2nde Astuce pour factoriser un polynôme du second degré
- par Romain
- dans 1ère S, 2nde, Expressions algébriques, Polynômes
- sur 8 juillet 2011
Toute l’Astuce Détaillée dans cette vidéo :
Résumé de l’Astuce dans cette vidéo :
Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, je te montre une astuce permettant de factoriser un polynôme du second degré (je te rappelle aussi ce que c’est).
Factorisation d’un polynôme du second degré
Cette astuce ne marche pas toujours ! Tout simplement car tout polynôme du second degré (trinôme en fait) n’est pas factorisable !
Identité remarquable
Si tu comprends cette astuce, utilisant une identité remarquable, c’est vraiment super car elle est d’un niveau assez avancé.
L’idée de l’astuce :
Transformer les 2 premiers termes de ton trinôme (celui en « x au carré » et celui de puissance 1) en « (x+constante)² – constante² ». Puis, si ton polynôme est de la forme « ax²+bx+c », alors il devient « (x+constante)² – constante² + c »…
Différence de deux carrés
Cette identité remarquable, la différence de deux carrés, te permet de factoriser une différence de carrés. Donc si « c – constante² » est un nombre positif, alors c’est gagné, tu pourras factoriser ton polynôme.
Pas si facile, n’est-ce pas 😉 ?
Romain
Transcription texte de la vidéo | SelectMontrer> |
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Comment factoriser un polynôme du second degré ?
Bonjour et bienvenue sur starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui c’est un exercice de factorisation il va falloir factoriser l’expression : x²-3x+2. Comment on appelle ce genre d’expression, et bien en fait on appelle ce genre d’expression un polynôme du second degré. Tout simplement parce que ici tu as une inconnue x et tu l’as retrouves au carré, ensuite tu l’as retrouves puissance 1 et ensuite puissance 0 c’est-à-dire il y a une constante. En fait toute expression de la forme ax²+bx+c on appelle ça un polynôme du second degré et en première tu étudieras normalement un peu plus ces fonctions polynômes du second degré il y a aussi des fonctions polynôme du 3eme degré, 4eme degré. Bref, second degré ça vient de la puissance 2 ici. Quand tu as une puissance 2 au maximum on appelle ça un polynôme du second degré. Si c’était puissance 3 ce serait un polynôme du 3eme degré. En tout cas il s’agit ici de factoriser 2 polynômes du second degré. En première tu verras des outils qui te permettront de factoriser des polynômes du second degré très facilement mais quand tu es en seconde et bien de prime abord ce n’est pas très évident de transformer cette expression qui est une somme en fait de ces termes :
<Formule mathématique>
Donc tu as une somme ici de ces 3 termes. Vu que tu as une somme déjà ce n’est pas un produit de facteurs. Biensur l’expression n’est pas déjà factorisée sinon l’exercice n’existerait pas. Donc l’idée pour transformer ceci en un produit de facteurs c’est-à-dire pour factoriser et bien l’idée générale pour factoriser tu sais bien que c’est chercher un élément commun dans les 3 termes ici qui sont les 3 termes de ta somme sauf qu’en regardant un petit peu plus près il n’existe pas d’élément commun dans les 3 termes. Certes tu as x qui apparait ici comme étant x×x c’est x², tu as x qui apparait ici aussi dans le 2eme terme mais sauf que tu n’as pas de x dans le 3eme terme donc x n’est pas un élément commun aux 3 termes et je ne vois pas d’autres élément qui pourraient être commun à ces 3 termes dans cette somme. Du coup quelle est l’astuce qui va te permettre de factoriser cette expression ?
Et bien là je vais te montrer une astuce vraiment spéciale qui utilise une identité remarquable et cette identité remarquable c’est la suivante :
<Formule mathématique>
Ici tu as un x² pourquoi en fait ne pas essayer d’adapter ce x² à ce a² et ensuite ton -3x pourquoi ne pas essayer de l’adapter à ton +2ab ou à ton -2ab mais on a vu que ces 2 identités remarquables là ce sont les mêmes c’est juste que b est remplacé par –b dans la 2eme ce sont les mêmes identités remarquables. Donc ce qu’on va essayer de faire en fait c’est transformer x²-3x donc juste ces 2 premiers termes là sur la somme de tes 3 termes du début en quelque chose qui ressemble à ça. Tu vois donc je te dis on va transformer ton x² donc je réécris si tu veux juste l’expression initiale.
<Formule mathématique>
Et ça regardons ce que ça fait tout de suite, donc je redéveloppe.
<Formule mathématique>
Et voilà, donc là on à une transformation qui est tout à fait intéressante parce qu’à quoi ça nous a servi tout ça, regarde bien,
<Formule mathématique>
Je vais te montrer tout de suite à quoi ça sert. Voilà ce que nous avons fait, nous avons pris les 2 premiers termes de ce polynôme du second degré et nous les avons identifié à ces 2 premiers termes dans cette identité remarquable là plutôt que (a+b) ² on a pris (a-b) ² puisqu’il y avait un moins ici. Donc on a trouvé que notre expression :
<Formule mathématique>
Tu vois que quand on redéveloppe cette partie entourée en rouge on retrouve bien x²-3x donc il y a bien une égalité entre ces 2 choses là et donc biensur le +2 subsiste entre là et là tout simplement. Tu vas me dire, c’est bien joli d’avoir fait ça mais à quoi ça sert et bien c’est ce à quoi je voulais te répondre tout simplement :
<Formule mathématique>
Tu vois on a transformé déjà toute notre expression initiale en ceci, donc ce n’est pas fini allons plus loin. On garde :
<Formule mathématique>
Là tu vas me dire, c’est toujours pas factorisé parce qu’on a encore 2 termes qui sont ces 2 termes là. Donc ça reste toujours une somme même s’il y a un moins. Moins c’est toujours une somme c’est + (-1/4) si tu veux. Là on n’a toujours pas fini l’exercice, on n’a toujours pas factorisé. Oui mais là intervient une autre identité remarquable parce que tu connais cette identité remarquable qui est :
<Formule mathématique>
Je vais noter ça de façon un petit peu différente :
<Formule mathématique>
En fait on va nettoyer un peu ce qu’il y a dans les parenthèses et tu auras transformé tout ça qui est une somme de 3 termes donc pas du tout un produit de facteurs en un produit de facteurs donc tu auras bien factorisé ton expression. On termine :
<Formule mathématique>
Tu as vu qu’on a réussi à factoriser notre expression c’est exactement ce qu’on voulait faire donc je vais te rappeler un petit peu l’astuce, la méthode qui permet de factoriser ce genre d polynôme du second degré.
2nde Astuce pour factoriser un polynôme du second degré (2/2) L’astuce je te la résume très rapidement. Tu as un polynôme du second degré qui s’écrit : ax²1+bx+c. Ici notre a c’était 1, notre b c’était -3 et notre c c’était 2 d’accord, ce n’est pas les même a et b que j’ai utilisé dans les identités remarquables. Attention à ne pas confondre, ce qu’on a voulu faire c’est identifier notre x², a² dans cette identité remarquable. (a+b) ² si tu as un plus ici ou (a-b) ² si tu as un moins. Et là c’est ce qu’on avait pour le terme en puissance 1 on avait un moins 3. On va essayer d’identifier le -3x a –2ab. Notre a c’est tout simple c’est x. <Formule mathématique> Là tu as trouvé ton b. ce qui fait que tes 2 premiers termes se transforment en ça mais à b² près en fait donc tu as ton x²-3x qui valent bien a²-2ab. <Formule mathématique> Quand on est là le plus gros du travail est fait parce qu’ici tu as un carré. <Formule mathématique> Voilà donc pour l’astuce permettant de factoriser ce genre de polynômes. Je te dis qu’en première tu verras toute une méthode complète. On va étudier plus profondément les polynômes du second degré. Donc tu auras un tout autre outil pour factoriser ça mais quand tu es en seconde je te préconise d’utiliser cette astuce. Si tu là comprends c’est super parce qu’elle te permettra de factoriser très facilement ce genre d’expression alors que c’est pas du tout facile au premier abord. Rappelle toi que factoriser une expression c’est utile notamment pour résoudre des équations. Voilà pour cet exercice de factorisation un petit peu compliqué et si tu as compris la méthode je le répète et bien c’est superbe. |
Tags: différence de deux carrés, exercice de factorisation, exercice de maths, factorisation, factoriser un polynome, factoriser une équation, identité remarquable, vidéo maths
26 réponses
[…] Dans cet exercice de math gratuit en vidéo, un peu difficile pour le niveau seconde, nous allons résoudre une équation du second degré ! Voici la vidéo (très utile pour résoudre cette équation) dans laquelle je t’explique en détail comment factoriser un polynôme du second degré. […]
[…] astucieuse, c’est-à-dire en s’aidant d’une identité remarquable. Voici la vidéo pour factoriser une polynôme à l’aide de 2 identités remarquables (quand c’est possible ! […]
Merci Romain,franchement ce que tu fais c’est Génial.
Je suis actuellement en seconde et comme toi je voudrai faire math sup, math spé pour après rentrer à l’ENAC car je suis passionné d’aviation
Merci de ton commentaire Antoine, super projet 🙂 ! Je t’encourage à fond !
juste fann ! Waouh , merci ! 🙂
Merci « inconnue » 🙂
Merci j’en ai appris autant en une après-midi sur ton site qu’en un semestre au lycée 🙂
Bonjour
pour un plan d’experience; j’ai un polynom comme ça:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2+ a13x1x3+ a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e (les numéro sont des indices)
je veux l’écrire sous forme exponentielle ou bien périodique,
Est-ce que c’est possible??
pour t’aider sert toi du « TRIANGLE DE PASCAL »
voir => http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal
après je n’en sais pas plus…
Je trouve ton site très utile et tes vidéos sont assez clairs .
Mais j’ai un problème dans la vidéo résum » après avoir trouver a et b . Il y a un passage qui n’est pas très clair pour moi .
Pourquio tu as mis x^2 – 3 x = ( a-b) ^2 -b^2
C’est le moins du b que j’arrive pas à saisir
Voila et merci pour ton site il m’aie beaucoup
Bonjour Honelia,
Merci de ta question !
Car, quand tu développes (a-b)², cela donne a²-2ab+b², mais nous, on veut Seulement a²-2ab, pour « coller » à x²-3x, on ne veut pas du b² ! Donc, on l’enlève en faisant -b².
Donc (a-b)² – b² = a²-2ab , tu me suis ?
Romain
Dans l’exercice de factorisation d’un polynome du 2nd degré:
Dans la vidéo le premier terme x² n’a pas de chiffre multiplicateur (enfin si => 1 mais bon…) s’il y avait un chiffre différent de 1 exemple 2,3,4 etc…. qu’est ce que j’en fait ?? je le mets sous racine ?? exemple 5x² => V5x?
Ok Olive, si tu as ce genre de cas, alors 1ère étape, factorise par a.
Puis, dans la parenthèse après ton « a fois ( … « , et bien tu appliques la technique de la vidéo.
Romain
Romain
excuse moi mais je n’ai pas bien compris… oui en effet je suis un peu long a comprendre 😉 mais dans l’exercice de la vidéo tu as :
f(x)= x-3x+2 mais je te posais la question suivante si l’exercice était f(x)= 5x²-3x+2 …. le 5…. le mets tu sous racine? ce qui ferait racine de 5x (c’est le moment du 5minute 04seconds de ton explication)
merci de ton attention
y-a-t-il une solution à ma précédente question ??
quel logiciel utilise tu romain pour faire tes vidéos ?
Un logiciel de capture vidéo tout simplement!
Vos védios et vos expliquations Mr.Romain sont parfaits!
Vous m’avez sauvé d’avoir mois de la moyenne à la compostion de math grace à la védio de l’hémothitie!
Merci beaucoup!
Merci de ton message Caroline ^^ !
Romain
bonjour romain en faite baaah je suis une arabe lool j’adore tes leçons et pour comprendre les mots comme polynôme par exemple bah j’utilises google traduction et en arabe ça fait متعدّد الحدود en tout cas je te remercie du fond du coeur
:p Merci Lyna ! Je trouve le mot « polynôme » très joli en arabe ^^
Romain
bonjour romain,
merci pour les conseil que vous nous donnez. 🙂
J’ai quand meme un probleme que je n’arrive pas a résoudre… pour la rentré mon prof de maths nous a donné un devoir maison mais nous n’avons pas revu en cours comment factoriser une inéquation et meme avec vos vidéos je n’arrive pas a cet exercice… l’énoncé est:
Dans chaque cas, factoriser le membrede gauche, puis résoudre l’inéquation:
a) 4x²-9 inférieur ou égal à 0
b) (x+3)²-4 supérieur strictement à 0
le a) j’ai fais quelque chose mais je suis vraiment pas sure de moi tandis que pour le b) je suis complètement bloquée… pourriez vous m’aider svp? merci d’avance. 🙂
Bonjour Chloé,
Il suffit de « coller » à l’identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) :)!
Pour 4x²-9, tu transformes en (2x)²-3², et comme ceci le « a » est 2x et le b est « b ». Ainsi (2x)²-3² = (2x – 3)(2x + 3)
Je te laisse continuer : )
Romain
re bonjour,
Donc pour le a) j’avais écris:
4x²-9<0
4x²<0+9
4x²<9
4*x² sur 4*1 < 9sur4
x²<9sur4
x< racine carré de 9 sur racine carré de 4
x< 3sur 2
x0
(x+3)(x+3)-4>0
(x²+3x+x²+3x)-4>0
2x²+6x-4>0
Et après je coince encore et encore…
je crois que les 3/4 de mon commentaire se sont effacés… avant le (x+3)(x+3)-4>0 J’avais écris:
Ce que j’ai fais est donc faux? car je me suis contentée de résoudre l’équation en pensant que l’on ne pouvait pas factoriser car le membre de gauche n’est pas sous la forme de ax²+bx+c. mais puisque le membre de gauche est inférieur a 0 l’inéquation n’a pas de solution? je suis vraiment perdue si vous pouviez m’expliquer un peu ca serait génial…
et donc pour le b)
(x+3)(x+3)-4>0
(x²+3x+x²+3x)-4>0
2x²+6x-4>0
et apres je suis coincée encore et encore…
merci…
Bonjour, ta vidéo romain m’a bien aidé pour un exercice que j’avais à faire. Cependant comment fait on quand a= (-3x)2 ?