2nde Equation à une inconnue, valeur interdite

2nde Équation à une inconnue, valeur interdite

Comment résoudre une équation à une inconnue, sachant que cette inconnue x est au dénominateur d’un quotient?

Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, alors dans l’exercice d’aujourd’hui on considère une équation suivante :

« Expression mathématique »

La question est d’indiquer la valeur interdite et résoudre cette équation. Alors tu sais qu’une valeur interdite en mathématiques, et plus particulièrement dans une fonction avec une inconnue, avec une variable – ici la variable x – la ou les valeurs interdites sont les valeurs que peut prendre la variable x et de telle sorte à ce qu’on ne puisse rien calculer, qu’on ne puisse pas faire le calcul.

Par exemple, en mathématiques, quels sont les calculs qu’on ne peut pas faire? Et bien on ne peut pas diviser par zéro, par exemple – ce n’est pas possible. On ne peut pas non plus prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Donc ça, ce sont vraiment des opérations interdites, justement d’où le mot interdit en mathématiques.

Alors ici, dans cette équation, il n’y a aucune racine carrée, donc on va plutôt s’intéresser à cette opération-là – diviser par zéro. D’accord? Et est-ce qu’il y a une division dans cette équation? Et bien oui, dans l’expression de gauche. Donc, on ne peut pas diviser si x plus 1 est égal à zéro. Donc, la valeur interdite, c’est-à-dire la valeur de x de telle façon à ce qu’il y ait une opération interdite, et bien elle va être atteinte quand tout simplement ceci, c’est-à-dire le x plus 1 – le dénominateur justement – est égal à zéro.

Et quand est-ce que ce dénominateur est égal à zéro? Et bien combien il faut que x vale pour que x plus 1 soit égal à zéro? Et bien, tout simplement -1. Si x vaut -1, et bien tu obtiens -1 plus 1, ce qui fait zéro. Et c’est la seule valeur de x pour laquelle tu auras x+1=0. Et cette valeur, -1, est donc la valeur interdite dans cette équation. C’est-à-dire que quand tu vas essayer de résoudre ensuite l’équation, si tu trouves x=-1 c’est qu’il y a clairement un problème. D’accord? Tu ne peux pas trouver la valeur interdite comme étant une solution de ton équation. Il ne faut absolument jamais que cette variable x, ou cette inconnue, soit égale à -1 – la valeur interdite. Donc, la valeur interdite est égale à -1. Il faut donc que x ne soit jamais égal à -1. D’accord? C’est une valeur interdite.

Maintenant donc, passons à la deuxième partie de cette question, qui est de résoudre l’équation. D’accord? Alors, résoudre une équation, qu’est-ce que ça veut dire en mathématiques? Ici tu as une équation. C’est-à-dire que tu as un signe égal (=). Rappelle-toi, dans le mot équation tu as le préfixe équa, qui veut dire égal. Donc, quand tu as une chose égal une autre, ça veut dire que tu as une équation, surtout si tu as une inconnue. Une équation c’est une égalité qui comporte une inconnue et la résoudre veut dire chercher cette inconnue.

Notre inconnue à nous, c’est x, et donc il va falloir la chercher. Alors résoudre une équation, ça veut dire à la fin obtenir x = quelque chose que tu vas trouver.

Donc ça je pense que tu le savais déjà, mais je préfère te le rappeler. Donc comment on va obtenir x=quelque chose?

Il faut que tu transformes cette équation par une série de petites opérations, de raisonnements, de telle sorte à ce qu’à la fin, tu obtiennes x = quelque chose. Alors, ce que je te propose de faire, c’est que pour x différent de la valeur interdite – parce qu’en effet il faut que x soit toujours différent de la valeur interdite, donc on préfère le dire – et bien tu pars de là :

« Équation mathématique »

Donc une fois que tu es là, pourquoi ne pas multiplier à gauche et à droite ton équation par un même nombre? Et ce même nombre, et bien ce serait x+1 – de façon à l’enlever du dénominateur, parce que c’est un peu embêtant en fait que le x soit ici au dénominateur de ta fraction. Nous on aimerait qu’à la fin il soit au-dessus pour obtenir x = quelque chose.

Donc ce que je te propose de faire, c’est de multiplier à gauche et à droite par ce même nombre. Et je te rappelle que tu as le droit de multiplier ta fraction à gauche et à droite par le même nombre, ça ne change pas l’égalité.

« Calcul mathématique »

Voilà. Et là, tu vois, on tombe sur une équation qui est beaucoup plus simple et qui est tout à fait équivalente, tu aurais pu mettre des signes équivalents avec la première équation.

Et celle-ci je crois que tu es en mesure de la résoudre, c’est vraiment une équation toute simple. Tu vois le but va être toujours d’isoler x, de faire en sorte que x soit tout seul d’un côté donc d’obtenir x = quelque chose. Donc là ce que je te proposes de faire à partir de là, c’est de mettre le 4 ici qui nous embête de l ‘autre côté.

« Calcul mathématique »

Tu vois c’est le même genre d’opération qu’on avait fait avec le dénominateur à gauche et à droite – tu peux multiplier à gauche et à droite par un même nombre et tu peux aussi ajouter un même nombre à gauche et à droite. Et ça ça ne change pas le fait qu’il y ait un égal, ça ne change pas ton équation, ça la transforme mais ton équation reste équivalente.

« Calcul mathématique »

Alors maintenant il nous reste le 4 devant le x. Souviens-toi, il faut toujours te rappeler du but que tu souhaites atteindre quand tu résous un exercice de math, qu’est-ce que tu cherches? À quelle question veux-tu répondre? Et là, c’est trouver le x. Donc à la fin, obtenir x=. Là, on y est presque, mais on a un 4 devant le x, donc il va falloir l’enlever. Et pour l’enlever, et bien on va diviser tout simplement, à gauche et à droite, par 4. Rappelle-toi que diviser, c’est aussi multiplier par un nombre qui est l’inverse.

« Calcul mathématique »

Et voilà pour cette équation! Voilà donc pour cet exercice, on a terminé. Donc à chaque fois que tu termines un exercice il faut encadrer le résultat sur ta copie – ça te permet aussi à toi de bien voir ce que tu as trouvé.

Donc comment on a procédé? Premièrement on a regardé s’il y avait des valeurs interdites pour x dans cette équation. Effectivement il y en avait une – il ne faut pas que ton dénominateur égal zéro car tu ne peux pas diviser par zéro en maths, donc il ne faut pas que x soit égal à -1. Et deuxième chose, pour résoudre, et bien on a – petit à petit – transformé ton équation pour obtenir à la fin x = quelque chose. Et quand tu as un x au dénominateur, il peut être parfois utile de multiplier à gauche et à droite ton équation par ton dénominateur de façon à faire passer ce x au-dessus. C’est à dire au niveau du numérateur.

Voilà la méthode pour résoudre une petite équation comme celle-ci.