1ère Terminale S Définition dérivabilité, limite
- par Romain
- dans 1ère S, Dérivation, Dérivation, Limites, Terminale S
- sur 2 février 2011
En voilà un exercice bien difficile !
Il s’agit de connaître la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point.
D’une façon générale, exprime donc le rapport (f(x) – f(x0)) / (x – x0) et calcule sa limite quand x tend vers x0.
Cet exercice : un cas « un peu spécial »
Ici, la difficulté est que la fonction est définie un peu « bizarrement ». Elle est définie par ses restrictions à deux sous-ensembles de R : les réels strictement négatifs et les réels positifs ou nul.
Du coup, tu ne PEUX PAS calculer le rapport (f(x) – f(x0)) / (x – x0) en « une seule fois », c’est-à-dire pour tout x différent de x0. Non, il te faut le calculer pour les x strictement négatifs et pour les x strictement positifs.
Et ensuite, forcément, étudier la limite à gauche (limite quand x tend vers x0 par valeurs inférieures) et ensuite la limite à droite (limite quand x tend vers x0 par valeurs supérieures).
Savoir par coeur la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point, c’est bien, mais la voir en action, c’est beaucoup mieux !
Ainsi, tu sauras comment la manier !
A très vite,
Romain
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Vidéo 20: 1ère Terminale S Définition dérivabilité, limite Donc dans cet exercice, tu dois déterminer si F est dérivable en X zéro et déterminer le cas échéant : <calcul mathématique> Dans le cas présent, on a : <calcul mathématique> Alors, pour ceci il faut te rappeler la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point. Alors F est dérivable en X zéro si : <calcul mathématique> existe et est finie. D’accord? Donc si tu trouves une limite qui est plus ou moins l’infini, et bien ça n’ira pas. F ne sera pas dérivable en X zéro. Alors ici, on a X zéro qui est égal à zéro. Alors comment va-t-on faire? Donc l’idée, pour savoir si F est dérivable en zéro, c’est d’étudier cette limite-là quand x tend vers zéro. Alors, ce qu’il faut faire, c’est que vu que F se distingue selon que X est inférieur à zéro ou que X est supérieur ou égal à zéro, et bien il faut étudier ce rapport-là pour X strictement inférieur à zéro ou pour X supérieur ou égal à zéro. Donc, pour X strictement inférieur à zéro, on a le rapport qui est égale à : <calcul mathématique> D’accord? Donc pour les X strictement négatif, ce rapport-là vaut moins X. Ensuite, on peut étudier la limite de ce rapport quand X tend vers zéro. Et bien c’est tout simple; la limite de ce rapport, quand X tend vers zéro et par valeur inférieure, et bien c’est égal à : <calcul mathématique> Et la limite quand X tend vers zéro, que ce soit par valeur inférieure ou supérieure de moins X, c’est zéro. Donc, on a déterminé la limite quand X tend vers zéro par valeur inférieure de ce rapport-là, et elle vaut zéro. Ensuite, étudions la limite quand X tend vers zéro par valeur supérieure. Alors, ce rapport – essayons de l’exprimer : <calcul mathématique> Donc, on a la limite de ce rapport quand X tend vers zéro moins et zéro plus, c’est la même; c’est-à-dire zéro, donc on a en conclusion : <calcul mathématique> Donc, F est dérivable en zéro et surtout, F prime de zéro est égal à cette limite-là, donc égal à zéro. Voilà donc pour la solution de cet exercice. Alors l’exercice est un petit peu théorique, mais l’idée est de bien se souvenir de cette définition-là; c’est-à-dire F est dérivable en un point si, et seulement si, la limite de ce rapport existe et est finie. Les deux mots sont importants; existe et est finie. Alors ici vu que la fonction était définie de façon un petit peu compliquée, c’est-à-dire sur R moins étoile et sur R plus, alors il fallait étudier ce rapport-là pour X inférieur à zéro et pour X positif, et étudier les limites par valeur inférieure et la limite quand X tend vers zéro par valeur supérieure. Et, on obtient dans les deux cas, zéro. Donc, la limite quand X tend vers zéro existe, elle vaut zéro, et elle est finie. Donc on en conclut que F est dérivable en zéro et surtout, aussi, que F prime de zéro égal zéro. |
Tags: dérivabilité définition, limite à droite, limite à gauche
4 réponses
merci beaucoup monsieur ^^ c gentille de ta par 🙂
Mercii beaucoup pour cette vidéo !! Vous expliquez très bien!!
Continuez à poster 😀
[…] gratuit en vidéo, je vais t’expliquer la formule du taux de variation, et son lien avec la dérivée d’une […]
Bonjour, j’ai une énigme en maths à résoudre, peux tu m’aider ? La voici : combien au minimum faut-il de calendriers différents pour obtenir un calendrier perpétuel ?
Bises.