2nde Comment démontrer que 2 segments ont le même milieu ?

Comment démontrer que deux segments ont le même milieu ?
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Comment raisonner avec un parallélogramme pour démontrer que deux segments ont le même milieu ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons ABCD un parallélogramme et on considère le point A’ comme étant le symétrique du point A par rapport à B.
Et ensuite, la question, c’est montrer que les segments [A’D] et [BC] ont le même milieu.
Alors déjà, plutôt que de parler dans le vide on va faire une figure. ET c’est ce que je te conseille de faire dès que tu abordes un problème de géométrie dans lequel on te parle, par exemple ici, d’un parallélogramme. Et bien en fait, on va d’abord tracer un parallélogramme.
Alors quand on te parle d’un parallélogramme ABCD, il faut bien sûr ordonner les points de telle façon que quand tu fais le tour de ton parallélogramme tu puisses lire dans l’ordre A, B, C, D. peu importe le sens de ton tour mais il ne faut pas que tu aies, quand tu vas dans le sens de lecture de ton tour, ACBD. Il faut vraiment que tu aies ABCD.
Donc ça veut dire que ton parallélogramme, tu pars de A, et tu vas avoir ABCD le parallélogramme. Alors, saches aussi, mais je pense que tu le sais mais je vais quand même le rappeler, un parallélogramme, c’est un quadrilatère, c’est-à-dire un polygone qui a 4 côtés et sur ces 4 côtés, et bien 2 côtés opposés sont égaux en longueur et parallèles, ce qui implique que les diagonales se coupent en leur milieu.

Donc on part de A, c’est parti, un premier côté : tu arrives à B. Ensuite, tu traces un autre côté, tu arrives à C, forcément. Tu vois, on tourne autour, comme ceci, A, B, C, il ne manque plus que D.
Comme je te disais à l’instant, les côtés opposés sont égaux et parallèles donc forcément, le côté opposé à [BC] ça va être [AD] et il est égal en longueur et parallèle donc ici tu obtiens le point D. Donc tu remarques que les côtés opposés [AB] et [DC] sont aussi de même longueur et qu’ils sont parallèles.
Donc tu peux toujours l’indiquer sur ton schéma, vu que tu sais que c’est un parallélogramme, et bien deux côtés opposés ont la même longueur donc tu peux dire que [DC] et [AB] ont la même longueur et de la même façon que [AD] et [BC] ont la même longueur. Et tu sais aussi que (DC) et (AB) sont parallèles et que (BC) et (AD) sont parallèles.

Donc maintenant on va construire le symétrique A’ du point A par rapport à B. Avant de construire le point A’ sur la figure directement, je vais te faire un petit rappel de cours sur ce qu’est le symétrique d’un point par rapport à un autre point. Alors quand on dit le symétrique par rapport à un point ou plutôt la symétrie centrale, c’est-à-dire que tu as une symétrie par rapport à un centre. Ici, B est le centre.
Donc tu considères le point B comme étant le centre de ta symétrie. Et si tu veux construire le point A’ à partir d’un point A qui est n’importe où sur ta feuille, ici tu as le point A… comment construire le symétrique de A par rapport à B ?
B c’est le centre de ta symétrie. Et bien pour construire le symétrique de A par rapport à B, qu’on va noter A’, il suffit de tracer la droite (AB), et de reporter la longueur AB de l’autre côté de B de telle sorte à ce que tu aies ici la même longueur que AB. ET ce point obtenu, c’est A’, c’est tout simplement le symétrique de A par rapport à B. Donc ça c’était un petit rappel de cours sur comment construire le symétrique d’un point par rapport à un centre.
Ici, notre centre c’est toujours B, je vais l’entourer en rouge. Donc tu prolonges (AB) de l’autre côté, et tu reportes la longueur AB, qu’on a notée ici avec une double barre rose, de l’autre côté de B. Donc tu vas avoir cette longueur AB de l’autre côté, donc à peu près ici sur le schéma. Et ce point obtenu, c’est le point A’. Ça y est on a construit notre symétrique. Et tu peux indiquer sur la figure l’information que tu connais, c’dst-à-dire que AB=BA’.
Voilà. Donc dès que tu as des informations importantes, que tu connais sur ta figure, il ne faut pas hésiter à les reporter sur ta figure, à les indiquer, donc avec des doubles barres si les longueurs sont égales. N’hésite pas non plus à indiquer des angles droits ou des choses comme ça. Ici il n’y a pas d’angle droit mais ça peut arriver. IL faut vraiment que ta figure soit assez grande, propre. N’hésite pas à utiliser une règle. Ici je n’ai pas de règle mais sur ta copie, n’hésite pas à utiliser une règle et à indiquer, avec des couleurs si possible, les informations importantes de ton énoncé ou celles que tu déduis au fur et à mesure.
Vraiment, ça va t’aider à raisonner et à résoudre l’exercice plus facilement. Une bonne figure, ça fait beaucoup de choses.

Et donc à présent, maintenant qu’on a une belle figure, on va regarder la question ensemble. Il faut montrer que le segment [A’D] et le segment [BC] ont le même milieu. Alors saches que quand il y a des crochets autour des deux points, c’est « segment ». Quand il y a des parenthèses, par exemple si on considérait (A’D) comme ceci, et bien c’est la droite (A’D). Quand on considère A’D, sans rien du tout, c’est la longueur A’D, donc ça se mesure en mètres. Et bien sûr, de ces deux choses-là, on ne peut pas vraiment considérer le milieu. On considère le milieu d’un segment donc il faut mettre des crochets à [A’D]. Et là, c’est vraiment le segment [A’D].
Tu vois, ça ce sont vraiment 3 objets mathématiques différents. Et tu as bien sûr aussi le vecteur que j’ai oublié, qui a une flèche, mais là, c’est difficile quand même de le confondre.
Voilà donc j’ai mis le segment [A’D] en vert. Alors comment montrer qu’ils ont le même milieu ? En fait je vais te montrer deux façons de faire pour montrer que les segments [A’D] et [BC] ont le même milieu. La première façon que je souhaite te montrer, c’est en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle AA’D.
Alors tu mets : dans le triangle AA’D… Et bien tu as, la droite (BC) qui est parallèle à (AD). Pourquoi ? Tout simplement parce que ABCD est un parallélogramme. Donc tu as une configuration de Thalès dans le triangle AA’D puisque (BC) est parallèle à (AD). Et donc tu vas pouvoir déduire que : d’après le théorème de Thalès, tu as différents rapports qui sont égaux. J’espère que tu connais ces rapports : dans le triangle AA’D, tu as A’B/A’A… Je ne mets ni crochet ni parenthèse parce qu’on parle des longueurs. Alors je vais noter ce point-là parce que justement on cherche à prouver que ce point-là, qu’on va noter par exemple K, est le milieu de [BC] et le milieu de [A’D].
Tu vois, parce qu’on chercher à montrer que [BC] et [A’D] ont le même milieu. Donc le même milieu que l’on nomme à priori K. IL ne faut pas hésiter à nommer des points que tu découvres sur ta figure, nomme-les d’une autre façon bien sûr que les points qui existent déjà dans ton énoncé.

Donc le théorème de Thalès nous dit aussi que A’B/A’A=BK/AD=A’K/A’D. Voilà ce que nous dit le théorème de Thalès. Et sur ta copie bien sûr, si tu souhaites utiliser le théorème de Thalès, il faut bien dire que tu te trouves dans un triangle dont tu vas nommer les sommets et aussi bien dire qu’il y a deux droites parallèles et ensuite tu dis bien que tu utilises le théorème de Thalès. Ça c’est le côté rédactionnel, c’est très important.
Donc maintenant tu vas me dire : c’est bien joli d’avoir écrit tout ça mais en quoi ça va nous aider ? Et bien, en quoi ça va nous aider ? Regarde un petit peu plus la figure : A’B/A’A, tu vois que tu as deux longueurs égales qui sont AB et BA’ par construction. En effet, vu que A’ c’est le symétrique de A par rapport à B, tu as le vecteur AB, qui part de A et qui arrive à B, qui est égal au vecteur BA’. Ça c’est la définition d’une symétrie de centre B, le symétrique c’est A’ et le point initial c’est A.
ET donc ça te dit au niveau des normes que la norme de AB est égale à la norme de BA’. J’ai le droit de prendre la norme de ces deux vecteurs. Et donc la norme de deux vecteurs construits à partir de deux points comme ça, et bien la norme de AB c’est aussi la longueur AB qui est égale à la longueur BA’. C’est bien ce qu’on a noté sur le schéma avec les doubles barres roses.
ET qu’est ce que ça veut dire au niveau de ce rapport ici ? Et bien tu as A’B/A’A, c’est-à-dire toute la longueur ici. Et bien A’A, c’est AB+BA’. Donc on obtient A’B/ (AB+BA’) mais si on utilise cette égalité, AB c’est égal à BA’. Donc tu obtiens tout simplement A’B/2A’B car BA’=A’B. Donc tu obtiens 1/2. C’est surtout ça la conclusion, c’est que ce rapport ici, il vaut 1/2. Donc à la fin, tu obtiens 1/2.
Donc juste en utilisant le théorème de Thalès, tu viens de démontrer ces trois rapports sont égaux à 1/2.

Donc le rapport BK/AD vaut 1/2. ET BK/AD, c’est BK sur AD, cette longueur-là. Or, vu qu’ABCD est un parallélogramme, AD ici vaut aussi BC. Donc BK/BC vaut 1/2. Donc ça veut bien dire que K est le milieu de BC puisque BK vaut 1/2 de BC.
Tu arrives à comprendre ? C’est juste bien se représenter les choses. Ici on a trouvé un rapport d’après le théorème de Thalès qui est très intéressant, et initialement ça vient du fait que les longueurs AB et BA’ sont égales. Ça vient du fait qu’on ait A’ qui est le symétrique de A par rapport à B. C’est de cette information que tout découle, que le 1/2 découle également. Donc là on vient de prouver que BK=1/2 de BC donc que K est le milieu de [BC].
ET si tu considères maintenant le troisième rapport, c’est-à-dire celui-ci dans ton théorème de Thalès, et bien A’K, c’est-à-dire cette longueur là, est égale à 1/2 de toute la longueur A’D.
Ça veut donc bien dire que K est le milieu de [A’D]. Pourquoi on peut dire ça ? Tout simplement parce que quand tu considères BK=1/2BC, ça veut dire que la longueur BK vaut la moitié de la longueur BC donc ça veut bien dire que K est le milieu du segment [BC].

Donc là, ça y est on a démontré ce qu’on voulait, c’est-à-dire que [A’D], ce segment-là sur la figure en vert, et le segment [BC] ont le même milieu. Et ce même milieu on a même trouvé que c’était le point K tout simplement.
Alors cette façon de faire elle t’a peut-être paru un petit peu compliquée. Maintenant, je vais t’en montrer une deuxième tu vas voir, beaucoup plus rapide.

2nde Comment démontrer que 2 segments ont le même milieu ? (2/2)

La deuxième façon donc de résoudre cet exercice – et pour cette deuxième façon de faire, on va considérer le quadrilatère BA’CD. Voilà, donc peut-être que sur la figure, cela te fait penser à un parallélogramme. C’est-à-dire que tu as l’impression que le quadrilatère BA’CD est un parallélogramme. Est-ce que tu l’as prouvé, pour autant ? Non. Tu ne peux pas le dire. Et est-ce que dire que c’est un parallélogramme va t’aider ? Et bien oui, parce que regarde :

Si BA’CD est un parallélogramme, ça veut dire que bien sûr ses deux côtés opposés sont égaux et parallèles, donc par exemple BA’ et DC sont parallèles et égaux. Et aussi, une autre implication du fait que BA’CD soit un parallélogramme est que ses diagonales se coupent en leur milieu. C’est-à-dire que la diagonale BC et A’D se coupent en leur milieu. Et là ce serait fini !

C’est-à-dire que si A’D, la première diagonale, et BC, la deuxième diagonale se coupent en leur milieu, et bien tu as démontré ce qu’il fallait dans l’exercice. Donc en fait le but, maintenant, plutôt que de démontrer que A’D et BC ont le même milieu, il sera de démontrer que BA’CD est un parallélogramme, puisque A’D et BC ayant le même milieu en découlera directement.

Donc voilà ce que l’on va prouver maintenant ; il faut prouver que BA’CD est un parallélogramme. Et est-ce que ce n’est pas immédiat lorsque tu regardes ta figure bien faite avec toutes les informations ? Et bien si, quasiment. Regarde :

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? Imagine que tu as quatre points dans ton plan.

<schéma mathématique>

Comment montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ? Il suffit, en fait, de montrer que le vecteur AB est égal au vecteur DC. Alors si AB = DC, tu auras vraiment prouvé que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Et aussi, tu peux prouver que AD et BC sont égaux en vecteurs. Donc cette égalité vectorielle prouve – tu n’as que ça à prouver – que ABCD est un parallélogramme.

Donc ça, c’était un petit rappel de cours sur comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, et c’est ce que l’on va appliquer ici à notre quadrilatère orange.

Regarde ce quadrilatère orange : si tu arrives à prouver que le vecteur BA’ est égal au vecteur DC, c’est terminé. Tu auras démontrer que le quadrilatère orange est un parallélogramme. Et c’est quasiment immédiat, en fait, puisque sur notre figure on a déjà presque tout. Regarde.

ABCD est un parallélogramme, déjà. Ça on le sait, c’est dans l’énoncé. Donc, ce que tu peu déduire de ça, c’est que le vecteurs AB et DC sont égaux. Ça c’est une déduction. Voilà. Et, tu sais aussi, vu que A’ est symétrique de A par rapport à B, tu as BA’ qui est égal à AB. Et c’est exactement ce que nous avions noté ici. Ça vient du fait que A’ est le symétrique de A par rapport à B, puisque par construction – lorsque tu construits A’ – il suffit de prolonger la droite AB et tu reprends cette longueur ici, donc la longueur que j’ai fait figurer avec deux petits segments roses. Donc, BA’ est égal à AB.

Et donc, de cette égalité vectorielle AB = BA’, et bien tu peux remplacer le vecteur AB ici par BA’. Tu vois ? Donc vu que AB = BA’, tu obtiens ici BA’ = DC. Et là c’est fini, parce que BA’ = DC en vecteurs, ça veut dire que BA’CD est un parallélogramme.

Donc, là tu déduis que BA’CD n’est plus un quadrilatère quelconque, c’est un parallélogramme. Et du fait que BA’CD – je t’avais dit que c’était quasiment fini en fait une fois qu’on avait démontré cela – est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.

Donc A’D, c’est-à-dire la diagonale verte, et l’autre diagonale BC ont le même milieu. Et là c’est terminé, tu as terminé la démonstration.

Tu vois c’est beaucoup plus simple en fait que la première démonstration qui utilisait le théorème de Thalès puisque tu utilises directement les propriétés d’un parallélogramme – il te suffit en fait juste de démontrer que ABCD est un parallélogramme, et ça, ça va très vite, parce que démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, c’est démontrer que juste deux vecteurs – c’est-à-dire deux vecteurs correspondants à deux côtés opposés du quadrilatères – sont égaux. Ici les deux vecteurs étaient BA’ = DC.

Et ça, ça se montrait très très facilement comme égalité du fait qu’on avait cette égalité ; ça vient toujours de cette même clé qu’on avait utilisée aussi dans la première façon de faire. Cette même clé qui est que A’ est le symétrique de A par rapport à B – bien ça veut dire que AB en vecteur est égal à BA’.

Voilà ! Donc j’espère que tu as compris comment on a démontré que ces deux vecteurs A’D et BC ont le même milieu. En fait, qu’est-ce qu’on a utilisé pour démontrer cela ? On a utilisé tout le potentiel d’un parallélogramme et notamment comment ça se traduit en terme de vecteurs. Un parallélogramme, ça veut dire que deux côtés opposés forment deux vecteurs égaux, en fait. Ici par exemple, dans le parallélogramme ABCD, les vecteurs AD et BC sont égaux. Et ça c’est vraiment très utile et c’est vraiment ce que l’on a utilisé pour démontrer ce qu’il fallait démontrer.

Bien sûr, autre chose aussi dans cet exercice, il fallait savoir construire le symétrique d’un point par rapport à un autre. Et ça, c’est ce que l’on a fait ici avec le point A’, c’est-à-dire le symétrique de A par rapport au point B. Il fallait tout simplement comprendre ce que cela voulait dire en terme de vecteurs. Et en terme de vecteurs, ça veut dire que les vecteurs AB et BA’ sont égaux.

Voilà ce que l’on a utilisé dans cet exercice.