2nde Construire un point à partir d’une relation vectorielle

Comment construire un point dans le plan à partir de relations sur des vecteurs ?

Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, nous avons 3 points A, B et C qui sont fixés dans le plan. Fixés, ça veut dire qu’ils sont là et qu’ils ne bougent plus. Et on a deux questions dans cet exercice.
La première, c’est qu’il va falloir construire le point M tel que 2 vecteurs AM moins 3 vecteurs AB égal vecteur nul. Donc on ne dit pas 0 dans les vecteurs, on dit vraiment vecteur nul.
Et la deuxième question ce sera de construire le point N tel que le vecteur BN soit égal au vecteur BA moins vecteur BC.

Donc là, on est face à un exercice plutôt niveau seconde. C’est quand on débute avec les vecteurs. Donc si tu es en seconde c’est parfait. N’hésite pas aussi à regarder cette vidéo même si tu es en première ou terminale et que tu as un peu oublié comment on construit un point à partir d’une relation vectorielle.
Donc là, ce que nous allons faire pour construire notre point M dans cette première question, c’est déjà se poser la question : « où est notre point M dans la relation vectorielle ? »
Le point M tu vois, il n’apparait qu’une fois : ici. Si tu veux, le point M, c’est ton inconnu. C’est le point que tu cherches à placer sachant que tu connais l’emplacement de tous les autres points. Tu connais l’emplacement de A : il est là. Et l’emplacement de B : il est là.
Donc je voulais vraiment préciser ça avec toi, c’est-à- dire que ton point M, ton inconnu, que tu cherches à construire, n’apparait qu’une seule fois dans la relation vectorielle. Et parfois, dans d’autres exercices, tu pourrais avoir des relations vectorielles qui font intervenir ton point inconnu plusieurs fois.
Et dans ces cas-là, l’idéal c’est d’essayer de transformer ta relation vectorielle pour faire apparaitre ton inconnu, ici grand M, une seule fois.
C’est un petit peu comme des équations si tu veux. Une équation avec une inconnue x, et bien dès que l’équation fait apparaitre le x plusieurs fois, et bien une des premières techniques, c’est d’essayer de regrouper tous les x pour essayer d’en avoir qu’un seul dans ton équation. C’est un petit peu pareil pour les vecteurs dont l’inconnu ici est un point.

Donc maintenant que nous avons constaté que notre inconnu apparait une seule fois, ce qu’on essaie d’obtenir c’est d’obtenir un vecteur avec A et ici ton inconnu, je vais mettre X. Et en fait tu dois trouver un autre vecteur, par exemple vecteur BC. Vraiment n’importe quel autre vecteur mais un vecteur simple.
Comme ceci tu pourras dessiner à partir de ta relation vectorielle toute simple, ton point X, parce qu’il suffira juste que le vecteur AX soit égal au vecteur BC, BC que tu connais.
Donc tu vois c’est ça toujours le but quand tu as une relation vectorielle et que tu cherches à construire ton point inconnu. C’est d’obtenir, je répète, un point connu, fixé, que tu as au début, ensuite, ton point inconnu qui forment, à eux deux, le vecteur, égal un autre vecteur qui est connu. J’ai mis vecteur BC, c’est un exemple. Et A c’est un point connu.
Ça, c’est toujours le but. Tu vois c’est comme, un petit peu, avec une équation avec des x, on reprend l’analogie avec une équation, c’est quand tu cherches à isoler ton x tout seul d’un coté. Alors bien sûr dans les relations avec des vecteurs, tu ne peux pas isoler un point tout seul d’un côté du égal. Ce que tu peux isoler c’est un vecteur. Tu ne peux pas avoir un point égal un vecteur, ça n’existe pas en maths.
Donc là tu obtiens un vecteur égal un vecteur mais le premier vecteur, le vecteur de gauche fait apparaitre en deuxième position ton point inconnu. C’est ce à quoi il faut arriver dès que tu as une relation vectorielle et que tu cherches à construire un point en particulier.

Donc là, dans la première relation vectorielle, ce qu’on a, ce n’est pas tout à fait ça. On a cette relation vectorielle : 2 vecteurs AM (M c’est notre inconnu) moins 3 vecteurs AB égal le vecteur nul.
Donc souvent, tu pourras entendre égal 0. Ça peut se dire mais je préfère quand même que tu dises vecteur nul parce que ce n’est pas le même 0 que dans les nombres en fait. Donc plutôt que de dire zéro, parce que quand on dit ça comme ça, ça fait référence au 0 des nombres, et quand on dit vecteur nul, c’est le 0 avec la flèche au-dessus.
C’est très important de bien distinguer ces deux choses là. Il ne faut pas mettre 0 sans mettre la flèche au-dessus. Quand tu es dans le « monde des vecteurs », il faut bien mettre une flèche.

Donc là, ce qu’on essaie de faire, c’est transformer cette relation pour obtenir celle-ci.
Donc ce qu’on peut faire, c’est un petit peu comme dans les nombres, c’est qu’on va ajouter 3 vecteurs AB des deux côtés. Ceci te permettra de te débarrasser du -3AB que tu as ici à gauche, de le passer à droite. Tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »
C’est pas mal parce que tu te rapproches d’une relation qui est celle-ci, qui ressemble à celle-ci. Mais par contre il y a le 2 devant. Le 2 devant les vecteur AM, c’est pareil qu’avec les nombres, tu peux le « passer » de l’autre côté en faisant « fois 1/2 » en divisant des deux côtés du égal par 2. Tu vois, si je fais fois 1/2, à gauche et à droite, et bien ça va te donner :
« Calcul mathématique »

On obtient vecteur AM égal 3/2 de vecteur AB. Et ça, c’est une bonne relation parce que ça va te permettre de construire ton point M. En effet, le vecteur que l’on obtient ici à droite, 3/2 de vecteur AB, c’est un vecteur connu.
Il n’est pas directement connu parce que toi, sur ton dessin, tu vois le vecteur AB, il est là. Mais le vecteur 3/2 AB, ce que tu peux faire pour le dessiner toujours en partant de A, c’est d’ailleurs ce qu’on va faire, ce qu’on va devoir faire parce que le vecteur AM part bien du point A et M c’est notre inconnu.
Ce qu’on va faire c’est construire le vecteur AM, donc construire le vecteur 3/2 de AB à partir du point A. Donc pour construire 3/2 d’AB ce que tu peux faire déjà, c’est construire 1/2 d’AB. C’est tout simple en fait, c’est la moitié du vecteur AB.
Donc en fait, là, tu coupes le segment [AB] en 2, tu arrives là, point qu’on pourrait noter I si on voulait, comme étant le milieu de [AB]. Et ce vecteur ici qu’on obtient, c’est tout simplement AI, qui est 1/2 du vecteur AB.

Et maintenant il t’en faut combien des vecteurs AI ?
Et bien pour faire 3/2 de vecteur AB, il en faut 3 : 3 vecteurs AI si tu veux. En fait, là, j’ai construit le point I, ce n’est pas obligatoire, c’est pour expliquer les choses lentement. Pour construire 3/2 de AB, je répète, tu peux d’abord construire 1/2 du vecteur AB et ensuite ce que tu peux faire c’est mettre trois fois ce vecteur AI bout à bout.
Donc là, on arrive à B si tu le mets une deuxième fois, et tu le remets une troisième fois et tu vas arriver ici. Mon dessin n’est pas très précis mais je pense que tu comprends qu’en fait là, on rajoute bien cette même longueur AI, qui est la même que IB.
Voilà, donc ce que tu obtiens, en partant du point A, et tu arrives ici, c’est bien le vecteur 3/2 de AB.
Et donc, vu que toi, tu voulais bien partir du point A pour construire ton point M, ce que tu obtiens ici, c’est ton point M. C’est ton fameux point M que tu cherchais.

Ça marche ? Donc j’espère que tu as bien compris comment on fait pour construire un point à partir d’une relation vectorielle.
Ce qu’on fait vraiment souvent c’est d’essayer d’obtenir une relation qui ressemble à celle-ci : avec un point connu, ton point inconnu, égal, à droite, à un vecteur connu dans ton exercice.
Là notre vecteur connu c’était 3/2 d’AB et notre point connu au départ c’était A et notre point inconnu, le point M.
Donc ce que nous allons faire, c’est appliquer la même méthode pour construire notre point N dans la question 2.

2nde
Construire un point à partir d’une relation vectorielle
vidéo 2/2
Construction du deuxième point

Dans cette vidéo nous allons faire la deuxième question de cet exercice à savoir on va construire le point N tel que le vecteur BN égal vecteur BA moins vecteur BC.
Dans la vidéo précédente, nous expliquions la méthode pour construire un point dans un plan à partir d’une relation vectorielle.
Cette méthode consiste tout simplement en fait à transformer la relation vectorielle que tu as au début pour obtenir une relation vectorielle toute simple dans laquelle tu obtiens ton point inconnu en deuxième position, un point connu au début pour former un vecteur en fait à gauche, et à droite du égal, un vecteur connu dans ton exercice. Là j’ai mis BC en noir mais ça peut être n’importe quel autre vecteur que tu connais.
Donc quand je parle de vecteur connu, ou de point connu, ce sont des choses que tu connais de par l’énoncé en fait ou de par les résultats des questions précédentes.
Par exemple dans cet exercice, tu connais les points A, C et B que j’ai dessinés au début de cet exercice et qui sont fixés dans le plan. Fixés dans le plan ça veut dire que ce sont des données en fait, et qu’ils ne bougeront plus jamais. Ce sont donc des informations constantes que tu peux utiliser par la suite dans les questions.

Donc là, ce que nous allons faire, je pense que tu l’as compris, c’est transformer cette relation mauve pour obtenir une relation qui ressemble à celle-ci sachant que notre inconnue dans cette deuxième question, c’est le point N.
Donc on va essayer d’obtenir le point N en deuxième position mais ça tombe bien, c’est déjà en deuxième position avec B, un point connu.
Donc ce que nous allons faire, c’est vraiment garder la gauche de cette relation vectorielle. Donc dans cette deuxième question, on garde bien la gauche, c’est-à-dire qu’on garde bien BN et ce qu’on va transformer surtout, c’est la droite parce que certes, vecteur BA moins vecteur BC, on sait qu’une différence entre deux vecteurs ça va donner bien sûr un vecteur.
Tout ça c’est un vecteur comme objet mathématique. C’est un vecteur connu parce qu’il est formé de 3 points connus de ton exercice mais le problème c’est que tu ne peux pas le dessiner très simplement. Ce serait quand même bien de pouvoir dessiner le vecteur connu que tu as à droite, que tu essaies d’avoir à droite de ton égal de façon simple. Si tu peux le dessiner de façon simple, tu pourras dessiner ton point N facilement.
Donc là ce qu’il faut absolument faire, c’est simplifier au maximum le vecteur que tu as à droite.

Alors comment simplifier ça ? Alors en fait, dès que tu as un moins dans les vecteurs, tu peux tout de suite penser à retourner le vecteur. En fait dès que tu as un moins devant BC comme ça et bien ça fait aussi plus CB.
Donc ça c’est une relation qu’il s’agit de connaitre, c’est tout simple, c’est que le vecteur AB, en général, c’est égal au vecteur -BA. Ça veut dire la même chose que vecteur BA égal vecteur -AB. Tu vois c’est la même relation que juste au-dessus en passant ce moins à droite, en multipliant par -1 des deux côtés du égal.
Bref, dès que tu as un vecteur formé par deux points, tu peux très bien retourner les deux points mais il faut mettre un moins devant le vecteur pour obtenir le même vecteur.
Donc là, ce qu’on peut tout à fait faire c’est remplacer -BC par +CB

Donc on va obtenir vecteur BA plus vecteur CB. Donc tu vas me dire si je regarde ces deux vecteurs, BA, je le vois bien sur la figure, on part de B jusqu’à A. Et ensuite pour CB, on part de C et on va jusqu’à B.
Mais le problème c’est que ce sont deux vecteurs qui sont bien distincts, il y a le point B qui est commun. Bon en fait, on peut aller plus loin dans la simplification. Il faut que tu aies un petit peu d’expérience ici pour simplifier des vecteurs.
Il n’y a pas 36 règles. Les règles qu’on utilise c’est celle-ci que je t’ai mise en noir. 1ère règle on va dire pour transformer des vecteurs. Et la deuxième, très courante, je pense que tu t’en souviens, c’est la relation de Chasles. C’est une relation qu’on utilise très souvent dans les exercices avec des vecteurs. Qu’est-ce que c’est que cette relation de Chasles ?
Ça veut dire que tu peux décomposer un vecteur en passant par un point; Il faut bien comprendre cette relation. En fait, tu vois graphiquement ici, le trajet AB : tu pars de la ville A pour aller à la ville B et bien tu peux très bien passer par la ville C. Donc en fait le vecteur AB, ton trajet AB, il peut se décomposer en une somme de deux trajets : premier trajet : AC, tu passes par le point C et ensuite tu repars de la ville C pour aller à la ville B. Deuxième trajet c’est CB.
C’est ça la relation de Chasles. Ça va te donner vecteur AB c’est égal à vecteur AC, ou trajet si tu veux, plus vecteur CB. Ça c’est une relation extrêmement importante qui te « poursuivra » jusqu’en terminale S si tu vas en filière S. C’est une relation très simple à mon avis. En fait tu vois bien qu’au milieu de AB ici, on a « inséré » le point C. On passe par le point C pour décomposer notre vecteur AB, notre voyage, notre trajet AB. Tu vois que le point C tu le retrouves ici, et là.
Tu vois il est de part et d’autre du + donc tu vois tu pourrais très bien fusionner le AC et le CB, faire disparaitre le C et ça te redonne bien AB. Ça c’est important, quand tu décomposes un vecteur par la relation de Chasles, il faut bien mettre le point par lequel tu passes, le troisième point si tu veux, au milieu, de part et d’autre du plus.

Alors tu vas me dire : quel rapport y a-t-il avec vecteur BA plus vecteur CB ? Donc là il faut toujours essayer de penser à transformer un petit peu ton opération avec les vecteurs.
Pourquoi ne pas essayer de retourner cette somme ? Tu vois vecteur BA plus vecteur CB c’est aussi CB plus BA. Il n’y a pas de souci, on peut transformer cette somme, la retourner, c’est CB plus BA. Plus généralement, 1+2 c’est aussi 2+1.
Donc là, on obtient la relation de Chasles parce que tu vois, c’est le premier trajet CB plus BA, le deuxième trajet. Tu vois, de part et d’autre du plus tu as un même point, c’est ça en fait la clé de la relation de Chasles, c’est B. Donc là la décomposition ce n’est pas à toi de la faire, elle t’est déjà proposée et en fait c’est à toit de « fusionner » les deux « trajets » en un « trajet ».
Il ne faut pas employer le mot trajet. Le mot trajet c’est pour t’expliquer les choses. Et donc là, on obtient comme trajet total C jusqu’à la ville A. Donc on obtient vecteur CA. Là c’est un vecteur tout simple qu’on obtient à droite. Tu vois, toute cette différence, vecteur BA moins vecteur BC, ça vaut CA. C’est quand même plus simple. Et CA on le voit ici notre vecteur. Il part de C il arrive à A.

Donc là, ce qu’il faut faire maintenant, c’est construire le point N tel que, tout simplement, le vecteur BN soit égal au vecteur CA. Donc comment on va faire ?
EN fait le vecteur BN, tu es d’accore avec moi il doit partir du point B. Et ce vecteur BN, il doit être égal à CA. CA on peut le faire apparaitre en orange de façon claire, c’est ce vecteur là qui part de C et va vers A.
Donc en fait, là c’est pareil tu dois partir de B et arriver à N de telle façon à ce que ça te fasse, la « flèche », le vecteur CA.
Donc là, ce que je fais c’est que je vais reproduire, la flèche orange, le vecteur orange, en partant du point B. Donc j’essaie de le faire vraiment pareil : même longueur, parallèle etc. Donc ce n’est pas très propre mon dessin. Il faudrait le faire évidemment à la règle toi. C’est vraiment pour aller vite que je fais ça. Et là, on obtient notre point N.
Tu vois le vecteur BN c’est bien le même vecteur que CA. Les deux flèches sont les mêmes. Voilà donc ton inconnu N que tu cherchais à placer, à construire. Donc c’est gagné. Tu as vu qu’à partir de cette transformation que nous avons faite de cette relation initiale en celle-ci, une relation beaucoup plus simple avec notre inconnu N en deuxième position, et bien on a réussi à construire ce point-là.

Donc voilà, j’espère que tu as bien compris comment transformer une relation vectorielle pour construire un point en particulier.
1ère étape, je répète : tu regroupes, s’il y a plusieurs fois en fait ton point N, il faut que tu regroupes tout ça en 1 N. il faut que ton N il n’apparaisse qu’une fois dans ta relation vectorielle. Pour regrouper il faut utiliser ces deux relations que j’ai mises en noir ici à droite. En fait tu inverses les vecteurs ou tu utilises la relation de Chasles.
Une fois que tu as obtenu ton point inconnu une seule fois dans ta relation vectorielle et bien tu passes ce vecteur auquel il appartient, ce point inconnu, à gauche. Tu as bien sûr un point connu au début. Le point B ici dans notre exemple. Et à droit tu simplifies tous les vecteurs que tu peux avoir pour obtenir le vecteur le plus simple que tu puisses avoir.
Et après tu pourras construire facilement ton point inconnu.

Voilà donc j’espère que tu as bien compris les explications qu’on a données pour cet exercice et je te dis à la prochaine pour un autre exercice de mathématiques sur star en maths.