2nde Domaine de définition d’une fonction avec racine carrée

2nde Ensemble de définition d’une fonction avec racine carrée

Comment déterminer un ensemble de définition d’une fonction avec des racines carrées dedans ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans l’exercice d’aujourd’hui on te demande de préciser l’ensemble de définition de la fonction h définie par h(x)=√4-x+√x.

Alors, rappelle toi pour déterminer un ensemble de définition d’une fonction et bien il faut déterminer en fait les x pour lesquels tu peux calculer h(x). Donc en fait de façon inverse, tu peux poser le problème de façon inverse, tout les x qui ne font pas partie de l’ensemble de définition d h ici et bien ce sont les x pour lesquels tu ne peux pas calculer h. Souviens toi, les opérations interdites en mathématique, c’est en seconde pour aller rapidement et pour rester sur les opérations simples et bien premièrement, tu ne peux pas diviser par 0. Donc ici il n’y a pas de division, donc ça s’arrête ça. Deuxièmement tu ne peux pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif et c’est ça qu’on va utiliser ici. Puisqu’ici si tu regardes notre h(x) c’est la somme de 2 choses : de ce nombre là, et de ce nombre là.

<calcul mathématique>

Si tu prends un x qui est strictement supérieur à 4 et bien h(x) ne pourra pas être calculé. Regardons, prenons un exemple :

<calcul mathématique>

En fait on a écrit ces 2 inéquations là pour dire que les x qui satisfont les 2 inéquations en même temps forment ensembles l’intervalle ou l’ensemble de définition de la fonction, en fait c’est un intervalle ici.

<calcul mathématique>

En effet, tu peux calculer h(0), tu peux calculer h(4). C’est pour ça qu’on les inclut dans l’ensemble de définition.

<calcul mathématique>

Voilà, donc là on a répondu à la question. C’est pour ça, tout à l’heure j’ai pris un exemple. Si tu prends un nombre en dehors de cet ensemble de définition évidemment on ne pourra pas calculer h de ce nombre. On a essayé ici pour 5, h(5) on ne peux pas le calculer. En revanche, si tu prends un nombre dans cet intervalle, donc 0 ; 0,5 ;1 ;2 ;3 ;3,7 ou 4 on peut calculer h de ce nombre, c’est donc l’ensemble de définition de h.

Donc la méthode générale pour déterminer un ensemble de définition d’une fonction mathématique c’est chercher tous les nombres x pour lesquels tu peux calculer ici h(x). Donc l’image de ces nombres. Et donc inversement tous les nombres pour lesquels tu ne peux pas calculer h(x) donc notamment des nombres qui font que le dénominateur égal 0, ou les nombres qui font que l’intérieur d’une racine carrée comme ici sont négatifs et bien ces nombres là ne font pas partie de l’ensemble de définition. C’est pour ça qu’ici on a marqué ces 2 conditions. Les 2 conditions que doivent respecter à la fois les x qui font partie de l’ensemble de définition. En résumé 4-x à l’intérieur de la racine carrée doit être positif ou nul et à l’intérieur de cette racine carrée là x doit être positif ou nul donc ça nous donne 2 conditions qui doivent être respectées à la fois. C’est ça qui est important. Le « à la fois » est très important. Et finalement on obtient cet intervalle de définition là.