2nde Comment avancer quand on bloque devant une équation ?

Comment résoudre une équation ?
Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien. Aujourd’hui nous allons résoudre deux équations, plutôt niveau seconde.
Dans une première vidéo on va faire une première équation. Et une deuxième équation dans une deuxième vidéo. EN fait, ce que j’aimerais te transmettre dans ces vidéos, c’est d’avoir en tête les premières tactiques de résolution d’équations.
Il faut que tu connaisses certaines tactiques de résolution, et une fois que tu sais que tu peux appliquer certaines choses pour débloquer une situation, pour avancer dans la résolution d’une équation et bien il faut effectivement appliquer ces tactiques à ton équation pour essayer d’avancer.
parfois tu essaieras des choses, tu tomberas dans des culs-de-sac parce que tu seras bloqué et il ne faut pas hésité à revenir au tout début, à ton équation de départ pour essayer une autre tactique, une autre piste.
Juste pour préciser, là je suis avec un de mes élèves. Donc n’hésite pas à te mettre à sa place, c’est-à-dire à essayer de répondre aux questions que je lui pose pour voir un petit peu comment tu ferais dans cette situation de résolution d’équation.

– comment tu aurais l’idée de résoudre ça ? Souviens-toi, pour résoudre une équation ou une inéquation, il y a deux techniques en gros. La première technique c’est celle que tu utilises depuis longtemps. C’est quoi pour toi ?
– Ben identité remarquable.
– Non, ça ce n’est pas la première technique. Je dirais que c’est une technique assez avancée. C’est déjà d’un niveau plus haut. La première technique c’est d’essayer d’isoler le x, c’est-à-dire de le mettre tout seul d’un côté. Ça c’est la première technique qui n’est pas toujours faisable. C’est pour les équations et inéquations qui sont simples.
Donc là, tu pourrais essayer d’appliquer cette technique. Une autre technique, je dirais que c’est la deuxième, c’est d’essayer d’utiliser les identités remarquables ou pas d’ailleurs mais c’est d’essayer de factoriser en fait. En fait, les identités remarquables te permettent de factoriser. Donc le but c’est d’essayer de tout passer d’un côté et d’essayer de factoriser.
Donc est-ce que tu ne pourrais pas essayer de faire ça ? De factoriser.

– Est-ce que tu veux qu’on essaie d’isoler le x, d’appliquer la première technique ? C’est peut-être la première idée que tu aurais, donc tu aurais peut-être envie de développer ici à droite.
– Non non, je pense qu’il faut un facteur commun.
– ok, donc toi, tu aurais plutôt cette idée. De toute façon en maths, il faut essayer. Ok. Donc quel facteur commun tu vois ici, à gauche ou à droite ? Choisis.
– 2x-5. x(2x-5).
– Voilà, ça c’est bien : x(2x-5). C’est bien ça, tu as fait apparaitre un 2x-5 et c’est pas mal parce qu’il y en a un aussi à droite.

Et tu ne veux pas qu’on passe tout ça à gauche ?
– Ben si.
– Alors c’est parti, qu’est-ce que ça fait ?
-x(2x-5)-(2x-5)(2x+4)=0
– Il te reste 0 puisque tu as passé tout ça à gauche. Tu vois on transforme l’équation, on garde bien le 0 à droite. Qu’est-ce que ça donne par la suite ?
– (2x-5)(x-(2x+4))
– 2x+4 il faut le mettre entre parenthèses à cause du moins. C’est important. Et donc égal 0 toujours.

Bon, comment on continue ?
– ça va faire (2x-5)(x-2x-4)
– égal 0, il faut que tu me dises le =0 aussi. On continue.
– (2x-5)(-x-4)=0
– Voilà. Et comment tu résous ce genre d’équation ?
– Ben c’est une équation produit.
– Oui, et ça te dit quoi une équation produit ?
– 2x-5=0 ou -x-4=0
– C’est parfait, c’est très bien.

Qu’est-ce que ça te donne dans le premier cas ? Tu peux mettre une accolade, tu n’es pas obligé.
– Donc ça va faire : 2x=5 et donc x=5/2.
– Tout à fait. Donc ça, c’est une première solution. ET ensuite ?
– x=-4.
– Oui, donc comment tu conclus ? Tu notes S=… tu te souviens, ça s’appelle une accolade : S={-4 ; 5/2}. C’est des accolades, attention, ce ne sont pas des crochets. C’est parfait.

-Mais je n’ai pas compris pourquoi on doit mettre des accolades.
– Ah ok, très important. Pourquoi ce n’est pas des crochets ? Parce que des crochets, tu sais, ça te donne un intervalle. Tu sais, si on avait mis des crochets là par exemple, autour, ouverts ou fermés, ça te donne un intervalle. Et un intervalle, c’est quoi ? C’est un ensemble de tous les nombres entre -4 et 5/2.
Et attention, là ça va ils sont rangés dans l’ordre croissant. Mais on ne veut pas tous les nombres entre – 4 et 5/2. On ne veut que -4 et 5/2. Et cet ensemble-là, parce qu’un intervalle c’est un ensemble de nombres et ça aussi c’est un ensemble de nombres. Cet ensemble il ne comporte que deux nombres alors que dans un intervalle il y a combien de nombres à ton avis ?
– euh, tous ceux compris…
– Ouais, en fait, il y en a une infinité. Par exemple entre 1 et 2 il y a 1,1 ou 1,001 ou 1,00001 1,5 1,73… Tu vois il y en a une infinité. Alors que nous on veut juste 2 nombres : celui-là et celui-là. Donc ça se met entre accolades. Tu me suis ?
-ouais.
-Ok, donc ça, c’est important : la différence entre accolades et les crochets qui concernent en fait les intervalles. D’accord ?

Bon et bien c’est parfait. Tu as vu, ici on a employé la deuxième technique, c’est-à-dire la factorisation. On a tout passé à gauche et ensuite on a factorisé et on est tombé sur une équation produit qui est facile à résoudre.

Comment avancer quand on bloque devant une équation ?
vidéo 2/2
2ème équation

Comment on va résoudre cette équation ? Toujours 2 tactiques. 1ère tactique : soit tu essaies d’isoler le x en développant tout. Deuxième tactique : tu passes tout à gauche ou à droite et tu factorises.
Et pour factoriser, tu peux avoir à utiliser les identités remarquables.
– Je pense qu’il faut faire (2x+3)(2x-3)
-Ouais c’est très bien mais là, tu vas même un peu vite. C’est bien ce que tu m’as dit, ça marche mais c’est rapide. Tu aurais pu te tromper, il faut faire attention. Donc qu’est-ce que tu as remarqué ici ? Qu’est-ce que c’est que ça ?
– C’est l’identité remarquable a²-b².
– Oui mais tout à fait. Pas au premier abord parce que je n’ai pas quelque chose au carré moins quelque chose d’autre au carré. J’ai juste le x au carré ici. Qu’est-ce qui est au carré ?
– Et bien c’est 2x.
– Oui c’est ça, c’est 2x. Et qu’est-ce que c’est que 9 ?
– Et bien c’est 3².
– tu vois ça parait bête ce que je te demande là mais il faut bien le dire et l’écrire. Il ne faut pas aller trop vite. N’écris pas tout de suite, direct sur ta copie : c’est (2x+3)(2x-3). C’est vrai si tu veux, mais c’est un peu rapide ce passage. Donc il faut que tu détailles et que tu dises d’abord c’est ça et ensuite c’est ça. Ok Ryan ? Attention à ne pas aller trop vite. Il faut que tu ailles lentement parce que tu aurais pu te tromper. Là il se trouve que c’est bon mais il faut faire attention. Donc (2x)²-3²=3(2x+3)²

Alors comment on continue ? Je t’écoute. Qu’est-ce que c’est que l’identité remarquable, est-ce que tu peux me la poursuivre ? Qu’est-ce que ça vaut a²-b² ?
– ça vaut (a-b)(a+b).
– Qu’est-ce que c’est ton a et ton b dans notre cas ? Pas le a², juste le a.
– Mon a c’est 2x et mon b c’est 3
– C’est très bien. Donc, ça vaut quoi juste cette chose là ?
– (2x-3)(2x+3).
– Oui et à droite qu’est-ce que ça vaut ? Toujours pareil. On va garder ça. Et qu’est-ce que tu veux faire maintenant ? Tu ne veux pas le passer à gauche ça ?
– Ben si. Donc ça va faire -3(2x+3)².
– Voilà. Le carré il s’occupe de quoi d’ailleurs ? Il s’occupe juste de 2x+3 d’accord ? Et donc égal 0. Voilà. Ensuite ?

– Donc je prends (2x+3) et (2x+3)
– Ok, là on a un élément commun qu’on peut entourer. Tu peux l’entourer au crayon à papier par exemple pour te dire bien que tu vas factoriser par ça. À toi de me dire ce qu’on va écrire ensuite.
– Et bien on écrit (2x+3) facteur de (2x-3-3…
– juste -3 ?
– facteur de (2x+3).
– Voilà c’est très bien. J’ai cru que tu allais l’oublier. (2x+3)(2x-3-3(2x+3))=0. Ça marche. Très bien. On rappelle bien que (2x+3)² c’est (2x+3)(2x+3). Et ça vaut toujours 0. Donc là, on y est presque, on a presque terminé. On va simplifier tout ça ici. Ça nous donne quoi ?
« Calcul mathématique »

-Donc ça fait (2x+3)(-4x-12)=0. Donc ça fait 2x+3=0
– Oui ce qui te fait combien pour x ?
– x=-3/2.
– parfait : première solution. Deuxième solutions ? On va y aller lentement.
– -4x-12=0. Donc -4x=12
– Donc x=12/-4, ça fait -3. Donc tu notes solutions à la fin : S={-3;-3/2}. Essaie de les ranger dans l’ordre croissant même si ce n’est pas forcément obligatoire mais c’est mieux.

C’est très bien. Parfois on n’est pas toujours sûr de la méthode qu’il faut employer, de la piste. Donc il faut essayer.
Il y a l’identité remarquable ici a²-b² mais par contre il ne faut pas aller trop vite. C’est très important Ryan, il ne faut pas aller trop vite. Il faut d’abord que tu écrives ça comme ça. C’est très important parce que sinon le professeur ne va pas comprendre comment tu as fait.