2nde Construire une somme de vecteurs

Comment construire des sommes de vecteurs ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo star en math. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice plutôt niveau seconde, nous allons construire, à partir de 4 points fixés dans le plan, nous allons construire des vecteurs.
Alors là, tu vois tu as A, B, C et D qui sont 4 points fixés dans ce repère orthonormé et il va falloir construire 3 vecteurs :
Le vecteur vert donc v « formule mathématique », le vecteur mauve u et le vecteur w orange.

Alors on va s’intéresser ici dans un premier temps au vecteur v, le vecteur vert « formule mathématique » avec comme origine D.
Alors peut-être que tu abordes en ce moment les vecteurs en seconde et donc tu ne sais pas trop comment on construit des vecteurs etc.
Et cette vidéo elle va être pour toi. C’est vraiment une vidéo d’initiation aux vecteurs.

Un vecteur en mathématiques c’est quoi ? Et bien c’est « une flèche ». Tout simplement une flèche, tu es d’accord que ça a un sens, une direction, la direction c’est « l’axe » de la flèche.
Et ça a aussi une longueur. La flèche elle est plus ou moins grande.
Donc tu peux te dire un petit peu dans ta tête, bien que ce ne soit pas quelque chose à écrire sur ta copie, tu peux te dire qu’un vecteur c’est une flèche, ça simplifie bien les choses je trouve.

Donc là, quand on te demande de construire le vecteur v, qui est une somme tu vois des vecteurs DA et DB, il va falloir regarder ce que c’est que le vecteur DA.
Le vecteur DA, il est là, il part de D et il va vers le point A. Donc je pourrais construire la flèche ici, d’ailleurs je vais le faire en vert, le vecteur, on va plutôt dire le vecteur DA. Donc on arrive ici.
IL faut bien comprendre qu’un vecteur en mathématiques, tu peux le déplacer. C’est-à-dire que ça n’a pas de point d’origine fixé.
Donc le vecteur DA c’est le même que celui-ci par exemple tu vois, je pars de ce point-là, et tu vois, ça monte de 2 et je vais de 3 vers la gauche, donc on arrive là.
Donc, ce vecteur-là, j’essaie de faire une flèche droite, et bien c’est le vecteur DA aussi.

Donc il faut bien comprendre que quand on te demande de construire le vecteur v vert ici, et bien on te demande de le construire à partir du point D.
Parce que tu pourrais le construire à partir de n’importe quel point de ton plan. Tu pourrais le construire à partir de C, ce B, de ce point là, de ce point-là, bref à partir de n’importe quel point du plan.
C’est pour ça qu’on précise bien à chaque fois à partir de quel point on veut faire partir le vecteur.

Donc ensuite comment dessiner notre vecteur v ?
On s’est déjà intéressés au vecteur DA et tu as vu que c’est la somme de DA et de DB. DB c’est quoi ?
DB c’est ce vecteur, ici ce vecteur-là. On part de D et on va vers B.

Toi quand tu veux construire la somme de deux vecteurs, la somme du vecteur DA avec le vecteur DB, et bien sachant que tu pars du point D, et bien tu prends le premier vecteur, DA, et tu pars de D.
Alors ça tombe bien parce que DA, par définition, il est constitué du point D au début donc il part de D.
Donc là on a le vecteur DA. Il n’y a pas de soucis, il part de D celui-là.

Ensuite, du bout de DA, donc de A ici, tu vas partir pour construire le vecteur DB.
C’est là que se situe un petit peu la somme des deux vecteurs. C’est-à-dire que du bout du premier vecteur, de ta somme, tu vas partir pour construire le deuxième vecteur;
Donc là, c’est ce qu’on va faire, c’est-à-dire que notre vecteur vert DB que j’avais fait ici, et bien je vais le reporter en partant du bout de DA, c’est-à-dire de A.
Donc en fait, comment construire ce vecteur DB et bien tu vois qu’en fait, c’est tout simplement 7 carreaux vers la gauche. Donc 3, 6 et là je sors un petit peu du cadre mais ce n’est pas grave, on arrive là.
Tu vois, j’ai construit le vecteur DB. Je vais bien l’indiquer, le vecteur DB en vert foncé, tu vois, que j’ai reporté.
C’est pour bien te montrer que le vecteur DB on le retrouve aussi ici.

Et donc qu’est-ce que c’est que le vecteur v ? C’est la somme des vecteurs DA et DB.
En fait c’est le début de ton chemin donc c’est le point D. Et le deuxième point qui constitue ton vecteur, parce qu’un vecteur est constitué de deux points, le début et la fin, et bien la fin c’est tout simplement ce point là.
Donc le vecteur v c’est quoi ? Il suffit juste de relier les deux points, donc le point de départ, le point D en fait ici, et le point d’arrivée de ton vecteur.
Donc je vais essayer de le faire, le vecteur est assez grand, je vais essayer de le faire sans trop trembler.
Hop et voilà. Donc ce n’est pas trop trop moche même si c’est moche, je suis d’accord avec toi mais on comprend que notre vecteur v c’est celui-ci.

Donc voilà, on a réussi à construire notre vecteur v, tu vois, en partant du point D.
C’est important de le préciser parce qu’on aurait pu construire notre vecteur v DA + DB mais en partant du point C.
Ça aurait été possible. Pour ce faire il aurait fallu prendre le vecteur DA et le reporter à partir du point C.
C’est-à-dire le vecteur DA, tu vois tu montes de 2 et tu vas de 3 vers la gauche. Donc si on avait voulu construire le vecteur v à partir du point C, on serait montés de 2 puis allés de 3 vers la gauche.
Là on aurait fait DA et à partir de ce point-là, il aurait fallu faire DB, on serait allés de 7 vers la gauche. Donc là on serait vraiment allés vers la gauche de l’écran.
Donc voilà pour le vecteur v partant du point D.
J’espère que tu as bien compris comment on va faire. On va essayer de s’entrainer avec les deux autres exemples.

Le vecteur u, on va s’intéresser directement au vecteur u, qui est la somme de AD + DC, sachant qu’on veut faire partir le vecteur u du point A, le point A qui est ici.
Donc là, AD, qu’est ce que c’est que AD ? Et bien c’est tout simple, en plus on part du point A donc c’est le point de départ du vecteur total u, et tu vas vers D, donc voilà le vecteur AD.
Donc tu as vu que le vecteur AD, ce n’est pas le même que le vecteur DA, c’est presque la même flèche mais dans l’autre sens.
DA, ça part de D, ça va vers A, le deuxième point c’est toujours ton point d’arrivée de ton vecteur et donc AD, le point d’arrivée, c’est D.

Et maintenant il faut lui ajouter DC à AD. Donc tu pars du bout de AD, donc D tout simplement et tu lui ajoutes DC.
DC, c’est quoi comme vecteur ? Et bien c’est tout simplement celui-ci. Comment je pourrais le faire apparaitre, peut-être un petit peu d’une autre couleur, en mauve foncé on va essayer de faire ça comme ça.
Et donc DC on part de D et on arrive à C. Donc voilà, tu vois on part de D et on arrive à C.
Donc ça y est en fait on va pouvoir obtenir notre vecteur u puisque quel était le départ de u ?
Et bien c’était le point A.
Et quel est le point d’arrivée ? Et bien c’est le point C.
Donc en fait, ce qu’il te reste et bien c’est ce vecteur là, c’est-à-dire en fait le vecteur AC.

Je pense que tu as bien compris la démarche, je répète, on est parti de A, on a construit le vecteur AD.
Il se trouve qu’on arrive au point D et ensuite on a fait le vecteur DC, en partant du point D.
Et le vecteur DC, ça tombe bien naturellement il part du point D et donc on arrive ici au point C.
Donc en fait le vecteur u obtenu, c’est celui qui part de A et qui arrive ici à C. Je le fais bien apparaitre ici ça c’est le vecteur u, le petit vecteur qui part de A et qui arrive à C.

Je tiens aussi à te faire remarquer qu’ici il y a quelque chose de particulier pour le vecteur u, c’est que tu vois c’est la somme de deux vecteurs ici AD + DC, sachant que tu as le point D qui est commun aux deux vecteurs et ils sont juste de part et d’autre du +.
Et donc, quand tu as ce genre de somme dans les vecteurs, et bien en fait c’est ce qu’on appelle une décomposition par la relation de Chasles.
Peut-être que tu as entendu parler de la relation de Chasles dans les vecteurs.
Et bien en fait, c’est qu’un vecteur, tu peux toujours le décomposer en une somme de deux vecteurs passant par le même point. Ici c’est le point D.
Donc en fait quand tu fais la somme AD + DC et bien tout naturellement, ça donne AC.

Imagine c’est comme si tu partais en voyage. Là, tu pars d’Amsterdam, c’est ta ville de départ, et tu arrives à Dublin. Donc ça, c’est ton premier voyage, ton premier trajet. Donc D comme Dublin et là, tu as fait ce premier chemin.
Le vecteur AD, d’Amsterdam à Dublin.
Et après, de Dublin, tu pars à Chicago. Donc là, c’est ton deuxième trajet.
Donc en fait au total, tu seras parti d’Amsterdam et tu seras arrivé à Chicago donc en fait c’est ton vecteur total AC.
Donc en fait, c’est ça que te permet la relation de Chasles, je te l’explique un peu ici, même si tu ne l’as pas encore vue et si tu l’as vue je pense que ça te dit quelque chose.
C’est qu’un vecteur, c’est-à-dire un voyage total, tu peux le décomposer en une somme de deux trajets.
Ici Amsterdam Dublin, premier trajet, plus Dublin Chicago. Et ton trajet total, Amsterdam Chicago.

Et donc là, ça t’aurait permis, si tu avais connu la relation de Chasles, de construire le vecteur plus facilement, plus directement.
Vu que tu as vu que le point D, il est de part et d’autre du plus, c’est un point commun aux deux vecteurs, sachant que D, c’est le point final du premier et le premier point du deuxième vecteur, et bien, tu aurais pu dire directement que u c’est le vecteur AC.
Et c’est d’ailleurs ce qu’on trouve ne le dessinant, le vecteur u c’est le vecteur AC, tu vois, notre vecteur mauve, ici.
Voilà, c’était juste un petit aparté sur la relation de Chasles.

Maintenant on va s’intéresser à la construction du vecteur w ici en orange.
Donc tu vois, le vecteur w c’est toujours une somme de deux vecteurs et on veut le faire partir du point D.
Donc ça, ça va être important pour construire le vecteur w.
Donc là, tu as vu, le « premier trajet » du vecteur w c’est BC donc ça ne part pas du point D mais ce n’est pas grave, ce qu’on va faire ensemble, c’est repérer quel est le vecteur BC.
Le vecteur BC je pense que tu le vois maintenant le point B il est là et le point C il est là, donc BC c’est celui-ci.
Sachant qu’un vecteur, rappelle-toi bien de ça, c’est que même le vecteur BC, tu pourrais le dessiner là, tu vois je vais le dessiner ailleurs, tu vois c’est de 1 vers la droite, 4 vers le haut, je vais le dessiner là.
Ça aussi c’est le vecteur BC. Donc un vecteur ça ne part pas forcément d’un point donné. Un vecteur tu peux le déplacer partout, tu peux le faire partir de n’importe quel point. C’est ça qui est important à comprendre avec cette notion de vecteur.

Donc là, ton vecteur BC, sachant que tu veux faire partir ton vecteur w du point D, et bien tu vas le reporter ton vecteur BC en partant du point D;
Donc là, je pars du point D, c’est le point initial, c’est la ville de départ si tu veux de ton voyage w.
Et donc on va de 1 vers la droite et on monte de 4. Donc là, on fait ce premier trajet là. Ça c’est le trajet BC.
Par contre, tu vois bien que w, et bien ça comporte aussi un deuxième trajet, une fois que tu as fait le premier, c’est DC.
Donc en fait, on va ajouter DC à partir de ce point là. Tu vois la ville intermédiaire en fait, qui tout à l’heure était Dublin, dans le cas du vecteur u.
Donc là, DC, on regarde ce qu’est DC, c’est tout ce trajet là, on part de D on va vers C. Donc ça veut dire qu’on monte de 4 et on va de 6 vers la gauche.
C’est ce qu’on va faire. On va monter de 4, on arrive là, et on va de 6 vers la gauche. Et voilà. Donc toute cette flèche orange, et bien c’est le vecteur DC.

Et maintenant, une fois que tu as fait apparaitre le vecteur BC et ensuite, au bout du vecteur BC, le vecteur DC qu’on a fait ici, et bien tu peux tout à fait construire le vecteur w.
Le vecteur w c’est juste point de départ, point final.
Donc en fait, tu relies ça, point de départ, point final. Et ça, c’est ton vecteur w en partant du point D, tu vois on est bien parti du point D

Voilà donc j’espère que tu as bien compris comment on a construit nos trois vecteurs ici, les vecteurs u, v et w, qui étaient à chaque fois des sommes de deux vecteurs.
En fait, il faut bien construire le premier vecteur en partant du point qui est indiqué et ensuite, au bout de ce premier vecteur, tu construis le deuxième.
ET à la fin, tu relies le point initial et le point final pour construire ton vecteur u, ton vecteur v, ton vecteur w.
Donc j’espère que tu as bien compris comment ça fonctionnait la somme de deux vecteurs et comment construire un vecteur formé par la somme de deux vecteurs;
Parce qu’en fait on n’a pas dit mais une somme de deux vecteurs, ça te donne aussi un vecteur, comme une soustraction de deux vecteurs, ça te donnera aussi un vecteur.
Tu peux même faire la somme et la soustraction de 4, 5, 6 vecteurs ou 10 000 vecteurs si tu veux, ça donnera toujours à la fin un vecteur, c’est-à-dire « une flèche ».
Voilà pour cet exercice plutôt niveau seconde.