2nde Calculer les valeurs de sinus et cosinus de PI/4, PI/6 et PI/3

Comment retrouver les valeurs de cosinus et sinus de certains angles classiques à partir d’un carré de coté 1 et d’un triangle équilatéral de coté 1 ?

Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en maths, ici Romain j’espère que tu vas bien.
Alors, dans cet exercice qui comporte deux questions, nous allons retrouver les valeurs des cosinus et sinus de certains angles classiques comme les angles pi/4 radians, pi/3 radians et pi/6 radians.
Donc c’est plutôt un exercice qui s’adresse à toi si tu es en seconde même si tu peux le regarder aussi si tu es en première ou terminale, je pense que ça te rappellera des choses importantes.
En effet, dès la seconde maintenant on aborde la trigonométrie, c’est-à-dire l’étude des angles et des cosinus et sinus des angles à l’aide notamment du cercle trigonométrique.
Donc il y a des valeurs des cosinus et des sinus qu’il te faut connaitre dès la seconde et qui vont te servir en première et en terminale.

En fait ces valeurs, je vais les rappeler dans un tableau. C’est les valeurs que tu abordes dans le cours sur la trigonométrie et je t’encourage à les connaitre dans ce tableau qui est le suivant.
Pour les angles suivants : 0 radian, ensuite le premier angle c’est pi/6, pi/4, pi/3 radians et pi/2. Je crois que je n’en oublie pas.
Il te faut connaitre les valeurs des cosinus et des sinus de ces angles-là.
Donc je vais mettre juste en dessous cosinus et sinus. C’est un petit tableau qu’il te faut vraiment connaître, que je t’encourage à connaître dès la seconde parce qu’il va vraiment te servir par la suite.
Donc là, la ligne des cosinus et ensuite la ligne des sinus. On va essayer de remplir ce tableau, on va essayer de retrouver, tu vas voir, certaines de ses valeurs ensuite.

Donc là, cosinus de 0, c’est 1. Sinus de 0, c’est 0.
Cosinus de pi/6, c’est un nombre qui est assez proche de 1. Quand tu te rappelles de ce tableau, quand tu te le remémorises, je t’encourage à essayer de visualiser dans ta tête comment ça marche dans le cercle trigonométrique.
Là on ne va pas rappeler toutes ces choses-là, mais je t’encourage vraiment à visualiser où est ton angle pi/6, où est ton angle pi/4 radians etc. sur ton cercle et à visualiser où sont le cosinus et le sinus de ton angle une fois que tu as placé ton angle sur ton cercle.
Donc pi/6, tu te souviens, c’est un petit angle, donc son cosinus est assez grand, c’est la valeur racine de trois sur deux. Son sinus, ce sera 1/2.
Au niveau de pi/4 c’est le même cosinus, même sinus, c’est 1 sur racine de 2, ou racine de 2 sur 2, c’est le même nombre.
Pour pi/3, c’est l’inverse un petit peu de pi/6, c’est un angle qui s’approche petit à petit de pi/2 donc son cosinus va être plus petit que son sinus, donc c’est 1/2 son cosinus et son sinus c’est racine de 3 sur 2.
Et enfin pi/2. Cosinus de pi/2, c’est 0. C’est l’angle droit pi/2 radians. Et sinus de pi/2 c’est un.

Donc voilà les valeurs qu’il te faut connaitre vraiment. Il faut les apprendre petit à petit. Je sais que ce n’est pas forcément évident au début mais je t’encourage vraiment à les connaître et à les apprendre progressivement.
Donc là, on n’a pas rappelé qu’on parle d’angles en radians, dans l’unité radian, sachant qu’on ne convertit plus trop après en mathématiques, les angles en degrés.
Mais tu peux toujours connaitre leur correspondance en degrés à ces angles en radian. Par exemple pi/2, c’est tout simplement 90°. Pi/3 radians, c’est 60°. Pi/4 radians, c’est 45°. Pi/6, c’est 30°. Et 0 radian ce sera 0°.
Voilà.

Donc nous, dans cet exercice, dans cette première vidéo, nous allons faire la question a : à l’aide d’un carré de coté 1, nous allons retrouver les valeurs de cette colonne, la colonne de pi/4 radians.
Donc c’est aussi un moyen, ce que je vais te présenter dans ces deux vidéos, de retrouver les valeurs de ce tableau assez rapidement.
Donc si tu ne t’en souviens plus, si tu ne les connais plus par cœur ces valeurs -alors je parle des valeurs de ces colonnes-ci : pi/6, pi/4 et pi/3- et bien tu peux les retrouver très facilement sachant que les colonnes 0 radian et pi/2 radians, les valeurs des cosinus et sinus sont, à mon avis, pas très difficile à connaitre, c’est 0,1 ou 1 et 0.

Donc là, intéressons-nous aux valeurs du sinus et cosinus de pi/4.
Donc pour ceci on va dessiner un carré de coté 1. Je vais faire comme ceci. Voilà, un très joli carré comme tu le vois. Bon il n’est pas très très beau je te l’accorde.
Mais bon on va imaginer qu’il est de coté 1, c’est surtout ça qui nous intéresse. Tu peux reporter le 1 partout et tu peux aussi faire apparaitre les angles droits dans ce carré.
Quand tu fais une figure en mathématiques, je t’invite toujours à mettre tout ce que tu sais dessus, à faire apparaitre les angles droits, les longueurs etc. ça parait bête mais je t’encourage à toujours vraiment bien le faire.

Donc là, on va utiliser ce carré de coté 1 et puis on va essayer de faire apparaitre un angle de pi/4 radians c’est-à-dire je te rappelle 45°. C’est aussi la moitié d’un angle droit.
Donc comment faire apparaitre la moitié d’un angle droit dans un carré ? Et bien tout simplement en traçant l’une des diagonales. Donc c’est ce qu’on va faire. Je vais le faire en rose. On va tracer cette diagonale-ci.
On va dire aussi que c’est un carré ABCD. Et comme ceci, on a ici un angle de 45° c’est-à-dire en fait pi/4 radians.

Et maintenant, comment retrouver les valeurs de cosinus et sinus de pi/4 ? Et bien là, il te faut connaitre des vieilles formules de trigonométrie. Je pense que tu les as vues en collège.
C’est les vieilles formules qu’on retrouve souvent dans notre mémoire à l’aide d’un moyen mnémotechnique. Alors moi j’ai le moyen mnémotechnique suivant : CA SO TO /H H A. Mais toi tu as peut-être le moyen mnémotechnique CAH SOH TOA. Donc ça dépend. On va rappeler les 2.
Donc CAH SOH TOA, donc voilà le moyen mnémotechnique qui te permet retrouver les formules pour calculer le cosinus et le sinus d’un angle. Cosinus c’est C. Cosinus ça va être Adjacent sur Hypoténuse. Sinus ça va être l’Opposé sur l’Hypoténuse. Et la tangente, qu’on ne va pas utiliser dans cet exercice, ça va être l’Opposé sur l’Adjacent.
Et tout ceci dans un triangle rectangle.
ET le deuxième moyen mnémotechnique, moi c’est celui que j’avais appris au lycée, c’est CA SO TO /H H A, je trouve que c’est assez facile à retenir aussi. Voilà ça donne exactement les mêmes formules.
Le cosinus d’un angle c’est l’Adjacent sur l’Hypoténuse, dans un triangle rectangle. Le sinus c’est l’opposé sur l’hypoténuse et le tangente d’un angle c’est l’opposé sur l’adjacent.

Et bien là, tu vois que dans notre carré nous avons fait apparaitre un triangle rectangle. On en a même fait apparaitre 2 : celui du dessus et celui du dessous.
Donc le triangle ABD rectangle en A et le triangle DBC rectangle en C. Bon ça veut dire que dans ces triangles rectangles on peut appliquer ces formules-là. C’set ce qu’on va faire.

Donc là, le cosinus, je vais mettre des lettres, écriture littérale : le cosinus de l’angle BDC « chapeau », c’est ça qui va nous intéresser comme cosinus puisque l’angle BDC « chapeau » c’est un angle de pi/4 radians. Et bien ça vaut quoi ?
Ça vaut l’adjacent sur l’hypoténuse. Qu’est-ce que c’est que le coté adjacent à l’angle rouge ici ? À l’angle BDC « chapeau » ? C’est la longueur DC. Ce n’est pas la longueur rose puisque la longueur rose c’est l’hypoténuse.
Donc l’adjacent c’est DC sur l’hypoténuse DB. Donc maintenant on remplace. Cos pi/4 égal DC sur DB. DC, c’est combien ? C’est 1. C’est l’intérêt d’avoir pris un carré de coté 1. Donc c’est 1 sur l’hypoténuse, DB. Comment calculer DB ? On ne l’a pas tout de suite la longueur de cette diagonale DB.
Mais on peut la calculer très facilement à l’aide du théorème de Pythagore toujours en se plaçant dans le triangle rectangle DBC.
On applique Pythagore très rapidement : dans le triangle DBC on a, d’après le théorème de Pythagore… Je t’encouragerais à le noter de façon plus précise, sur ta copie tu mettrais : dans le triangle DBC rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore on a la relation suivante : BC carré +DC carré = DB carré
Ce qui fait que quand on remplace DB et DC par 1 on obtient :
« Calcul mathématique »

Et voilà comment on trouve notre hypoténuse : racine de 2, que je vais faire apparaitre sur la figure.
Dès que tu as trouvé un résultat dans un exercice de géométrie, n’hésite pas à reporter ce résultat sur la figure. Donc là on a trouvé notre racine de 2, la longueur de la diagonale.
Ce qui fait qu’on le retrouve ici aussi. ET voilà on a retrouvé la valeur de cos pi/4 ça vaut 1/racine de 2.
C’est aussi un nombre qui vaut racine de 2 sur 2. C’est le même que celui que j’ai indiqué ici, dans cette colonne.
1 sur racine de 2, pourquoi c’est égal à racine de 2 sur 2 ? Et bien il suffit de multiplier la fraction, haut et bas, par racine de 2.
Tu pourrais aussi garder 1 sur racine de 2, il n’y a pas de souci mais je veux juste te montrer que c’est aussi égal à racine de 2 sur 2.
Donc tu multiplies haut et bas de la fraction par le même nombre, ici racine de 2, et donc tu obtiens racine de 2 en haut sur racine de 2 au carré en bas, ce qui vaut 2. Donc on retombe bien sur racine de 2 sur 2.
Donc voilà comment on retrouve la valeur de cos de pi/4 à l’aide d’un carré de coté 1 en ayant fait apparaitre l’une des diagonales.

Et je pense que tu comprends qu’on va pouvoir avoir aussi sinus de pi/4 très facilement et pour ceci on va écrire littéralement :
Sin de BDC « chapeau », c’est égal à quoi en utilisant cette formule-ci, c’est-à-dire opposé sur hypoténuse ? Quel est le coté opposé à notre angle ici rouge ?
C’est tout simplement BC. Donc BC sur, toujours la même hypoténuse, DB. Et donc on obtient en remplaçant maintenant « les lettres » par ce qu’on connait :
Sin pi/4 ça va donner BC, c’est 1, sur notre hypoténuse qu’on a déjà calculé, qui vaut racine de 2.
Donc tu vois bien qu’on tombe sur le même nombre, c’est-à-dire 1 sur racine de 2, autrement dit racine de 2 sur 2.

Voilà comment on a résolu la première question de cet exercice. Je pense que tu as bien compris comment faire.
On a ici fait des rappels de cours. Mais c’était juste des rappels de cours pour te rappeler notamment que les valeurs de cosinus et sinus des angles classiques sont importantes à connaitre.
On a aussi rappelé les formules qu’on va utiliser pour retrouver ces valeurs-là, c’est-à-dire les formules des cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle.
Et on a dessiné un carré de coté 1, fait apparaitre un triangle rectangle, et dans ce triangle rectangle on a pu raisonner en utilisant ces formules-là.

Et pourquoi utiliser un carré ? Parce qu’un carré ça fait apparaitre, tout simplement, des angles de 45°, de pi/4 radians quand tu fais apparaitre une diagonale.
C’est juste pour ça qu’on a utilisé un carré. ET pourquoi de coté 1 ? Et bien pour se faciliter la tâche. Tu aurais très bien pu prendre un carré de coté 4 ou de coté 7000.
Mais bon en fait, on a utilisé un carré de coté 1 parce que ça rend les calculs simples. Tu vois, ici dans les quotients, DC ça devenait 1 et BC ça devenait 1 aussi.
Et l’hypoténuse, en plus, est facile à calculer avec le théorème de Pythagore.
Voilà comment on a procédé.

2nde
Calculer les valeurs de sinus et cosinus de pi/4, pi/6 et pi/3
vidéo 2/2

Dans cette vidéo nous allons nous attaquer à la 2ème question de cet exercice, c’est-à-dire la question b.
Nous allons en fait, à l’aide d’un triangle équilatéral de coté 1, retrouver les valeurs de cos pi/3, sin pi/3, cos pi/6, et sin pi/6.
En fait, les valeurs de ce tableau, correspondant à ces colonnes-là : pi/6 et pi/3 ici.
Tu vois j’ai laissé ce tableau des cosinus et sinus des angles classiques, parce qu’à mon avis, dès la seconde c’est un tableau qu’il faut apprendre.
Il faut connaitre les valeurs à l’intérieur parce que ce sont des valeurs remarquables qu’on retrouve très souvent dans les exercices et dans le cours sur la trigonométrie.

J’ai aussi laissé les formules -à mon avis ce sont des formules que tu as vues en collège même- qui permettent d’avoir le cosinus, et le sinus et même la tangente d’un angle dans un triangle rectangle.
Donc CA SO TO / H H A. ça dépend du moyen mnémotechnique que tu as appris, ou SOH CAH TOA mais en tout cas il faut bien connaitre ces formules-là parce que ce sont celles-ci qui sont à la base de ces valeurs.
Et c’est ce que je suis en train de te montrer dans ces vidéos.
Donc là on va retrouver à l’aide de ces formules ces 4 valeurs-là : les valeurs de cos pi/3, sin pi/3, cos pi/6, et sin pi/6.
Tu vois ce sont aussi des valeurs que tu peux retrouver facilement, c’est ça aussi que je veux te dire, si tu ne les connais plus par cœur, tu peux les retrouver facilement et remplir ce tableau facilement en dessinant un triangle équilatéral de coté 1 puis en faisant des petits raisonnements dedans.

Donc voyons quels raisonnements il faut faire pour retrouver ces valeurs.
Donc ce qu’on va faire c’est tout simplement un triangle équilatéral de coté 1. Donc je vais essayer d’en faire un le moins moche possible. Bon là il n’est pas parti pour être très joli mais ce n’est pas très grave.
Voilà notre triangle équilatéral. Ce n’est pas très grave s’il n’est pas très beau. Le but c’est de faire apparaitre les données importantes sur cette figure.
C’est-à-dire le 1. C’est un triangle équilatéral de coté 1 donc on met le 1 partout.

Alors je te disais que l’on peut utiliser ces formules ici dès qu’on est dans un triangle rectangle. Mais ici tu n’es pas dans un triangle rectangle;
Donc comment va-t-on faire pour faire apparaitre un ou des triangles rectangles dans notre triangle équilatéral ABC ici ?
Et bien c’est un petit peu la même chose que ce que nous avions fait dans le carré de coté 1 dans la question a, on va faire apparaitre ici, non pas une diagonale parce que ça n’existe pas dans un triangle, mais une hauteur.
On va faire apparaitre par exemple la hauteur issue du sommet B. Donc une hauteur tu te souviens, c’est une droite qui passe par un sommet et qui coupe perpendiculairement le coté opposé, donc ici [AC].

Donc je vais la faire apparaitre comme ceci. Donc ici ce n’est pas très très clair mais normalement une hauteur dans un triangle équilatéral, qui est aussi un triangle isocèle en B parce que AB=BC et donc dans un triangle isocèle, une hauteur est aussi une médiane.
Donc ça veut dire quoi ? Et bien ça veut dire que la hauteur, noire, coupe AC en son milieu. Ça c’est une donnée importante. Donc ici, on a 0,5 et 0,5. Je vais le faire apparaitre en mauve : on a cette longueur-ci et cette longueur-là qui valent 0,5.
Je rappelle pourquoi : parce qu’une hauteur dans un triangle isocèle, c’est aussi ce qu’on appelle une médiane, et une médiane c’est une droite qui passe par le sommet et qui coupe le coté opposé en son milieu. A ne pas confondre avec médiatrice.
Je t’encourage à bien connaitre les 4 droites importantes dans un triangle et pour un segment : médiane (ça c’est que pour un triangle), médiatrice (ça c’est pour un segment), bissectrice (ça c’est pour un angle) et aussi la hauteur (ça c’est dans un triangle).
Ce sont les 4 droites qu’on utilise souvent en mathématiques.

Donc là, voilà on a fait apparaitre deux triangles rectangles. Donc ça va être intéressant puisqu’on va pouvoir utiliser nos formules ici.
Je vais même faire apparaitre un nouveau point. Le point H, ici qui est le milieu de notre segment AC.
Donc maintenant comment faire apparaitre les angles pi/3 et pi/6 ?
Et bien c’est très simple, vu que tu sais que la somme des angles d’un triangle fait 180°, dans un triangle équilatéral, vu que les 3 cotés sont égaux, les trois angles aussi sont égaux. Les trois angles font chacun 60° pour que la somme des 3 soit 180.
Bref ce que je suis en train de te dire c’est que dans un triangle équilatéral, chaque angle fait 60°.
Donc là tu as 60°, là aussi et là aussi. Même si sur ma figure ça ne se voit pas très bien. Donc là on va faire apparaitre sur la figure 60°, c’est-à-dire pi/3 radians.
Tu sais qu’en mathématiques, à partir du moment où on voit les angles en radians, on n’utilise plus que cette unité là, on oublie un petit peu les degrés mais tu peux garder à l’esprit la correspondance.

Et maintenant c’est parti, on va calculer le cosinus de pi/3. On va le faire tout de suite avec pi/3, on ne va pas écrire l’angle BAC « chapeau » même si on pourrait le faire.
Cos pi/3, on utilise cette formule ici, c’est-à-dire coté adjacent sur hypoténuse. On se place bien dans le triangle rectangle BAH, rectangle en H.
On ne se place plus dans le triangle BAC parce qu’un triangle équilatéral n’a pas d’hypoténuse. Tu sais que l’hypoténuse ça n’existe que dans un triangle rectangle.
Qu’est-ce que c’est que le coté adjacent à notre angle BAC « chapeau » ? Et bien c’est le coté AH parce que c’est le coté qui compose notre angle et qui n’est pas l’hypoténuse parce que l’hypoténuse c’est AB. Ça va être notre hypoténuse : AH/AB
Donc tu as vu, c’était ça l’intérêt de dire que la hauteur c’est aussi la médiane : AH c’est 0,5 puisque la médiane coupe AC en son milieu.
Et le AB, c’est un coté de notre triangle équilatéral initial, donc c’est 1. Donc on obtient 0,5 et donc 1/2 sous forme de fraction. Donc là on a retrouvé cette valeur cos pi/3=1/2.

Donc maintenant on continue avec le sinus de pi/3. Je pense que tu as bien compris comment ça marchait tout ça maintenant;
Sin pi/3, ça va être l’opposé sur l’hypoténuse. C’est vraiment à ce moment là qu’il ne faut pas se tromper. Au moment de distinguer ce qu’est le coté adjacent à ton angle, ce qu’est le coté opposé, ce qu’est l’hypoténuse.
C’est pour ça qu’il faut progresser par étapes.
A partir de notre triangle équilatéral, on a fait apparaitre un triangle rectangle (même 2, il y a aussi le triangle BCH) et dans le triangle BAH, celui qu’on a choisi, on a fait apparaitre l’angle pi/3 et dedans on distingue bien ce qu’est le coté adjacent : c’est AH.
Du coup c’est quoi le coté opposé à notre angle rouge ici ? Et bien c’est BH, c’est le coté qui ne compose pas ton angle. Il est en face de l’angle.
Donc BH sur l’hypoténuse. L’hypoténuse c’est tout simplement 1, c’est AB.

Alors maintenant le challenge c’est de calculer ce BH ici. C’est peut-être le moins simple.
Comment calculer BH sachant qu’on connait dans notre triangle rectangle l’hypoténuse AB et l’autre coté, AH qui vaut 0,5.
Et bien il faut appliquer le théorème de Pythagore. Tu te places dans le triangle ABH rectangle en H. Là je n’ai pas trop de place mais sur ta copie, il faudrait bien marquer « dans le triangle ABH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore »
Tu sais bien qu’on applique Pythagore uniquement dans un triangle rectangle. C’est pour ça qu’on se place bien au début dans un triangle rectangle, il faut bien le dire dans ta copie.
Et donc là, on applique le théorème de Pythagore, on obtient :
« Calcul mathématique »
On obtient racine de 3 sur 2. C’est là qu’apparait ce nombre racine de 3 sur 2 qui vaut je crois un petit peu plus de 0.7, donc c’est un nombre assez proche de 1.

Donc voilà comment on a trouvé BH. En appliquant le théorème de Pythagore et en résolvant notre équation à une inconnue qui était BH.
On a isolé notre BH, on a trouvé BH= racine de 3 sur 2.
Donc là on obtient racine de 3 sur 2, le tout sur 1. Et je te disais que sur 1, ça ne sert à rien en fait, c’est comme fois 1, ça ne sert à rien.
Ça nous laisse donc seulement le racine de 3 sur 2.
Donc ça y est on a retrouvé notre valeur de sin de pi/3 radians, c’est-à-dire cette valeur-ci du tableau des cosinus et sinus des angles importants.

Donc là on va faire exactement la même chose mais un petit peu plus rapidement pour pi/6.
Vu que dans un triangle isocèle, une hauteur c’est aussi une médiane, et bien c’est aussi une bissectrice.
Une bissectrice c’est une droite qui coupe un angle en deux angles égaux.
Donc ici au niveau de ABC « chapeau » on obtient deux angles égaux. Donc forcément, cet angle ABC « chapeau » qui vaut à la base pi/3 radians, il est divisé en deux angles égaux de pi/6 et pi/6.

Donc en fait on raisonne exactement de la même façon avec cosinus de pi/6 en utilisant cette formule et toujours dans notre triangle rectangle BAH rectangle en H.
Donc je vais le faire très rapidement ici.
Cos pi/6 : on utilise notre formule adjacent sur hypoténuse. Qu’est ce que c’est que le coté adjacent à notre angle ici rouge ? Et bien c’est tout simplement BH.
On va mettre directement les valeurs : racine de 3 sur 2, ça c’est BH, le tout sur l’hypoténuse. L’hypoténuse c’est 1 donc en fait on retrouve notre « sur 1 » qui ne sert pas à grand chose. Donc en fait racine de 3 sur 2.
Donc voilà on a retrouvé notre cosinus pi/6. Tu vois dès qu’on a calculé BH, qui était notre seule longueur inconnue dans notre triangle BAH, et bien c’est assez facile de trouver la suite.

Donc là on va trouver notre sinus maintenant de pi/6.
C’est l’opposé sur l’hypoténuse. Toujours la même formule du sinus d’un angle dans un triangle rectangle.
Qu’est-ce que c’est que le coté opposé à cet angle là dans notre triangle rectangle ? Et bien c’est AH.
Donc on va trouver AH sur hypoténuse c’est-à-dire AB. AH c’est un demi et vu que l’hypoténuse c’est 1 et bien ça ne change pas le 1/2. 1/2 sur 1 donc 1/2.

Voilà comment on a retrouvé nos 4 valeurs.
J’espère que tu as bien compris. Le but c’était simplement de faire apparaitre des triangles rectangles dans notre triangle équilatéral.
Pourquoi on l’a pris de coté un notre triangle ? C’est toujours pour simplifier les calculs. A chaque fois l’hypoténuse valait 1 donc c’était très simple à calculer.
Et on a utilisé les bonnes vieilles formules du cosinus sinus et tangente d’un angle dans un triangle rectangle.
Ces bonnes vieilles formules que je t’encourage à garder à l’esprit puisque ce sont elles finalement, qui sont à la base de tous ces calculs et des valeurs que tu trouves dans ce tableau.

Donc voilà, tout ce qu’on a fait, les réponses aux questions a et b de cet exercice, c’est un moyen de retrouver les valeurs de ce tableau.
Donc si tu ne te souviens vraiment plus des valeurs de ce tableau, même si je t’encourage vraiment à les connaitre par cœur, et bien tu peux les retrouver assez facilement en dessinant un carré de coté 1 ou un triangle de coté 1 pour pi/3 et pi/6.