2nde Comment calculer le volume d’un tétraèdre ?

2nde Comment calculer le volume d’un tétraèdre ?

Comment calculer le volume d’un tétraèdre ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons un cube en noir ici, ABCDEFGH et il faut déterminer l’aire d’un triangle BCF puis le volume du tétraèdre KBCF. Donc on sait que le cube est de côté 6 et que K est le milieu du segment [AD].

Donc relisons la question, il faut déterminer l’aire du triangle BCF, 1ere étape, puis le volume du tétraèdre KBCF. Alors nous allons faire un rappel de ce qu’est l’aire du triangle ou l’aire d’un triangle en général. Donc l’aire d’un triangle tu sais que c’est tout simplement :

<Formule maths>

Ça c’est la formule générale et nous on va l’appliquer au triangle BCF et là on va utiliser enfin les données de l’énoncé donc on va bien sûr calculer l’aire du triangle BCF mais qu’est ce qu’il a d’intéressant ce triangle BCF ? Vu que BC et BF ce sont des arrêtes du cube ABCDEFGH et bien ici l’angle CBF il est droit en B, c’est un angle droit. Donc on va l’indiquer tout de suite sur la figure :

<Schéma maths>

Le fait que BCF soit un triangle rectangle en B et bien son aire va être très simple à calculer parce que par exemple si tu choisis le coté BC comme étant la base de ce triangle pour le calcul de son aire et bien la hauteur va être directement BF donc c’est très facile tu n’as pas à t’embêter en fait à construire la hauteur et calculer sa longueur. En fait tu as tout de suite une base et la hauteur correspondante. Tu pourrais aussi prendre comme base de ce triangle BF et la hauteur correspondante BC.

<Formule maths>

Or BC et BF sont des arrêtes de ton cube ABCDEFGH et ton cube est de coté 6. Ça veut dire que BC c’est une arrête du cube, sa longueur c’est 6 et de la même façon pour BF c’est aussi une arrête du cube et sa longueur c’est 6. Du coup tu vas obtenir BC c’est 6, BF c’est aussi 6 sur 2.

<Formule maths>

Voilà l’aire de ton triangle BCF qui on le rappelle est rectangle en B. ça c’était la 1ere partie de la question maintenant on te demande, on imagine qu’il va falloir utiliser ce que tu as trouvé comme réponse à la 1ere partie de la question. On te demande de calculer le volume du tétraèdre KBCF. Le tétraèdre KBCF c’est celui que ‘j’ai représenté en rouge sur la figure. Un tétraèdre c’est un polyèdre qui a 4 faces. Rappelle toi que tétra en grec ça veut dire 4, donc tétra forcement tu auras 4 faces et c’est ce qu’on retrouve ici, tu as la face justement le triangle BCF dont on vient de calculer l’aire, tu as la face BFK qui est vers toi un peu, la face du dessous qui est BCK et la face de derrière qui est KCF donc 4 faces. Maintenant on te demande de calculer le volume de ce tétraèdre, il y a une formule aussi et la formule du volume d’un tétraèdre ressemble un petit pu à celle de l’aire d’un triangle bien sûr au passage le volume, un volume c’est toujours quelques chose que l’on calcule en 3 dimensions et ça se mesure d’ailleurs en m³ en physique et une aire ça se mesure en m², sur ta feuille c’est en 2 dimensions. Mais tu vas voir que la formule ressemble étrangement à celle de l’aire d’un triangle.

<Formule maths>

Pourquoi cette formule du volume d’un tétraèdre ressemble à la formule de l’aire d’un triangle ? Et bien parce que tu as ici l’aire de la base et dans un triangle tu as la base en fait c’est la longueur de la base et tu as aussi la hauteur et dans les 2 cas tu vas aussi diviser par un coefficient certes ce n’est pas le même en 2 dimensions pour un triangle c’est 2 en en 3 dimensions pour un tétraèdre c’est 3.

Comme je te disais, la base que tu vas choisir de ton tétraèdre tu vois pour un triangle tu choisis l’un des cotés pour un tétraèdre tu choisis l’une des faces comme étant sa base et bien vu qu’on a calculé l’aire de la face BCF du tétraèdre KBCF et bien c’est cette base là que nous allons choisir. C’est cette face là BCF que nous allons choisir et on a calculé son aire qui vaut 18. Donc on va retrouver directement le 18 dans cette formule du volume du tétraèdre :

<Formule maths>

Avant de calculer la longueur h donc la longueur de ta hauteur issue de la base BCF il faut déjà l’identifier il faut savoir ce que c’est que la hauteur h issue de ta base BCF. Et bien sur ton schéma la hauteur issue de la base BCF c’est un segment qui est perpendiculaire à cette base BCF et qui va vers le sommet opposé à la base et le sommet opposé à cette base là c’est K. donc la hauteur doit être un segment perpendiculaire à BCF c’est ce segment là sachant que tu retrouves un angle droit ici :

<Schéma maths>

Je rappelle rapidement ce que c’est que la hauteur dans un triangle :

<Schéma maths>

pour un tétraèdre tu choisis l’une des face comme étant la base, tu prends donc la droite perpendiculaire à cette base qui passe par le sommet opposé à la base et il y en a qu’une de droite comme ça qui existe et cette droite pour le tétraèdre rouge et pour la base BCF c’est la droite verte que j’ai tracée ici. Donc regarde ce qu’on peut faire aussi c’est, on peut redessiner la face de dessous de notre tétraèdre c’est-à-dire la face BCK puisque c’est dans cette face que se joue notre hauteur c’est dans cette face que ce trouve notre hauteur h :

<Schéma maths>

Tu vois que la 1ere étape c’était d’identifier chacun des composants de la formule, l’aire de la base, la hauteur et puis bien sûr le diviser par 3 mais il n’y avait pas besoin de l’identifier tu es daccord.une fois que tu as identifié chacune de ces 2 choses : la base et la hauteur et bien il faut les calculer. L’aire de la base nous l’avions déjà calculée dans 1ere partie de notre question et nous avions intelligemment choisies notre base de façon à ce que ça corresponde à ce qu’on avait trouvé à la première question. La base c’était BCF et la hauteur tu l’as identifié en redessinant une partie de ton schéma et souvent c’est très utile de redessiner une partie pour clarifier. Donc ici plutôt que de faire quelque chose encore en 3D on a redessiné la face qui nous intéressait, la face même du cube qui nous intéressait et ainsi en redessinant cette face ABCD du cube et celle du tétraèdre KBC et bien tu remarques que la hauteur h on l’a identifiée et on sait aussi combien elle vaut. Vu qu’il y a un angle droit ici et bien cette hauteur h elle est égale aux arrêtes de ton cube. On a une égalité entre la longueur de cette hauteur et la longueur des arrêtes de ton cube donc h=6.

<Formule maths>

Voilà comment on résout un tel exercice, bien sûr il faut connaitre é ou 3 formules de ton cours ici l’aire d’un triangle et aussi le volume d’un tétraèdre et tu vois qu’elles se ressemblent un petit peu. 1ere chose il faut connaitre des formules de ton cours ensuite il faut faire un schéma qui est vraiment clair sur lequel tu mets toutes les informations de l’énoncé. Là il y avait déjà un schéma mais tu vois que petit à petit on l’a complété de ce qu’on avait trouvé notamment l’angle droit ici en rose et l’angle droit en mauve et ensuite notre hauteur h et ensuite il faut pas hésiter pour trouver en fait, pour calculer les composantes de tes formules ici plus particulièrement la hauteur il ne faut pas hésiter à redessiner donc faire des schémas qui clarifient certaines sous zones de ton schéma initial et c’est ce qu’on a fait en passant de ce schéma global à ce schéma ne représentant que la face du dessous, ton cube ou aussi la face du dessous de ton tétraèdre en rouge. Donc tu as compris la méthode. Voilà le résultat tu vois qu’on a trouvé 36.

Premièrement tu connais tes formules de cours, deuxièmement tu fais un grand schéma clair comme ici et troisièmement tu raisonnes sur ce schéma donc tu peux t’aider de petits dessins supplémentaires si tu as besoin.