’axe des x.
Donc là, c’est -Pi/6 et il faut en compter 5 en fait. Donc si tu en comptes 5, est-ce que tu ne sens pas que tu vas arriver vers là de ce côté là ? Bon, Pi/2 c’est combien de Pi/6 ? Pi/2 c’est plutôt là mais -Pi/2 ? -Pi/2 c’est -3Pi/6 puisque -3Pi/6 c’est -Pi/2, tu vois la fraction se simplifie puisque tu as 3 et 6 et 6, c’est 3 fois 2.
Donc là, tu vas arriver à -2Pi/6, ce n’est pas très beau, mon dessin n’est pas très précis. -2Pi/6, c’est -Pi/3. Tu vois là il aurait plutôt fallu diviser en 3 parts égales. Ce quart de gâteau il faudrait le diviser en trois parts égales. Je peux peut-être essayer de le faire un petit mieux… on va effacer ça.
Tu vois c’est vraiment pour te montrer la démarche qu’il faut que tu aies. Des fois on tâtonne un peu quand on dessine mais ça va nous permettre de mieux comprendre.
Donc là, voilà, j’ai essayé de diviser en trois parts égales ce quart. Donc là on arrive à -2Pi/6. Tu vois imagine, on t’a donné un quart de gâteau, tu vas partager avec tes amis, tu vas être sympa tu vas partager de façon équitables et ne pas en garder une grosse part pour toi. Donc tu divises en trois, donc tu utilises les angles pour le faire.
Et donc là, tu arrives à -Pi/2, qui correspond en fait à -3Pi/6. Et là, on continue à avancer, -4Pi/6, et-5Pi/6 on va se trouver là. ET si on avance encore d’un Pi/6 et bien on va arriver à -Pi, -6Pi/6.

Donc tu comprends que notre angle, il est là. Je peux le faire d’une autre couleur, par exemple en mauve. C’est celui-là, donc tout ça.
Et là, ce que tu peux dire c’est que -5Pi/6, c’est aussi -Pi et tu lui as rajouté 1Pi/6. Tu vois, tu es parti de ce point rouge là et tu lui rajoutes 1Pi/6.
Tu te rappelles que le sens positif sur un cercle trigonométrique, c’est toujours dans ce sens-là. Donc là, le sens noir c’est bien +, donc là c’est bien +Pi/6 que tu ajoutes.
Donc là, on est parti de -PI, on a ajouté +Pi/6, tu vois ça se voit bien sur le dessin. Mais en fait, ça se prouve aussi par le calcul parce qu’en fait -Pi+Pi/6, et bien tu n’as qu’à faire le calcul, c’est pareil que -6Pi/6+Pi/6. Donc ça donne bien -Pi + Pi/6. Autrement dit, tu peux aussi l’écrire comme ça : c’est Pi/6-Pi.

Et là, ça y est tu as décomposé ton angle -5Pi/6 avec du Pi. Et donc maintenant tu mets le sinus devant, c’est parti.
Tu envisages le sinus de cette valeur, le sinus de -5Pi/6. Ça te donne sinus de (Pi/6-Pi). Et là, tu vois bien qu’on a un angle associé. Il est associé à Pi/6 quelque part. Donc c’est de la forme x-Pi. Donc là, on cherche sinus de (x-Pi)
Pour retrouver la formule, tu fais exactement ce qu’on à fait tout à l’heure : tu fais un petit cercle, tu places un petit angle dessus. Tu vois, moi je ne connais pas les formules par cœur, je fais toujours ce petit cercle pour les retrouver.
Tu places un x dessus, et une fois que tu as ton x, tu fais -Pi. Donc on va se retrouver là, c’est-à-dire que tu as fait -Pi, c’est-à-dire moins l’angle plat. Tu es allé dans ce sens-là et là, tu arrives à x-Pi.
Et là tu te demandes quel est le sinus de cet angle-là. Le sinus ça se lit sur l’axe des y, par rapport à ce point donc tu vas arriver… je fais en vert la valeur, je fais des pointillés et tu arrives sur l’axe des y, ici. Donc c’est cette valeur-là. Tu vois qu’elle est négative ici.
Et c’est quoi par rapport au sinus de x ? Ce n’est pas le cos parce que le cos il est trop grand. Tu vois c’est comme ça que ça marche cette petite technique. Et bien en fait c’est avec le sinus de x, mais moins le sinus de x. Parce que le sinus de x c’est cette valeur-ci, en rose, c’est cette longueur-là.
Donc tu vois bien que les deux longueurs en valeur absolue sont égales, mais vu qu’elles sont opposées tu dis : la valeur verte c’est moins la valeur rose.

Donc là tu arrives tout simplement à -sin Pi/6. Et sin Pi/6 c’est une valeur que tu connais. Alors on peut faire le petit cercle. Tu vois on fait souvent des petits cercles en trigonométrie. On peut réutiliser ce schéma.
Alors le sinus je peux le faire apparaitre en bleu clair, c’est ça, tu vois on arrive là. On reporte ce point bleu sur l’axe des y et on arrive là, tu vois c’est 1/2, on arrive au milieu. Tu vois ça se voit bien, même si mon dessin n’est pas très beau.
Donc là on arrive à -1/2. Voilà, donc j’espère que tu auras compris comment on a fait. Donc ici c’est la valeur finale de notre -5Pi/6.

Ce que tu aurais pu utiliser aussi, en fait, dès que tu as un sinus avec un moins, tu peux sortir le moins, parce que sinus de -x, c’est -sin x.
Pour le cos ça ne marche pas parce que cos (-x), je peux le mettre, c’est égal à cos de x directement.
Donc là, tu aurais pu partir différemment. Il y a toujours plusieurs chemins pour trouver le résultat. Sinus de -5Pi/6, c’est aussi -sin (5Pi/6). Le 5Pi/6 il est tout simple à voir sur le cercle trigo, c’est Pi-Pi/6 en fait.
Tu vois on est là, on est à Pi, tu lui enlèves Pi/6 tu arrives là, à 5Pi/6. Et tu vois bien que cette valeur-là, enfin la valeur de son sinus, c’est la même que la valeur du sinus de Pi/6 puisque Pi/6 il est là. Tu vois bien qu’ils ont la même hauteur ces deux points bleus. Ils ont le même y, ils ont le même sinus ces deux points.
Et ce sinus, et bien c’est cette valeur que je peux faire en rouge. Voilà, c’est 1/2 mais vu que nous, c’est moins ça et bien on retrouve notre -1/2.

Voilà, là je t’ai montré très rapidement une nouvelle façon de faire.
En tout cas j’espère que tu as bien compris la méthode. Tu décomposes l’angle à l’intérieur en fonction de 2Pi, de Pi, ou de Pi/2. N’hésite pas à faire des dessins, ça aide.
Et à la fin tu utilises les formules sur les angles associés que tu peux retrouver, tu as vu, très rapidement à l’aide d’un autre petit cercle.
Voilà, je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.