2nde Est-ce que le point est sur la droite ?

Comment savoir si un point de coordonnées (x;y) connues, appartient ou non à une droite dont on connait l’équation.
Bonjour. Ici Romain Carpentier. Bienvenu sur Star en maths TV.
Alors l’exercice d’aujourd’hui : on a une droite, notée delta, qui est d’équation y=2x-2,5. Et il s’agit de dire si le point A de coordonnées (10;17,5) et le point B de coordonnées (-3;-7,5) appartiennent ou non à cette droite delta.
Alors comment savoir, en seconde, si un point appartient à une droite ou pas ? Tu sais qu’une équation de droite, du type, comme cette équation ici y=ax+b, dans le plan, c’est-à-dire en deux dimensions, ça représente une droite. C’est-à-dire que la courbe représentée par cette équation est une droite.

Rappelons très simplement ce qu’est l’équation d’une droite. Comme je viens de te dire à l’oral, c’est du type y=ax+b. Alors que sont a et b dans ce type d’équation ?
Alors déjà, première chose qu’il faut noter, c’est une équation. Qu’est-ce que c’est qu’une équation finalement ? Le préfixe « équa », ça veut dire égalité. Donc déjà, le égal on le retrouve ici. D’accord?
Ensuite, c’est une équation. C’est-à-dire que dans cette équation, on a des inconnues. Et nos inconnues c’est x et y. alors quand tu connais ton équation de droite, tu ne connais pas les inconnues y et x mais par contre, tu connais a et b.
a ça représente le coefficient directeur de ta droite. C’est un nombre réel qu’on peut aussi appeler pente de ta droite. C’est un nombre réel qui signifie quelle direction prend ta droite. Si a est positif, ta droite va être croissante quand tu vas lire ton graphique de la gauche vers la droite. Et si a est négatif, ta droite va être décroissante.
Donc le coefficient directeur, comme je te le disais, c’est aussi appelé pente. Ce sont deux mots pour dire exactement la même chose.

Ensuite, b, qu’est-ce que c’est ? C’est ce qu’on appelle l’ordonnée à l’origine. Alors déjà, vu que c’est une ordonnée, c’est quelque chose qui se lit sur l’axe vertical, l’axe des ordonnées, c’est-à-dire l’axe des y.
Puisque rappelle-toi que x, c’est toujours une abscisse et y c’est une ordonnée. Il ne faut pas confondre ordonnée et coordonnée. Les coordonnées : on parle toujours DES coordonnées d’un point en deux dimensions ou en trois dimensions plus tard. Et les coordonnées et bien c’est l’abscisse du point, c’est-à-dire son x, et son ordonnée.
Je te fais tout un petit rappel de cours. Donc les coordonnées d’un point, qu’on peut noter par exemple A, et bien c’est son abscisse : l’abscisse de A qui pourrait être notée xA, tu mets point virgule, l’ordonnée de A, qui peut être égale à yA. Tu mets des parenthèses là : (abscisse de A=xA;ordonnée de A=yA)

Alors nous, tu vois que dans l’énoncé de l’exercice, on a deux points qui sont A et B. Et il faut savoir s’ils appartiennent à la droite delta dont on connait l’équation.
Alors ces points-là, on connait leurs coordonnées. Par exemple A, son x, son abscisse, c’est 10 et son ordonnée, c’est 17,5. Le point B, son abscisse c’est -3 et son ordonnée c’est -7,5. Tu remarques qu’on met toujours l’abscisse, c’est-à-dire le x, avant et le y après, dans l’ordre des deux coordonnées. Ça c’est très important.
Ensuite, quels sont tous les points qui appartiennent à la droite delta ? Alors déjà, les points, ce sont des points de coordonnées x et y. Ce sont des points en deux dimensions tout simplement, que tu pourrais placer sur ton repère orthonormé. Tu connais leur x, tu places par rapport à l’axe des abscisses. Tu connais leur y, tu montes ou tu descends. Tu sais placer un point normalement dans un repère orthonormé.
Alors quels sont tous les points qui appartiennent à la droite delta ? Et bien c’est très simple en fait. Ces points, tu peux choisir un x, par exemple ici, on choisit x=1. Allez, c’est parti x=1. Calculons le y qui correspond à x=1. Et bien c’est très simple, je remplace ici à droite x par 1, et on va obtenir un y. ça va être y=2*1-2,5=-0,5.
Et là, qu’est-ce qu’on obtient ? Et bien on obtient deux coordonnées. On obtient l’abscisse et l’ordonnée. Et donc ce point de coordonnées (1;-0,5), c’est un point qui est sur la droite delta.

Et si tu veux trouver un autre point de la droite delta, tu choisis un x une autre fois. On peut choisir x=0. Quel y on va obtenir à partir de ça ? Je remplace dans cette équation x par 0. On va obtenir y=-2,5. Il reste juste l’ordonnée à l’origine. C’est justement de là que ça vient « ordonnée à l’origine ». C’est une ordonnée : -2,5 et « à l’origine » c’est-à-dire qui correspond à x=0.
Donc on a trouvé un nouveau point qui appartient à la droite delta. Et ce point c’est le point de coordonnées (0;-2,5).
Et quand tu veux tracer une droite sur ta copie, ce qu’il faut faire, c’est qu’il faut juste déterminer deux points qui appartiennent à cette droite parce que dès que tu as deux points tu peux tracer une droite. Tu n’as pas besoin de plus de deux points pour tracer une droite.
Alors pour trouver deux points qui sont sur la droite, qui appartiennent à cette droite, il suffit de choisir des x. Tu choisis les x les plus simples qui te viennent à l’esprit. Souvent, tu peux choisir x=0 et donc le y va être l’ordonnée à l’origine justement. Tu peux prendre aussi x=-1 ou x=1. x=1 c’est très simple, c’est ce qu’on a fait ici.
Donc là, on a trouvé des points très simples qui appartiennent à la droite. Donc ce que je viens de te dire ici, de façon générale, c’est que les points de la droite delta, ce sont les points qui ont comme coordonnées x et y mais le y il est égal à ceci, donc on peut remplacer le y par 2x-2,5 : (x;2x-2,5). Tu vois, si tu remplaces x par n’importe quel nombre réel (1000, 1, 0, -3 etc.) et bien tu vas obtenir des points de coordonnées qui sont sur delta.

Donc maintenant, pour vérifier que A ou B appartiennent ou non à la droite delta, et bien il va s’agir de vérifier que le y, par exemple pour A, le y de A, il est égal à 2 fois le xA moins 2,5. Tu vois, il va falloir vérifier que : pour le point A par exemple, xA c’est 10 et le yA on le connait aussi c’est yA=17,5. Mais on ne sait pas s’il appartient à la droite.
Et bien pour le vérifier, est-ce que le yA il est égal ou non à ceci : 2xA-2,5. XA on le connait : 2*10-2,5. On ne le sait pas encore, je mets un point d’interrogation. Et bien, est-ce que c’est vrai ?
On n’a qu’à faire le calcul : 2 fois 10, ça fait 20 et 20-2,5, si tu calcules, ça fait 17,5. Donc on a bien une égalité ici. Donc je peux gommer ça. On a bien une égalité. Et vu qu’on a bien une égalité, ça veut dire que le point A, il appartient à delta. Je vais le mettre ici, A appartient à delta. Tu connais le signe appartenir. C’est comme le signe de l’euro sans la double barre au milieu. Donc on a trouvé pour le point A qu’il appartenait à la droite delta.
Donc tu vois la vérification qu’on fait c’est exactement celle-ci. C’est : est-ce que le y des points dont on a les coordonnées, correspond à 2 fois leur x moins 2,5 ? Est-ce que leurs coordonnées, c’est une autre façon de le dire, vérifient l’équation de la droite ? Est-ce que leurs coordonnées satisfont l’équation de la droite ?

Maintenant que tu as compris, essayons de le vérifier pour le point B. Est-ce que le point B appartient à la droite delta ? Est-ce que ses coordonnées vérifient l’équation de la droite delta ? Regardons : xB il vaut combien ? xB=-3. Et yB=-7,5 ça on le sait. Est-ce que -7,5 est égal à 2*(-3)-2,5 ? Il suffit de faire le calcul.
Ça fait -8,5. Donc ici on a une différence. On n’a pas yB qui est égal à 2xB-2,5. Et donc ça veut dire quoi ? Et bien ça veut tout simplement dire que le point B n’appartient pas à delta. Donc je vais barrer le signe « appartient ». Voilà ce qu’on a trouvé.
Donc tu as compris que pour vérifier qu’un point dont tu connais les deux coordonnées x et y appartient ou non à une droite, il suffit de vérifier que ses deux coordonnées vérifient l’équation. Est-ce que le y est bien égal à ax+b, sachant que tu connais les nombres a et b.
Donc voilà comment on vérifie l’appartenance d’un point à une droite quand tu connais l’équation de la droite.

Et même, il y a un cas général, quand tu connais l’équation non plus d’une droite mais d’une courbe, tout simplement quand tu connais le f(x), par exemple f(x)=x au carré. Tu peux vérifier qu’un point appartient à cette courbe en vérifiant tout simplement que le y du point dont tu connais les deux coordonnées, est égal à son x au carré.
C’est comme ça qu’on vérifie : on essaie de voir si les coordonnées vérifient l’équation. C’est exactement ce qu’on fait.