2nde Comment résoudre une équation du second degré ?

Comment résoudre une équation du second degré en seconde ?
Bonjour à toi et bienvenu sur Star en maths TV. Ici Romain.
Alors juste avant de résoudre l’équation suivante, en fait, ce que j’aimerais te dire c’est que si tu n’as pas encore téléchargé le guide que j’ai écrit et qui s’appelle « 7 astuces pour augmenter tes notes en maths », que tu peux télécharger sur Star-en-maths.tv, juste en indiquant ton email dans la colonne de droite, et bien je t’invite à le faire parce que ces 7 astuces que je te donne dans ce guide vont te permettre de travailler peu de temps mais de façon beaucoup plus efficace.
Et également, ces astuces vont te permettre d’augmenter rapidement tes performances en devoirs surveillés et en examens et tout ça sans stresser. EN fait, ce sont vraiment des astuces concrètes que j’ai accumulées de par mon expérience et également en discutant avec des élèves.
Donc je t’invite à aller tout de suite télécharger, avant même de regarder cette vidéo, ce guide qui s’appelle « 7 astuces pour augmenter rapidement tes notes en maths » et je t’indique aussi que les conseils que je te donne dans ce guide gratuit sont applicables également dans les autres matières.

Donc maintenant abordons notre exercice. Il s’agit de résoudre l’équation suivante : 4a au carré moins 4a plus 2 égal 5.
Alors souvent tu vois des équations dont l’inconnue est x mais tu peux tout à fait noter autrement ton inconnue et ici, tu vois, on la note a. tu vois, je l’ai mise en lumière, en orange.
Donc tu sais que résoudre une équation, d’une façon générale, ça veut dire à la fin, obtenir ton inconnue, donc ici a, égale quelque chose. C’est vraiment trouver les valeurs numériques que peut prendre ton inconnue a.
Ça peut être une seule valeur mais ça peut être aussi 2 valeurs, 3 valeurs ou parfois même, plusieurs valeurs, une infinité.

Alors ici, comment on va faire pour résoudre une équation dans laquelle tu as un carré au dessus du a, tu vois tu as un a puissance 2 ? Alors comment on appelle ce genre d’équation ? On appelle ce genre d’équation une équation du second degré justement parce que tu as une puissance 2 au dessus de l’inconnue a.
Alors ce n’est pas forcément évident de résoudre ce genre d’équation. Ce que je te propose de faire, c’est déjà d’obtenir un polynôme du second degré. Tu sais qu’un polynôme du second degré c’est toujours quelque chose de la forme c1(a carré)+c2a+c3. Donc ça c’est vraiment un polynôme du second degré où ta variable, bien sûr, c’est toujours a. J’ai repris la même variable que dans notre exercice, qui est a. La même inconnue si tu préfères.
ET bien sûr, c1, c2 et c3, ce sont trois nombres réels constants. Ils appartiennent à R, l’ensemble des nombres réels. Donc c1, c2 et c3, ils peuvent être égaux à -7, -2,5 par exemple ou même 0, ou 1,3 ou 1000. Tu vois, c’est n’importe quel nombre, à virgule, qu’il soit positif, négatif ou même nul. Donc un nombre réel.
Voilà donc pour rappel ce qu’est un polynôme du second degré et nous ce qu’on a, c’est un polynôme du second degré : 4(a carré) +4a+2 qui vaut une constante, qui vaut 5.

Ce que je te recommande souvent de faire quand tu as une équation avec un polynôme du second degré égal une constante, c’est d’essayer d’obtenir un autre polynôme du second degré égal 0 plutôt. C’est-à-dire d’obtenir un des membres égal à 0.
Donc ce qu’on va faire, c’est « passer » le 5 de l’autre côté. Donc on va faire -5 à gauche et à droite de ton équation. Donc ici tu vas faire -5 et à droite aussi tu vas faire -5, ce qui va te permettre justement d’enlever le 5 ici à droite. Donc là, on le fait tout de suite et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc voilà une équation équivalente qu’il s’agit de résoudre dans cet exercice. Donc bien sûr, tu as les constantes ici qu’on va ajouter : 2-5 ça fait aussi -3. Donc on va obtenir 4(a carré)-4a-3=0.

Alors maintenant, ce n’est quand même pas évident de résoudre cette équation obtenue. Ce n’est toujours pas évident même si c’est plus évident que ce qu’il y avait au début. Ce n’est pas évident parce qu’à la fin je te rappelle qu’on veut obtenir a=quelque chose. Donc comment essayer d’isoler a, à partir de ça ?
En fait, je suis d’accord que d’une façon générale pour résoudre une équation du premier degré, c’est facile d’isoler a parce que tu n’as pas de carré. Mais là, si tu cherches à obtenir a tout seul à gauche ou à droite, vraiment d’isoler a, et bien ça va être difficile parce que le carré va t’embêter tout le temps, et tu as un autre a ici en plus.
Tu ne peux pas vraiment regrouper ton a carré et ton a. Donc il va falloir faire autrement. Et là tu as une équation qui est égale à 0. Et quand est-ce qu’il est facile de résoudre une équation dont l’un des membres est 0, comme ici ? ET bien justement quand tu as un produit de facteur à gauche, égal 0. Parce que d’après la bonne vieille règle de collège que tu connais je pense : un produit de facteur est nul si et seulement si, l’un des facteurs, au moins, est nul.
Donc ça veut dire que si on arrive à factoriser ceci, c’est-à-dire à mettre ça sous la forme d’un produit de quelque chose fois quelque chose d’autre, et pas sous la forme d’une somme ou d’une différence de termes comme ici, et bien on aura bien avancé parce que tu pourras dire que l’un des facteurs au moins est nul, et tu verras que ça simplifiera beaucoup ton exercice et on arrivera à la solution.

Donc ce que je te recommande de faire, c’est de factoriser ceci. Et comment on va factoriser ceci ? Et bien dans une vidéo précédente, je t’ai montré comment faire. On ne peut pas toujours factoriser un polynôme du second degré mais tu peux essayer de le faire.
Alors ce que je te recommande de faire ici, vu que tu as déjà le 4 devant le a carré et devant le -a, et bien on va déjà factoriser par 4. Donc c’est parti. On va obtenir l’équation équivalente. Donc je mets 4 en facteur dans tout ça. On va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc là tu peux déjà appliquer la règle qui dit « un produit de facteurs est nul équivalent à au moins l’un des facteurs est nul ». Donc ici tu as un fois donc tu as bien un premier facteur qui est 4 et un deuxième facteur qui est tout ceci.
Donc en appliquant la règle « un produit de facteurs est nul si et seulement si, l’un des facteurs au moins est nul » et bien ça veut dire que 4=0 ou a carré-a-3/4=0. Ici, 4=0 c’est quelque chose qui est impossible en maths puisque 4 n’est pas égal à 0. Donc il nous reste a carré-a-3/4=0. Donc c’est ça qu’on va factoriser plutôt que 4(a carré)-4a-3=0 puisqu’il y avait quand même le 4 qui nous embêtait devant, même si tu aurais pu faire avec. Mais là, on ne s’est pas embêtés, on l’a enlevé.

Donc ce qu’on va faire c’est factoriser vraiment ce polynôme du second degré. Alors maintenant, le plus difficile, il va falloir factoriser ceci. Alors comment factoriser ce polynôme du second degré ?
Et bien ce que je te recommande de faire, c’est d’utiliser l’identité remarquable, vu que tu as un moins ici, (a-b) le tout au carré est égal à : a carré -2ab + b carré.
Là c’est l’identité remarquable, c’est sa forme générale, mais nous on va choisir le a noir égal notre a bleu parce que comme ça on aura notre a carré ici qui sera égal à notre a carré bleu là. Et ensuite nous allons choisir notre -2ab, qui intervient comme deuxième terme de l’identité remarquable, qui est égal à -a, notre -a bleu.
Donc ce qui va nous donner tout simplement : notre a noir, c’est le petit a et notre b, noir, qu’on aimerait identifier et bien vu que le a noir, c’est le a bleu et bien là, tu peux les simplifier tout simplement. Donc en simplifiant aussi par moins, tu vas obtenir notre b noir est égal à 1/2.
Voilà donc comment on a procédé par identification de ces deux premiers termes là, a carré et -a avec ces deux termes-là. On a juste choisi le a noir comme étant le a bleu et le b comme étant 1/2.

Et donc maintenant, il nous suffit d’appliquer cette identité remarquable. Donc on va retrouver les deux termes roses ça va être tout ceci, que je vais ré entourer en rose mais auquel il va falloir retrancher b carré. Moins b carré, comme s’il était parti d’ici.
Donc comme ça tu as : « calcul mathématique »
ON remplace tout ceci par tout ceci. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Il y a une égalité entre tout ça et ceci. C’est la transformation qu’on a faite et bien sûr il faut marquer le reste de notre équation.

Voilà donc tu as peut-être trouvé que je suis allé un petit peu rapidement pour passer de cette première formule entourée en rose ici à tout ceci mais je te l’explique plus en détails dans une autre vidéo que je vais mettre juste en-dessous de celle-ci. Je vais mettre le lien pour t’expliquer ce passage ici, juste en-dessous de celle-ci.
Maintenant tu vas me dire : est-ce qu’on a terminé et résolu notre équation ? Et bien pas tout à fait, mais par contre on s’approche de la fin parce qu’ici, on va nettoyer un petit peu tout ça et tu vas voir ce qu’on obtient comme équation, je vais le noter là : on va garder notre (a-1/2) le tout au carré, qui est en fait notre identité remarquable (a-b) au carré, en noir. Ici, derrière, on a -(1/2) au carré. 1/2 fois 1/2 c’est aussi 1/4. Donc on va avoir -1/4 et -3/4, ça fait aussi -4/4 et -4/4 c’est -1.
Donc on va obtenir : (a-1/2) au carré -1 =0. Alors est-ce qu’on a pour autant fini? On est passé si tu veux de cette équation-là à celle-là. Tu vois qu’il n’y a plus de a au carré tout seul mais tu vois qu’on a quelque chose qui n’est pas encore factorisé, on a encore une différence de deux termes. Mais est-ce qu’une différence de deux termes, ce n’est pas factorisable ?
Et bien si, en fait, on va pouvoir la factoriser en utilisant une autre identité remarquable et cette identité remarquable c’est : A au carré – B au carré = (A-B)(A+B). Et donc notre A c’est (a-1/2) et notre B c’est 1 parce que 1 c’est aussi 1 au carré donc ici je peux tout a fait mettre 1 au carré puisque c’est exactement égal 1 au carré et 1. Donc notre B c’est 1.
Donc on arrive à identifier tout ceci à notre identité remarquable et laquelle ? Et bien la différence de deux carrés qui se factorisent en cela. Donc notre A c’est tout ceci et notre B c’est juste 1.

Et donc ce qu’on peut dire que maintenant notre équation elle est équivalente à cette équation finale qui est :
« Calcul mathématique »
ET là, bonne vieille règle de collège : un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul. Donc, en nettoyant un petit peu ça on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc c’est équivalent à : soit ce premier facteur est nul, ce qui équivaut à a=3/2. Tu vois si a-3/2=0, ça veut dire que a=3/2 en passant le -3/2 de l’autre côté. Ou a+1/2=0 ça veut dire a=-1/2. Donc voilà ta deuxième solution de ton équation initiale, de cette équation-là mais qui est une équation équivalente à celle-ci.
Donc les solutions ça va être a=3/2 ou (il faut bien mettre un ou parce que la règle dont tu te souviens depuis le collège c’est : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un AU MOINS des facteurs des nul, c’est-à-dire le premier facteur est nul OU le deuxième facteur est nul. Ils peuvent être nuls en même temps) a=-1/2
Voilà tes solutions. Et tu mettrais ici les solutions finales entre accolades pour dire qu’il n’y a que des solutions finies, ce n’est pas du tout un intervalle. Et tu les ranges quand même dans l’ordre croissant. Donc S={-1/2;3/2}.

Voilà donc les solutions de cette équation. Comment on a fait ? Finalement on s’est ramenés à une équation du second degré égale 0 plutôt que égale à une constante, 5 ici. Donc on s’est ramenés à ceci.
Et à partir de ceci on a voulu factoriser parce qu’un polynôme du second degré parfois ça se factorise et quand ça se factorise et c’est égal à 0 et bien c’est gagné, on a trouvé les solutions.
ET comment on a factorisé ? Et bien on a utilisé cette identité remarquable-là : (a-b) au carré qui est égal à a carré moins 2ab plus b carré, pour transformer ces deux premiers termes-là, c’est-à-dire, en gros, a carré moins a.
Et à partir de là on est arrivés à cette forme qui est une différence de deux carrés, et celle-ci on peut la factoriser grâce à une autre identité remarquable qui est : a carré – b carré = (a+b)(a-b).

Donc j’espère que tu as compris cet exercice qui n’est pas évident en seconde. En première tu verras un autre outil qui te permettra de résoudre ce genre d’équation du second degré.