1ère S Calcul des variations d’une fonction polynôme du second degré

Vidéo 11: 1ère S Étude des variations d’une fonction polynôme du second degré

Voilà, donc dans cet exercice, nous devons donner les variations d’une fonction polynôme du second degré :

<calcul mathématique>

Alors comment faire? Vous savez sans doute que la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré, en fait la courbe d’une fonction F de ce type, est une parabole.

Alors qu’est-ce qu’une parabole? C’est une sorte de cloche. Alors là, je représente le cas d’une parabole où A est négatif. Mais une fonction F de ce type peut aussi avoir une parabole dans l’autre sens, c’est-à-dire la tête en bas. Ça c’est le cas où A est supérieur à zéro.

Alors pour vous en convaincre, il faut revenir à une forme simple de F. Regardez la forme la plus simple qu’on peut avoir ici c’est en mettant a=-1 et en mettant les autres coefficients à zéro – donc b=0 et c=0. On obtient :

<calcul mathématique>

C’est la fonction carrée, mais son opposée, que vous connaissez sans doute. Et, dans un repère orthornormé, cette fonction est la suivante – alors voilà j’ai tracé deux axes (abscisses et ordonnés). Je place rapidement le point 0, 1 et -1. Alors F de 0 c’est simplement 0 au carré, donc 0. F de 1, c’est-à-dire moins 1 au carré et 1 au carré c’est 1 donc -1. F de -1, c’est -1 au carré donc c’est -1 aussi.

Vous avez peut-être déjà remarqué que cette fonction est paire. C’est-à-dire que si on remplace X par –X et bien on obtient F(x). Donc, si elle est paire cela veut dire qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnés. Donc là, ça se vérifie bien sur les trois points que l’on a tracés. Donc, elle a cette forme-là. Voilà le cas typique d’une parabole avec la tête en haut, et donc tournée plus tôt vers le bas. Donc rappelez-vous que lorsque A est négatif, la parabole est tournée vers le bas, et que lorsque A est positif, la parabole est tournée vers le haut.

Prenons l’exemple suivant pour s’en convaincre. Donc A = 1, b=0 et c=0 comme dans l’exemple précédent. Donc on obtient :

<calcul mathématique>

Si je trace, de la même façon, deux axes – l’axe des ordonnés et l’axe des abscisses. Alors F de zéro, c’est tout simplement 0 au carré donc zéro. F de 1, c’est 1 et F de -1 c’est -1 au carré donc c’est 1. Et, de la même façon que la fonction précédente, on remarque dans ce cas particulier que la fonction est paire. Donc, on peut tout de suite la tracer. En fait c’est la fonction carrée, bien connue que vous connaissez sûrement.

Voilà. Donc j’ai pris deux exemples tous simples pour vous montrer que lorsque A est négatif, la fonction polynômiale du second degré est représentée par une parabole qui est tournée vers le bas et que lorsque A est positif, la parabole est tournée vers le haut. Donc, on va pouvoir donner les variations.

Donc, le tableau des variations dans le cas A est négatif – c’est le premier cas qu’on prend – alors il est le suivant. On a X et F(x). Alors vous savez que les fonctions polynômiales, qu’elles soient du premier, du second ou de n’importe quel degré, elles sont définies sur R. Il n’y a donc aucune valeur interdite. Donc X varie de plus l’infini à moins l’infini.

Dans le cas où A est négatif, on avait vu que la tête est en haut mais surtout que la parabole était tournée vers le bas. Donc A négatif – parabole tournée vers le bas : rappelez-vous de cela. Ce qui fait qu’elle est croissante jusqu’à un certain point, puis ensuite elle décroît.

Alors là dans cet exercice, je ne vais pas le montrer mais on voit assez facilement que la limite de F en moins l’infini, c’est moins l’infini, et que la limite de F en plus l’infini, c’est plus l’infini – toujours quand A est négatif.

Maintenant, il nous faut connaître le sommet. Vous savez sans doute que l’axe de symétrie d’une parabole égale :

<calcul mathématique>

Ça, c’est à connaître. Ensuite, pour connaître la valeur que prend F pour moins B sur 2A, et bien il suffit de calculer :

<calcul mathématique>

Alors on pourrait le faire en remplaçant dans cette expression X par moins B sur 2A mais peut-être que c’est trop compliqué. Vous connaissez peut-être la forme canonique de F :

<calcul mathématique>

Donc je suis d’accord avec vous, c’est une formule qui n’est pas nécessairement facile à connaître, mais elle est vraiment très intéressante. Puisque là, vous reconnaissez sans doute, juste au numérateur, on a Delta. Et elle est intéressante dans un autre cas puisque si on sait que moins B sur 2A est la valeur de X pour laquelle F prend son maximum, et bien lorsqu’on remplace X par –B sur 2A, on obtient zéro, dans cette expression. Ce qui fait que :

<calcul mathématique>

Et vous avez remarqué que tout ça ne dépend pas du signe de A. Donc on retrouvera cette formule-là de l’extremum pour A positif.

Donc justement, pour A positif maintenant. Nous avions dit que lorsque A est positif, la représentation de F qui est une parabole, est tournée vers le haut. Donc X varie toujours de moins l’infini à plus l’infini – ça ne change pas, la fonction est toujours définie sur R tout entier, et F(x). Puisque la parabole est tournée vers le haut, au début elle décroît, et ensuite elle devient croissante. Donc dans cet exercice la limite en moins l’infini de ce type de fonction est plus l’infini et la limite en plus l’infini est plus l’infini aussi, et l’extremum, qui est ici un minimum, est toujours moins B sur 2A.

<calcul mathématique>

Voilà donc pour les variations d’une fonction polynômiale du second degré.