2nde Comment simplifier une racine carrée ?

Comment simplifier une racine carrée ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Alors aujourd’hui dans l’exercice, nous allons simplifier deux racines carrées.
Qu’est-ce que j’appelle simplifier ? On va les mettre sous la forme a racine carrée de b avec quelque chose sous la racine carrée qui est beaucoup plus simple. Et ce quelque chose ici, il est noté b.
Alors tu vois qu’on a deux racines carrées, on va s’attaquer à chacune d’entre elles successivement. Donc pour transformer racine carrée de 28 en a fois racine carrée de b et bien il va falloir trouver le a et le b dans cette expression, pour obtenir à la fin : racine carrée de 28=a racine carrée de b
Donc nos inconnues, ce sont les nombres a et b.

Comment on va faire pour les trouver ? Pour que tu réussisses à trouver ces deux inconnues a et b, je vais te donner une méthode en 2 étapes. La première étape va être d’écrire 28 (le nombre sous la racine carrée initiale) comme étant un produit de 2 nombres.
Alors tu sais ce qu’est un produit de deux nombres, c’est un nombre multiplié par un autre. Quand on dit produit en mathématiques, ça veut dire en fait l’opération « multiplié ». C’est une multiplication tout simplement.
Alors quand je parle de produit de deux nombres ici, de multiplication de deux nombres, et bien il ne faut pas que tes deux nombres soient n’importe lesquels. En fait, on veut écrire 28 comme un produit de deux nombres, sachant que l’un des deux nombres doit être un carré parfait.
Et donc on en vient à devoir expliquer la notion de carré parfait. Qu’est-ce qu’un carré parfait ? Et bien c’est un nombre qui est égal à un carré tout simplement. Qu’est-ce qu’on a comme exemples de carrés parfaits ? ET bien par exemple tu as le nombre 4 tout simplement parce que 4=2².
Je te rappelle que l’opération « carré » en mathématiques, ce n’est pas fois 2, ici c’est égal à 2 fois lui-même. Tu as aussi comme exemple 16. 16, c’est un carré parfait parce que 16 c’est égal à 4=4². 4² c’est l’opération 4*4. Donc ici tu as deux exemples de carrés parfaits. 1er exemple : 4, ça en est un. 16 ça en est un. Tu as aussi par exemple 9 parce que 9=3². Tu as aussi 25 parce que 25=5².
Donc voilà deux exemples de carrés parfaits : 4, 16. Tu en as d’autres comme je viens de te dire à l’oral : 25, 49 aussi puisque ça vaut 7 fois 7 etc.

Donc tu vois, quand tu vas écrire 28 comme un produit de deux nombres, il faut que l’un de tes deux nombres soit un carré parfait. Et donc à la fin de cette étape, qu’est-ce que tu auras obtenu ?
Et bien tu auras obtenu que le nombre 28 sera égal à deux nombres : le premier sera ton carré parfait, tu peux le noter comme étant le premier nombre. Vu que c’est un carré parfait, je te rappelle, 16 par exemple c’est un carré parfait mais c’est aussi 4². Donc tout carré parfait se met aussi sous la forme a². Et a² est un carré parfait sachant que a est un nombre entier positif.
Donc tu auras 28=a²*b. b, le deuxième nombre n’est pas forcément un carré parfait, n’importe quel nombre de façon à ce que tu aies a²*b égal ton nombre 28.

Une fois que tu as trouvé ça, la deuxième étape, c’est de prendre tout simplement la racine carrée de ton nombre 28 et vu que tu as une égalité et que tu as 28=a²*b, et bien tu vas prendre la racine de a²*b sachant que tu auras trouvé a et b.
Et donc la racine carrée de 28 ça va être égal à la racine carrée de (a²*b). Tu es d’accord ? J’utilise juste le fait qu’on a l’égalité entre 28 et a²*b.
Et je te rappelle ici la petite règle élémentaire de calcul sur les racines carrées, qu’il faut que tu connaisses, sur la racine d’un produit de deux nombres : racine carrée de (u*v), sachant que u*v est sous la racine carrée, c’est égal à racine carrée de u fois racine carrée de v. C’est la règle qu’on va utiliser. Et vu que tu as un « fois » ici, en fait ton u c’est a² et ton v c’est b. Donc tu vas obtenir :
racine carrée de (a²*b)=racine carrée de a² fois racine carrée de b. Or qu’est-ce que c’est que la racine carrée de a² ? Sachant que je te disais que a ici, c’est un nombre entier positif. Donc tu vas obtenir racine carrée de a², c’est tout simplement a puisque regarde : si je prends 16 comme carré parfait : 16=4². ton a² c’est 4², c’est 16 en fait. Et ton a il vaut 4, tu vois bien que c’est un nombre positif et entier. Il appartient à l’ensemble des entiers naturels : N.
Quand tu prends la racine carrée maintenant de a², tu vois je m’attaque au premier facteur ici dans le produit, dans notre cas racine carrée de a² c’est racine carrée de 4² donc racine carrée de 16 et racine carrée de 16 c’est bien 4 et 4 c’est a. Donc tu vois qu’on a racine carrée de a²=a.
Donc là, ce que tu peux écrire à la fin c’est que tu vas obtenir a fois quelque chose que tu ne peux pas simplifier, à savoir racine carrée de b. tu auras bien mis sous la forme a fois racine carrée de b, ton racine carrée de 28 de départ.

Donc ça, c’était un petit peu théorique, c’est la méthode en deux étapes que je te donne. Maintenant on va appliquer cette méthode.

Comment simplifier une racine carrée
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Application de la méthode à racine carrée de 28 puis de 50.

Donc nous on va appliquer cette méthode à notre premier cas : racine carrée de 28. On va appliquer la première étape, c’est-à-dire écrie 28 comme un produit de deux nombres sachant que l’un des deux nombres doit être un carré parfait.
Donc 28, c’est le produit de quoi et de quoi ? Et bien 28, ce qui peut venir à l’esprit directement ça peut être 2*14. Le problème c’est que ni 2 ni 14 n’est un carré parfait parce que 2 n’est pas égal à un nombre entier au carré et 14 non plus.
Alors comme ceci, tu peux essayer plusieurs choses sur ton brouillon. tu peux essayer de trouver d’autres produits avec l’un des deux nombres qui est un carré parfait.
Donc on continue : autre possibilité de produit égal à 28 : 28=4*7. Là c’est plutôt bien parce que tu as 4. Et 4, qu’est-ce qu’on avait dit sur ce nombre ? Et bien 4 c’est un carré parfait parce que ça vaut 2². Donc on vient de trouver que 28 c’est égal à 4*7 et donc aussi à 2²*7.
Et donc là, c’est « magique » parce que tu as trouvé ton a : c’est 2. Et ton b, c’est 7. Donc racine carrée de 28 c’est égal à racine carrée de (2²*7) par définition parce qu’on a une égalité entre 28 et 2²*7.

Tu utilises maintenant la deuxième étape, tout simplement le fait que racine carrée de a², c’est-à-dire ici racine carrée de 2², ça va être égal à 2 fois (il ne faut pas oublier) racine carrée de 7 qui correspond au racine carrée de b. Tu obtiens finalement 2 racine carrée de 7. Tu n’es pas obligé de mettre le fois entre les 2.
Et ça y est tu as simplifié ta racine. Si tu penses que le nombre qui est sous ta racine encore est simplifiable et bien tu appliques la même opération à ce nombre en-dessous de la racine.
Mais ici ce n’est pas le cas parce que, tu peux essayer, racine carrée de 7 n’est pas simplifiable encore plus.
Donc on s’arrête là et donc on a trouvé que racine carrée de 28 c’est 2 racine carrée de 7.

Donc maintenant on va s’attaquer à la deuxième partie de la question, racine carrée de 50 et on va toujours utiliser cette méthode en deux temps. C’est parti : racine carrée de 50.
On s’attaque à 50. Est-ce qu’on peut le mettre sous forme d’un produit de facteurs sachant que l’un des facteurs doit être un carré parfait ? Et bien essayons tout simplement. 50 c’est égal à, première chose à laquelle tu peux penser : 5*10. Le problème c’est que ni 5 ni 10 n’est un carré parfait. Aucun de ces deux nombres, 5 ou 10, ne s’écrit sous la forme : un autre nombre au carré.
En revanche tu as aussi 50=25*2. Donc tu vois tu peux faire plusieurs essais comme ça. Et qu’est-ce qu’on remarque sur le nombre 25 ? Et bien 25 c’est un carré parfait parce que ça vaut 5². 25, c’est 5*5. Donc on obtient 50=5²*2.
Donc maintenant on prend la racine carré de tout ce nombre-là. C’est donc la deuxième étape qu’on applique et on obtient : racine carrée de 50 égal racine carrée de 5²*2 sachant que le a c’est 5 et le b, qui correspond à cette deuxième étape, c’est 2.
Et là tu vas obtenir que c’est égal à a fois racine carrée de b donc 5 racine carrée de 2. Tu vois bien que racine carrée de 2 n’est pas simplifiable donc on le laisse comme ça. Et là on a trouvé que racine carrée de 50 est égal à 5 racine carrée de 2.
Vu que tu as compris comment ça marche, on a appliqué plus rapidement cette méthode en deux temps que je te propose.

Voilà donc j’espère que tu as compris comment simplifier une racine carrée sous la forme a racine carrée de b sachant que la racine carrée de b est quelque chose de beaucoup plus simple. Tu vois on obtient des nombres beaucoup plus simples sous la racine carrée. Par exemple racine carrée de 2 et racine carrée de 28 c’était égal à 2 racine carrée de 7.
Et maintenant tu vas me demander à quoi ça sert de simplifier sous la forme a racine carrée de b comme ceci. Et bien en fait, tu vois si on avait voulu simplifier racine carrée de 50 + racine carrée de 28. Imagine tu arrives à la fin d’un calcul et tu trouves cela.
Et bien tu ne peux pas simplifier cela. Tu peux juste dire, après un petit calcul comme on vient de le faire, que c’est égal à 5 racine carrée de 2 plus 2 racine carrée de 7. Mais tu ne peux pas aller plus loin.
Mais si tu avais eu, au lieu de 2 racine carrée de 7, 2 racine carrée de 2… Bien sûr ça n’aurait plus été racine carrée de 28 mais racine carrée de 8. Et bien dans ce cas-là tu aurais pu ajouter les deux nombres parce que 5 racine carrée de 2 plus 2 racine carrée de 2, ça te fait… Si tu notes racine carrée de 2 comme étant une vache, et bien tu as 5 vaches plus 2 vaches, ça te fait 7 vaches.
Donc à la fin tu obtiens 7 racine carrée de 2. Donc tu vois, dans ce cas-là, racine carrée de 50 plus racine carrée de 8, ça se simplifie en 7 racine carrée de 2, ce qui est beaucoup plus simple. Et simplifier les calculs en maths c’est vraiment très utile parce que ça permet d’y voir plus clair dans ce que tu as trouvé.

Donc là, racine carrée de 50 plus racine carrée de 28 ça ne pouvait pas se simplifier plus que cela parce que tu trouvais racine carrée de 2 ici et racine carrée de 7 là. Donc si tu veux une vache plus un cochon donc tu ne peux pas les ajouter vraiment.
Alors que dans le cas où tu ajoutes racine carrée de 50 et racine carrée de 8, tu obtiens 5 racine carrée de 2 qui vaut racine de 50, plus 2 racine carrée de 2 qui vaut racine carrée de 8 et donc tu peux ajouter les choses puisque tu as 5 racine carrée de 2 plus 2 racine carrée de 2. Donc les racines carrées de 2 tu vois, c’est comme des vaches, tu peux les ajouter, tu obtiens 7 racine carrée de 2.
Voilà donc pour la méthode que je te donne pour simplifier une racine en a racine carrée de b.
J’espère que tu as compris cet exercice et je te dis à bientôt sur star-en-maths.tv