2nde Comment résoudre une inéquation difficile ?

Comment résoudre une inéquation quotient supérieure ou égale à 2 ? Sachant que ton quotient est constitué d’un polynôme du second degré en haut et d’un polynôme du second degré en bas.
Bonjour à toi et bienvenu sur Star en maths TV. Ici Romain.
Alors dans l’exercice d’aujourd’hui, un petit peu compliqué peut-être pour le niveau 2nde, j’espère que tu vas bien comprendre, il va falloir résoudre l’équation suivante : x carré moins 2, le tout sur x carré moins 1, supérieur ou égal à 2.
Alors je te rappelle que résoudre une inéquation, ça veut dire trouver les x, trouver l’intervalle des x ou peut-être la réunion d’intervalles des x, de façon à ce qu’on ait cette inéquation satisfaite.

Je vais prendre un exemple, si je prends x=0, est-ce que ça marche ? Est-ce que 0 est dans les solutions ? Je remplace x par 0 très rapidement. On va obtenir :
« Calcul mathématique »
On calcule ça très rapidement. Je ne peux pas dire que c’est supérieur ou égal à 2 puisque c’est ce qu’on cherche.
Si c’est supérieur ou égal à 2 le résultat, alors ça voudra dire que 0 est solution. Donc là on calcule ça très rapidement :
« Calcul mathématique »
On obtient 2. Et est-ce que 2 est supérieur ou égal à 2 ? Et bien oui, tu peux dire que 2 est supérieur ou égal à 2.
Donc tout ça, ça veut dire que quand tu as remplacé x par 0, c’est ce qu’on a fait, et tu vois tu as obtenu ceci. Et bien on a obtenu que 0 satisfait bien l’inéquation. Donc 0 fait partie des solutions.

Bon ça, ça ne nous fait pas trouver toutes les solutions bien sûr. Donc à ton avis, comment on va pouvoir trouver toutes les solutions ?
Alors je vais te donner une méthode pour résoudre ce genre d’inéquation qui n’est pas si facile que ça parce que tu as un quotient avec du x au dénominateur.
Première chose à faire dans cette méthode, c’est de déterminer la ou les valeurs interdites dans cette inéquation. Parce que tu as probablement des valeurs de x, qui sont des valeurs interdites, c’est-à-dire des valeurs pour lesquelles tu ne peux pas calculer le quotient ici à gauche.
Par exemple, tu sais qu’en maths, on ne peut pas diviser par 0 donc forcément le dénominateur ici doit être différent de 0.

Donc première chose comme je te disais, les valeurs interdites. Comment on va les trouver ? Et bien on trouve toujours les valeurs interdites de la même façon. J’ai mis des « s » mais peut-être qu’il n’y en a qu’une, on va voir.
On trouve toujours les valeurs interdites de la même façon : tu résous dénominateur de ton quotient égal à 0. Ça c’est quand il n’y a pas de racine carrée.
Quand il y a des racines carrées c’est autre chose. IL faut s’assurer que ce qu’il y a en-dessous de la racine carrée ne peut jamais être négatif, mais c’est une autre histoire.
Ici on a un quotient, il faut absolument que x carré moins 1 soit différent de 0. Donc ce qu’on va faire c’est trouver les valeurs de la variable x pour lesquelles x au carré moins 1 égal 0. Et ces valeurs-là, ce seront les valeurs interdites.

Donc on résout l’équation x au carré moins 1 égal 0. Sachant que x au carré moins 1 c’est bien ton dénominateur;
Donc là, on est ramené à une sous-question : déterminer les valeurs interdites. C’est vraiment la première chose que tu dois faire quand tu essaies de résoudre une équation ou une inéquation ou quand tu étudies aussi une fonction.
Donc cette petite équation comment va-t-on la résoudre ? Tu sais bien que résoudre une équation c’est obtenir à la fin x égal quelque chose. Alors ce que je te propose de faire, c’est de factoriser. Ce n’est peut-être pas la première chose à laquelle tu as pensé mais il faut factoriser cette expression.
Et ça te fait penser tout simplement à l’identité remarquable, en tout cas je l’espère : a carré moins b carré. Sachant que le a ici c’est x et le b c’est 1 parce que a carré moins b carré, si le a c’est x et le b c’est 1, c’est bien x au carré moins 1 au carré, c’est-à-dire le b au carré, 1 au carré c’est 1.
Donc a carré moins b carré, tu sais aussi que c’est, tout simplement, (a-b)(a+b). On applique cette identité remarquable à notre cas sachant qu’on a a=x et b=1, et on va obtenir l’équation équivalente, je remplace x au carré moins 1 par (x-1)(x+1)=0.

Et tu sais depuis le collège qu’un produit de facteur -sachant qu’on a bien un produit ici, on a un multiplié là- est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.
Donc ça, ça veut dire, tu mets ici un signe équivalent, tu vas obtenir les solutions : ça veut dire que x-1=0, ce premier facteur-là est nul ou le deuxième est nul.
Et là, ça va te livrer tout de suite les solutions parce que cette petite sous-équation qu’est-ce qu’elle signifie ? Et bien x-1=0 ça veut dire tout simplement x=1, si je passe le -1 de l’autre coté. Ça veut dire x=1.
Et la deuxième, x+1=0, ça veut dire x=-1, en passant le +1 de l’autre côté. Donc là tu as trouvé tes solutions de l’équation initiale et tu as trouvé surtout les valeurs interdites de ton quotient dans cette inéquation qu’on doit résoudre.
Et donc les valeurs interdites c’est 1 et -1. On peut le vérifier très rapidement. Quand tu remplaces x par 1 dans cette expression -on ne va pas le faire au numérateur parce que ça ne nous intéresse pas, c’est surtout au dénominateur- tu vas trouver 1 au carré, ce qui fait 1, moins 1. Donc ça fait 0. Et on ne peut jamais diviser par 0 en maths.
Et pareil, si tu remplaces x par -1. (-1) le tout au carré, ça fait (-1)*(-1), ça fait bien 1. Et 1-1, ça fait 0 encore une fois.
Donc voilà toutes les valeurs interdites de ton expression, je vais les noter ici : 1 et -1. Et à la fin de ton exercice, quand tu auras déterminé l’intervalle des solutions x, ou la réunion d’intervalles des solutions x, il faudra absolument vérifier que 1 et -1 ne sont pas dedans. Si tu retrouves 1 et -1 dans tes solutions, il faut les exclure puisque ce sont des valeurs que ne peut jamais prendre x.

Voilà donc la première chose qu’on fait pour résoudre ce genre d’inéquation : trouver les valeurs interdites.
Et deuxième chose qu’on va faire, plutôt que de résoudre une inéquation comme ça de façon classique, on va se ramener à une étude de signe.
En effet, dans une précédente vidéo, je te disais qu’une inéquation comportant un quotient dans l’un des membres, à gauche ou à droite, et bien tu peux te ramener à une étude de signe de ce quotient, moins ou plus quelque chose.
En fait, étape 2, plutôt que la résolution d’une inéquation directe, on va se ramener à une étude de signe. Tu va voir tout de suite comment.

2nde
Comment résoudre une inéquation difficile
vidéo 2/2
Tableau de signe et résolution finale

Alors tu sais qu’une étude de signe, c’est comparer une expression en fonction de x avec 0. Donc regarde comment on va faire.
Comment comparer ici une expression à 0 ? Parce que là tu es d’accord qu’on compare ce quotient à 2, pas à 0. Ce que je te propose de faire, c’est tout simplement de passer le 2, qui est à droite ici, de l’autre côté.
Et comment on fait ça concrètement ? Et bien en fait il s’agit de faire -2 à gauche et à droite de l’inéquation. Et bien sûr ajouter -2, c’est-à-dire faire une opération d’adition ou même de soustraction, à gauche et à droite de l’inéquation, ça ne change pas le sens de l’inéquation.
Donc tu gardes bien le supérieur ou égal et tu fais -2 à gauche et -2 à droite. Ça va t’enlever le 2 ici à droite et on va avoir 0. Donc c’est ce qu’on fait tout de suite et on va obtenir, je vais renoter ici notre quotient :
« Calcul mathématique »
Tu vois bien que maintenant on est ramenés à une étude de signe parce qu’il va s’agir de chercher les x pour lesquels tout ceci, x au carré moins 2, le tout sur x au carré moins 1, moins 2 est supérieur ou égal à 0. Donc on va vraiment se ramener à l’étude de signe de cette expression là.

Donc comment on va étudier maintenant, le signe de cette expression-là ? Là est toute la question dans la deuxième étape de cette méthode que je te donne.
Alors ce que je te propose de faire, c’est de mettre 2 sur le même dénominateur que cette fraction, à savoir x au carré moins 1, pour pouvoir ensuite ajouter la fraction obtenue ici à droite avec celle-ci ou plutôt les retrancher.
Donc c’est ce qu’on fait ici tout de suite :
« Calcul mathématique »

Et maintenant, pourquoi on a fait ça ? Et bien c’est pour pouvoir retrancher nos deux fractions.
Donc c’est ce qu’on fait ici et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc là on se rapproche de quelque chose qui va être facile à étudier, ou en tout cas dont le signe sera facile à étudier puisque ça va être un quotient. Et étudier le signe d’un quotient c’est assez facile puisqu’il te suffit d’avoir le signe du numérateur et le signe du dénominateur.
Et ensuite le signe de tout le quotient, et bien c’est simple, il suffira de faire plus sur plus, ça te donnera plus, etc. d’appliquer ces petites règles sur les signes que tu connais.

Donc au fait, pour savoir comment rédiger ça sur ta copie, et bien tu peux tout à fait mettre des signes d’équivalence entre les inéquations ici, parce qu’en fait tu ne transformes pas ton inéquation en une autre inéquation.
Tout ça, ça reste la même inéquation quelque part. Tu changes juste l’expression ici. Tu transformes un petit peu ton inéquation mais les solutions finales restent les mêmes parce que tu fais des opérations successives qui ne font que transformer ton inéquation sans changer les solutions, sans changer ce qu’elle est intrinsèquement.
Donc là tu peux vraiment mettre des signes d’équivalence.

Donc maintenant, à partir de ceci, ce que je te propose de faire c’est de nettoyer un petit peu le numérateur. Donc c’est parti, on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Et on n’oublie pas qu’on veut connaître le signe de chacune de ces choses -là. Donc le dénominateur à un moment donné il faudra connaître son signe. Donc à ton avis comment on pourra connaître le signe de x au carré moins 1 ?
Comme je te l’ai expliqué dans d’autres vidéos, il est souvent plus simple de connaitre le signe d’une expression quand elle est mise soit sous forme de quotient, soit d’un produit de facteurs parce qu’en connaissant le signe de chacun des facteurs, tu connaitras le signe du produit de facteurs. Il suffira de multiplier les signes entre eux d’après les règles que tu connais.
Donc ce serait bien de factoriser x au carré moins 1 ici pour pouvoir étudier son signe facilement.
Tu te souviens, on l’avait très facilement pour résoudre cette équation et x au carré moins 1, en utilisant l’identité remarquable a au carré moins b au carré égal (a-b)(a+b), et bien ça se factorise très facilement, ça vaut (x-1)(x+1).

Donc ici, on avait dit, au numérateur il y a des choses qui se simplifient. Donc je vais noter ici l’inéquation équivalente :
« Calcul mathématique »
Et tout ceci c’est supérieur ou égal à 0, c’est-à-dire qu’on étudie le signe de tout ça, de cette expression ici à gauche.
Et étudier le signe, c’est vraiment très facile. Donc tu vois qu’on s’est ramenés, à partir de cette inéquation au départ, à ceci qui est beaucoup plus simple à étudier parce qu’on ne va plus résoudre cette inéquation, on va étudier le signe de cette expression.
Tu vois comment on a transformé le problème.

Et donc ceci, je vais faire un petit peu de place, on va en étudier le signe très facilement. Voilà donc j’ai renoté l’inéquation qu’on doit étudier et surtout l’expression dont on doit étudier le signe ici.
Alors tu sais que x au carré, c’est toujours positif ou nul parce que c’est un carré, tout simplement. Et vu qu’on a un moins devant, on peut d’hors et déjà dire que -x au carré c’est inférieur ou égal à 0. On connaît le signe du numérateur.
Maintenant, le signe de (x-1) et le signe de (x+1), c’est extrêmement simple aussi à étudier. Je te rappelle que x ne doit jamais être égal à -1 ou 1 ici au dénominateur parce que ce sont des valeurs interdites. Il ne faut pas l’oublier.
Et le signe de (x-1), c’est très simple à étudier parce que c’est tout simplement positif quand x est supérieur ou égal à 1. Et négatif quand x est inférieur ou égal à 1.

Donc je vais consigner tout ça dans un tableau de signe. La première ligne d’un tableau de signe c’est toujours x qui varie de moins l’infini jusqu’à plus l’infini. Bien sûr tu vas mettre les valeurs interdites qui sont 1 et -1. -1 d’abord parce qu’ici tu dois avoir un ordre croissant de tes nombres. Et 1 ici.
Donc voilà la première ligne de ton tableau de signe. Ensuite, la deuxième ligne c’est -x au carré, c’est-à-dire ton numérateur. Et -x au carré, on avait dit que c’est toujours négatif. Donc là tu vas quand même pouvoir tracer 2 barres, et ici, toujours négatif.
Ensuite, pour le signe de (x-1), c’est très simple puisque (x-1) est négatif quand x est inférieur à 1, c’est nul quand x=1 et c’est positif quand x est supérieur à 1. Donc ça change de signe ici. Là, ça s’annule, quand x vaut 1 et c’est négatif avant et positif ensuite.
Ensuite, pour le facteur (x+1) qu’on retrouve au dénominateur, c’est la même chose presque, sauf que ça s’annule non pas pour 1 mais pour -1. C’est négatif avant et positif ensuite.

Et enfin tu obtiens la dernière ligne de ton tableau qui est le signe de tout ceci, c’est-à-dire le signe de -x au carré, le tout sur (x-1)(x+1), et le signe de tout ceci, ça va être la multiplication des 3 signes de ces 3 sous-expressions, c’est-à-dire -x au carré, (x-1) et (x+1).
Donc ici il ne faut pas oublier de mettre les valeurs interdites qui sont représentées par des doubles barres dans un tableau de signe. Et tu vas obtenir : moins par moins par moins, c’est-à-dire un nombre négatif au numérateur sur un nombre négatif au dénominateur fois un nombre négatif au dénominateur. J’espère que tu me suis. Ça fait tout simplement un nombre négatif. Tu vas obtenir moins.
Ici, moins par moins par plus. Ça te donne : moins par moins : plus. Et plus par plus : plus. Donc ici tu vas avoir plus.
Et enfin, tu vas obtenir ici, moins par plus : moins. Et moins par plus : moins une nouvelle fois.

Et donc tu cherchais, les valeurs de x pour lesquelles tout ceci était supérieur ou égal à 0. Et quelles sont-elles ces valeurs de x ?
C’est tout ceci, en excluant bien sûr 1 et -1 qui sont les valeurs interdites de cette expression là et même les valeurs interdites de toute ton inéquation initiale.
Donc tu as tes x et la solution est la suivante : on note S=]-1;1[. -1 et 1 exclus car ce sont des valeurs interdites.
Et ça c’est ta solution de cette inéquation-là mais également de cette inéquation-là qui est équivalente à celle-ci. On a juste transformé, par des petites opérations successives équivalentes, cette inéquation en celle-ci.
Ce sont des inéquations qui te donnent les mêmes solutions, c’est pour ça qu’on dit qu’elles sont équivalentes. Et voilà, la solution.

J’espère que tu as compris la méthode pour résoudre une telle inéquation avec un quotient. Et dans ce quotient tu as du x au dénominateur.
Première chose à faire, tu détermines les valeurs interdites, c’est-à-dire tu résous dénominateur égal 0. IL ne faut jamais que ton dénominateur soit égal à 0.
Et deuxième chose, tu transformes ton inéquation en une étude de signe d’une autre expression. Donc il faut absolument que tu transformes ton inéquation initiale en une autre expression avec un 0 dans l’un des membres. Tu as vu, ce 0 on le retrouve ici.
Comme ceci, tu dois comparer une expression à 0. Donc c’est exactement ça une étude de signe. Donc l’étude de signe de ceci va te permettre de trouver les x de telle façon à ce que tout ceci soit supérieur ou égal à 0.
Tu as vu on l’a fait grâce à ce tableau de signe. Et donc là on trouvait que quand x varie de -1 à 1 exclus, cette expression est positive.
Et on a fait cette étude de signe en étudiant le signe de chacun des petits membres de ton quotient puisqu’il n’y a que des « fois » ou des « divisés ». Donc tu vas pouvoir multiplier les signes à la fin. Tu vois, moins par moins par moins, ça te donne un moins.

Voilà, donc j’espère que tu as compris cet exercice, et j’espère également que tu as trouvé les mêmes solutions que moi.
Donc ce que je te propose c’est d’aller télécharger le guide « 7 astuces pour augmenter rapidement tes notes en maths » que je te donne sur star en maths TV, parce qu’il te donne 7 astuces justement pour améliorer ton organisation de travail, et il te permet d’améliorer aussi ton efficacité.
Et ce sont des conseils qui, à mon avis, peuvent te permettre de t’améliorer non seulement en mathématiques mais également dans les autres disciplines parce que les astuces que je te donne sont transposables dans les autres disciplines. Ce n’est pas juste utilisable en mathématiques.
Donc j’espère que tu as compris cet exercice et je te dis à bientôt sur star en maths TV.