1ère S Vecteur normal

1^ère S Vecteur Normal

Bonjour à toi et bienvenue sur star en maths tv.

Alors aujourd’hui dans cet exercice nous allons déterminer un vecteur normal à la droite d’équation

<calcul mathématique>

Dans cet exercice c’est extrêmement facile si tu connais ton cours, puisque lorsqu’on a cette forme d’équation droite, qui est de la forme de façon plus générale

<calcul mathématique>

Eh bien tu sais déjà qu’un vecteur normal à sa droite d’équation, eh bien c’est un vecteur/

<calcul mathématique>

D’accord ? Donc si tu connais ton cours, immédiatement tu peux déjà répondre à cette question. Donc ici, si on applique cette formule :

<calcul mathématique>

Donc là on aurait fini de répondre à l’exercice, mais j’aimerais aller un petit peu plus loin avec toi pour te montrer d’où ça vient. Alors on peut transformer cette équation de droite ici en une forme plus « classique », celle qu’on a plus l’habitude d’utiliser en 3^ème, 2^nde, et aussi en 1^ère et en terminale, parce que parfois elle est plus utile. Alors cette forme d’équation c’est tout simplement

<calcul mathématique>

Et ici on peut transformer notre forme d’équation en une forme

<calcul mathématique>

Très facilement, il suffit de :

<calcul mathématique>

Donc on obtient :

<calcul mathématique>

Donc ça c’est une forme très classique d’équation droite, et ici, très immédiatement tu reconnais :

<calcul mathématique>

Alors pourquoi je veux revenir à cette forme d’équation droite ? eh bien parce que ce qui est intéressant c’est qu’on a ici un coefficient directeur. Et le coefficient directeur par définition comme son nom l’indique, eh bien c’est ça qui dirige notre droite. Ici, il vaut :

<calcul mathématique>

Donc on sait d’ores et déjà par exemple que vu qu’il est positif, eh bien notre droite va monter. D’accord ? Quand le coefficient directeur est négatif, ici c’est pas le cas mais quand il est négatif, la droite est décroissante.

Alors, il y a autre chose aussi plus précisément que l’on peut savoir à partir de ce cœfficient directeur, c’est que :

<calcul mathématique>

Bon ici ce n’est pas tout à fait à l’échelle mais c’est pas très grave, c’est juste pour te montrer comment ça marche. Et c’est très intéressant de retrouver ici notre coefficient directeur puisque ça veut dire que le vecteur que je vais ici placr en couleur, eh bien ce vecteur là :

<calcul mathématique>

Eh bien ce vecteur c’est la somme de ce vecteur là et de ce vecteur là.

<calcul mathématique>

Alors tu me diras oui, mais c’est un vecteur directeur, alors que nous on recherche un vecteur normal à la droite. Et rappelons nous qu’un vecteur normal c’est un vecteur qui est perpendiculaire à la droite verte et qui n’est pas porté par la droite verte. Donc, comment trouver un vecteur qui serait perpendiculaire, orthogonal à ce vecteur D ? Eh bien c’est très simple, puisque dès qu’on a un vecteur d’une façon générale, on peut très facilement trouver un vecteur qui est orthogonal à ce premier vecteur :

<calcul mathématique>

Et ce vecteur là, je te le dis, c’est un vecteur qui est perpendiculaire au vecteur D. Alors pourquoi ? On peut le vérifier très rapidement, parce que :

<calcul mathématique>

Et quand le produit scalaire d deux vecteurs est nul, eh bien ça prouve que ces deux vecteurs sont orthogonaux, d’accord ? Ils sont perpendiculaires.

Donc ici ce qu’on a trouvé, eh bien c’est ce que l’on voulait. C’est le vecteur N ici qui est un vecteur perpendiculaire au vecteur D, et donc normal à la droite verte. Donc, voila le résultat.

<calcul mathématique>

Et si tu regardes bien, c’est exactement le même résultat qu’on a trouvé en utilisant la formule de cours, mais je voulais te montrer d’où ça vient. Alors dans cet exercice on nous demande aussi de trouver un vecteur normal ici. Mais en fait tu peux en déduire une infinité quand tu as trouvé un premier vecteur normal, puisqu’il suffit de multiplier les cordonnées de ce vecteur normal par n’importe quel scalaire. Un scalaire en mathématiques c’est tout simplement un nombre, tu peux multiplier les coordonnées de ce vecteur par n’importe quel nombre, donc par 2 par exemple :

<calcul mathématique>

Ça aussi c’est un vecteur normal à notre droite verte. Donc comme ça on pourra en déduire une infinité, on pourra multiplier par -1, -1,5, 1000, comme on veut.

Donc, voila, en conclusion à cet exercice, si tu connais ta formule de cours quand tu as cette forme d’équation droite ici, et là tu as immédiatement un vecteur qui est normal à la droite, et pas un vecteur directeur hein, c’est souvent une erreur qu’on peut faire, un vecteur qui est normal à la droite, donc perpendiculaire, et ce vecteur normal à la droite il est :

<calcul mathématique>

Sinon si tu n’es pas sûr, tu reviens à une forme classique, tu as accès au coefficient directeur de ta droite :

<calcul mathématique>

Voilà.